8.6.1 直线与直线垂直-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

8.6.1　直线与直线垂直 (教师独具内容) 课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 教学重点：异面直线所成的角的求法． 教学难点：找异面直线所成的角． 核心素养：1.通过从教材实例中抽象出异面直线所成的角的概念的过程培养数学抽象素养.2.通过借助异面直线所成的角证明空间中两直线垂直的过程提升逻辑推理素养． 知识点一　空间中两条直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线． 2．分类 (1)从有无公共点的角度来看，可分为两类 直线 (2)从是否共面的角度来看，可分为两类 直线 知识点二　直线与直线垂直 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b． 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°． 1．(异面直线所成的角)下列说法正确的是(　　) A．异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O的位置不同时，这一角的大小也不同 B．异面直线a与b所成的角可以是0° C．若∠AOB＝110°，则分别和边OA，OB平行的两条异面直线所成的角为110° D．如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直 答案：D 2．(异面直线所成的角)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)AC与DD1所成的角是__________； (2)AC与D1C1所成的角是__________； (3)AC与B1D1所成的角是__________； (4)AC与A1B所成的角是________． 答案：(1)90°　(2)45°　(3)90°　(4)60° 题型一　求异面直线所成的角 例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心． 求：(1)BE与CG所成的角的大小； (2)FO与BD所成的角的大小． [解]　(1)如图，因为CG∥BF， 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°， 所以BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH，由正方体的性质可知HD∥FB，且HD＝FB， 所以四边形HFBD为平行四边形． 所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角． 连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°， 即FO与BD所成的角为30°. 【感悟提升】　求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线，二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求． 提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°. 【跟踪训练】 1．(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为________． 答案： 解析：将正方体ABCD－A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体，构成一个如图所示的长方体，连接CE1，ME1，则DB1∥CE1，所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成的角(或其补角)，设正方体的棱长为a.在△MCE1中，CM＝a，CE1＝a，ME1＝a，那么cos∠MCE1＝＝. (2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，求异面直线AD与BC所成的角的大小． 解：如图所示，设BD的中点为O，连接EO，FO，则EO∥AD，FO∥BC. 所以∠EOF是异面直线AD与BC所成的角或其补角． 又EO＝AD＝1，FO＝BC＝，EF＝， 在△EOF中，由余弦定理的推论， 得cos∠EOF＝＝＝－， 所以∠EOF＝150°. 所以异面直线AD与BC所成的角为30°. 题型二　利用异面直线所成的角证明垂直 例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面ABCD的中心，求证：OD1⊥A1C1. [证明]　证法一：如图，连接AC，BD，则交于点O，连接AD1，CD1. 因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是底面ABCD的中心，所以A1C1∥AC，AD1＝CD1，AO＝OC， 所以A1C1与OD1所成的角即为AC与OD1所成的角． 在△AD1C中，因为AD1＝CD1，AO＝OC，所以OD1⊥AC. 所以OD1⊥A1C1. 证法二：如图，连接AC，BD，交于点O，连接AD1. 因为A1C1∥AC，所以∠AOD1是异面直线OD1与A1C1所成的角(或其补角)， 因为AO＝AC＝×＝， AD1＝＝，OD1＝＝， 所以cos∠AOD1＝＝ ＝0， 所以∠AOD1＝90°，所以异面直线OD1与A1C1所成的角为90°，所以OD1⊥A1C1. 【感悟提升】　证明空间的两条直线垂直的方法 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直． (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理逆定理、菱形或正方形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等． 【跟踪训练】 2．如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1，P，M分别是AA1，CC1的中点，求证：B1M⊥D1P. 证明：取DD1的中点N，连接A1N，PN，则直线A1N与D1P所成的角即为直线B1M与D1P所成的角， 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1， 所以四边形A1PND1是正方形， 所以A1N⊥D1P，所以B1M⊥D1P. 题型三　异面直线所成的角的综合问题 例3　如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若AC与BD所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度． [解]　取BC的中点M，连接ME，MF，如图，则ME∥AC，MF∥BD，ME＝AC＝1，MF＝BD＝1， ∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为60°， ∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°， 当∠EMF＝60°时，△EMF为等边三角形，∴EF＝ME＝MF＝1； 当∠EMF＝120°时，取EF的中点N，连接MN，则MN⊥EF， ∴EF＝2EN＝2EMsin∠EMN＝2×1×＝. 故EF的长度为1或. 【感悟提升】　异面直线的应用 当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论． 【跟踪训练】 3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B与AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________． 答案： 解析：连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1＝BC，A1D1∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B与AD1所成的角，因为异面直线A1B与AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°.因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2sin60°×2＝6.因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面都是矩形，所以DD1⊥AD，DD1⊥DC，所以AD＝DD＋AD2，D1C2＝DD＋DC2，因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝DC，所以AD1＝D1C，所以△AD1C为等腰直角三角形，所以AD1＝AC＝3，所以AA1＝＝ ＝. 1．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案：B 解析：与AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.故选B. 2．(2024·黑龙江哈尔滨第三中学高一月考)已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3，M为A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：如图所示，取AB的中点N，连接B1N，CN.因为M为A1B1的中点，可得AM∥B1N，所以异面直线AM与B1C所成的角即为直线B1N与B1C所成的角，设∠CB1N＝θ.在等边三角形ABC中，由AB＝4，可得CN＝2.在Rt△BNB1中，可得B1N＝＝.在Rt△BCB1中，可得B1C＝＝5.在△B1CN中，由余弦定理可得cosθ＝＝＝.故选A. 3．(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中，下列结论正确的是(　　) A．AB⊥EF B．AB与CM所成的角为60° C．EF与MN是异面直线 D．MN∥CD 答案：AC 解析：把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为AB∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故A正确，B错误；EF与MN是异面直线，故C正确；易知MN⊥CD，故D错误．故选AC. 4．在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC与BD所成的角的大小为________． 答案：90° 解析：由题意可知，异面直线AC和BD所成的角为∠PQR(或其补角)．在△PQR中，因为PQ2＋QR2＝PR2，所以∠PQR＝90°，所以异面直线AC与BD所成的角的大小为90°. 5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)求A1C1与B1C所成的角的大小； (2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF. 解：(1)如图，连接AC，AB1. 由几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而AC与B1C所成的角为A1C1与B1C所成的角． 由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°. 故A1C1与B1C所成的角为60°. (2)证明：如图，连接BD.易知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1， 因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD. 又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 直线与直线垂直 直线与直线垂直 异面直线所成的角 异面直线所成的角 异面直线所成的角 直线与直线垂直 异面直线所成角的余弦值 异面直线所成角的余弦值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用异面直线所成的角证明垂直 异面直线所成角的余弦值 异面直线所成角的余弦值 由异面直线所成角的余弦值求线段长度 直线所成角的正弦值 异面直线所成的角 直线与直线垂直；异面直线所成角的余弦值 一、选择题 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　) A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 答案：B 解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c. 2．(2024·云南玉溪高一专题检测)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中， ①DA1与BC1平行； ②DD1与BC1垂直； ③A1B1与BC1垂直． 以上三个命题中，正确命题的序号是(　　) A．①② B．②③ C．③ D．①②③ 答案：C 解析：对于①，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由题图可知，DA1与BC1异面，故①不正确；对于②，因为DD1∥CC1，BC1不垂直CC1，所以DD1与BC1不垂直，故②不正确；对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平移A1B1到C1D1，在△BC1D1中，由勾股定理的逆定理可知C1D1与BC1垂直，所以A1B1与BC1垂直，故③正确．故选C. 3．如图，P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ与BC1所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：C 解析：连接AC，D1C.由P，Q分别为AD1，AC的中点，得PQ∥CD1.又BC1∥AD1，∴∠AD1C为异面直线PQ与BC1所成的角．∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°，即异面直线PQ与BC1所成的角为60°. 4．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′－DEF，则HG与IJ所成的角的大小为(　　) A．90° B．60° C．45° D．0° 答案：B 解析：如图所示，在三棱锥A′－DEF中，因为G，H，I，J分别为A′F，A′D，A′E，DE的中点，所以HG∥DF，IJ∥A′D，故HG与IJ所成的角和DF与A′D所成的角相等，显然DF与A′D所成的角的大小为60°，所以HG与IJ所成的角的大小为60°.故选B. 5．(多选)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成的角的大小可能为(　　) A．15° B．25° C．65° D．75° 答案：AD 解析：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝AB，GF∥CD且GF＝CD，由AB＝CD，知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG，知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，∴EF与AB所成的角的大小为15°或75°.故选AD. 二、填空题 6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中，与EF垂直且异面的是________． 答案：AD，B1C1 解析：长方体所有的棱中，与EF垂直且异面的是AD，B1C1. 7．(2024·江苏镇江中学高一月考)如图，已知圆锥CO的正视图是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为________． 答案： 解析：如图，取AC的中点E，劣弧的中点F，AO的中点G，连接OF，OE，易知OE∥BC，AD∥OF，则异面直线AD与BC所成的角是∠EOF或其补角．连接EG，GF，EF，易得EG⊥GF，不妨设OG＝1，则OF＝2，OE＝2，EG＝，GF2＝OG2＋OF2－2OG·OFcos＝5＋2，则EF2＝EG2＋GF2＝8＋2，在△OEF中，cos∠EOF＝＝－，故异面直线AD与BC所成角的余弦值为. 8．(2024·河北邯郸九校联考高一期中)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB＝2AC＝2AA1＝4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为________． 答案： 解析：如图所示，把三棱柱补成长方体，由题意得BC＝2，B1C∥AD1，CD＝AB＝4，则异面直线AC1与B1C所成的角为∠C1AD1(或其补角)．C1D1＝CD＝4，AC1＝＝2，AD1＝＝4，所以cos∠C1AD1＝＝＝. 三、解答题 9．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG， ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC. ∵F是AD的中点， 且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF， ∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角． 又A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠DGD1＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°. ∴CD1⊥EF. 10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值． 解：取AC的中点F，连接EF，BF. 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD， ∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角(或其补角)． 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，∴AB＝AC＝1. 在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝， ∴BE＝. 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝， ∴EF＝. 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 在等腰三角形EBF中， cos∠BEF＝＝＝， ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为. 11．(2024·陕西安康中学高一期末)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，且PB＝PC＝PD＝4，E为AD的中点，∠BAD＝60°，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：分别取BC，PB的中点为F，G，连接DF，FG，DG，BD，如图，因为四边形ABCD是菱形，E，F分别为AD，BC的中点，所以DE∥BF且DE＝BF，所以四边形BEDF为平行四边形，所以BE∥DF.又GF∥PC，所以∠DFG(或其补角)是异面直线PC与BE所成的角．因为底面ABCD是边长为4的菱形，且PB＝PC＝PD＝4，∠BAD＝60°，所以DF＝BE＝2，FG＝2，DG＝4×＝2，所以cos∠DFG＝＝＝，所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为.故选B. 12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点P是棱BB1上一点(不包括端点)，若异面直线AC1与PD所成角的余弦值为，则BP＝________． 答案：1 解析：将原正方体的一侧补上另一个正方体ABEF－A1B1E1F1变为如图所示的长方体．在EE1上取点P1使EP1＝BP，连接AP1，C1P1，则DP綊AP1，∠P1AC1即为异面直线AC1与DP所成的角(或其补角)．设BP＝x，且0<x<4，则AP1＝，P1C1＝.又AC1＝4，AC＋AP＝48＋32＋x2＝80＋x2，P1C＝80＋x2－8x，AC＋AP>P1C，所以∠C1AP1为锐角，cos∠C1AP1＝＝＝，解得x＝1，即BP＝1. 13．(2024·吉林长春吉大附中实验学校高一校考期末)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m与n所成角的正弦值为________． 答案： 解析：由题意可知，延长B1A1与平面α交于点E，延长CB与平面α交于点F，连接AE，AF，EF，即平面AEF所在平面为平面α，如图所示．因为α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，所以设平面CB1D1∩平面ABCD＝m′，则m′∥m.又平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m′∥B1D1，所以m∥B1D1.同理可证n∥CD1，所以m与n所成的角的大小和B1D1与CD1所成的角的大小相等．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C＝B1D1＝CD1，所以△CB1D1是等边三角形，所以m与n所成的角就是∠CD1B1＝60°，所以m与n所成角的正弦值为. 14．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面ADP； (2)求异面直线PA与CB所成的角的大小． 解：(1)证明：取PD的中点F，连接EF，AF， 则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD， 由已知AB∥CD且AB＝CD， 所以AB∥EF且AB＝EF， 所以四边形ABEF为平行四边形， 所以BE∥AF，而AF⊂平面ADP，BE⊄平面ADP， 所以BE∥平面ADP. (2)取CD的中点G，连接AG，PG， 所以AB∥GC且AB＝GC， 所以四边形ABCG为平行四边形， 所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，由题意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°， 所以异面直线PA与CB所成的角的大小为60°. 15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠CAA1＝∠BAA1＝60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点． (1)求证：AE⊥BC； (2)求直线A1B与AC1所成角的余弦值． 解：(1)证明：如图所示，连接AB1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴把三棱柱补成一个底面为正方形的四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD. ∵AB綊CD綊C1D1，∴四边形ABD1C1为平行四边形， ∴BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角． 设AB＝a，∵在▱ABB1A1和▱ACC1A1中，∠CAA1＝∠BAA1＝60°，且AB＝AC＝AA1， ∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1cos30°＝a，AB1＝2AA1cos30°＝a，∴AC1＝AB1， 又E是B1C1的中点，∴AE⊥B1C1， 又BC∥B1C1，∴AE⊥BC. (2)在正方形ABDC中，AD＝a， ∴A1D1＝a， ∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°， ∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$