8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.结合图形，正确理解空间中直线与直线的位置关系(特别是两条直线的异面关系).3.掌握直线与平面的交点个数、位置关系及符号表示． 教学重点：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系． 教学难点：用图形表示直线与平面、平面与平面的位置关系及其应用． 核心素养：通过空间点、直线、平面之间的位置关系的学习过程培养直观想象素养和数学抽象素养． 知识点一　空间中直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有且只有三种 2．异面直线的画法 知识点二　空间中直线与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 直线在平面内 无数个 a⊂α 直线在平面外 直线与平面相交 1个 a∩α＝A 直线与平面平行 0个 a∥α 知识点三　空间中平面与平面的位置关系 1．位置关系：有且只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． 2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l． 3．图示：两个平面α，β平行，如图①所示；两个平面α，β相交于直线l，如图②所示． 1．(线面的位置关系)如图所示，用符号语言可表示为(　　) A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α C．l∥β，l⊄α D．α∥β，l⊂α 答案：D 2．(线面的位置关系)过直线l外一点P，有________个平面与l平行． 答案：无数 3．(线面的位置关系)已知点A∉α，则过点A与平面α有公共点的直线与平面α一定________． 答案：相交 4．(面面的位置关系)过平面α外一点P，有________个平面与α平行． 答案：一 题型一　空间两条直线位置关系的判断 例1　已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明． [解]　直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)． 【感悟提升】　判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)． 【跟踪训练】 1．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 解析：首先看两直线是否有交点，判断是否是相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内，如果不在，那么两直线异面． 本题中直线A1B与直线D1C都在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以(3)应该填“相交”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以(2)(4)都应该填“异面”． 题型二　直线与平面的位置关系 例2　(1)(2024·湖北宜昌一中高一下月考)若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是(　　) A．直线与平面平行 B．直线与平面相交 C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外 [解析]　对于A，若直线与平面相交，此时除交点外，其余点都在平面外，A错误；对于B，C，若直线与平面平行，则所有点都在平面外，B，C错误；对于D，直线无论与平面相交还是平行，都有无数个点在平面外，D正确．故选D. [答案]　D (2)(2024·广东湛江一中高一下检测)如图，三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在的直线与平面BCC′B′的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 [解析]　因为几何体为棱台，所以三条侧棱AA′，BB′，CC′的延长线交于一点，记为P，则直线AA′与平面BCC′B′相交于点P，且直线AA′在平面BCC′B′外．故选A. [答案]　A 【感悟提升】　直线与平面位置关系的判断方法 (1)空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行． (2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断． 【跟踪训练】 2．下列说法中，正确的个数是(　　) ①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交； ②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交； ③经过两条异面直线中的一条直线，有且仅有一个平面与另一条直线平行； ④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行． A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 解析：①正确；如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内所有过交点的直线都相交，故②正确；③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①②③正确．故选D. 题型三　平面与平面的位置关系 例3　已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 [解析]　如图，可能会出现以下两种情况： [答案]　C 【感悟提升】　平面与平面位置关系的判断方法 (1)平面与平面的位置关系有两种：平行和相交．相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点，平面与平面平行的主要特点是没有公共点． (2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况，要学会举反例否定． 【跟踪训练】 3．(多选)以下四个命题中，正确的是(　　) A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行 C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行 D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交 答案：CD 解析：当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以A，B错误． 1.如果一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．可能平行、可能相交、可能异面 答案：D 解析：可以利用长方体的棱所在的直线找到平行、相交、异面的情况． 2．(2024·福建龙岩九校高一期中)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的棱所在的直线与直线BC1为异面直线的条数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 解析：与直线BC1为异面直线的棱有AA1，AD，DD1，A1D1，DC，A1B1，共6条．故选C. 3．(多选)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案：ABC 解析：当α过β，γ的交线时，三个平面有一条交线．当β∥γ时，有两条交线．当α与β，γ两两相交且不交于同一条直线时，有三条交线．故选ABC. 4．下列命题正确的是________． ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；⑥若平面α∥β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b. 答案：①⑤ 解析：①正确；对于②，直线l也可能与平面α相交；对于③，直线l与平面α内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对于④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；⑤正确；对于⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面． 5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？ (1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系； (4)平面ABB1M与平面CDD1C1的位置关系； (5)平面AMD1与平面BNC的位置关系． 解：(1)AM所在的直线与平面ABCD相交． (2)CN所在的直线与平面ABCD相交． (3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行． (4)平面ABB1M与平面CDD1C1平行． (5)平面AMD1与平面BNC相交． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 面面的位置关系 线面的位置关系 面面的位置关系 线线的位置关系 线线的位置关系 异面直线的判断 线面的位置关系；面面的位置关系 线面的位置关系 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 线面的位置关系 异面直线的判断 线线的位置关系；线面的位置关系 线面的位置关系 面面的位置关系 异面直线的证明 异面直线的判断 一、选择题 1．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作(　　) A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．1个或2个 答案：C 解析：平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①直线与平面相交．此时过平面外两点不能作该平面的平行平面；②直线与平面平行．此时过平面外两点能作唯一的平面与该平面平行． 2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　) A．α内的所有直线均与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内的直线均与a相交 D．直线a与平面α有公共点 答案：D 解析：由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错误；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错误；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错误；当a⊂α时，直线a与平面α有无数个公共点，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，故D正确．故选D. 3．(2024·河南洛阳高一统考期中)已知直线a，b，平面α，β，若a⊂α，b⊂β，则“a∥β，b∥α”是“α∥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：因为a⊂α，b⊂β，所以当a∥β，b∥α时，若a∥b，则α，β可能平行，也可能相交；当α∥β时，一定有a∥β，b∥α成立，故“a∥β，b∥α”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B. 4．(2024·陕西西安周至县第四中学高一下期中)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　) A．l至少与l1，l2中的一条相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l与l1，l2都不相交 答案：A 解析：如图，当l1与l2异面时，l1，l2可同时与l相交，l也可与l1，l2中的一条相交．故选A. 5．(多选)(2024·江苏无锡一中高一下月考)已知点A，B，C，直线m，n，平面α，β，下列命题中正确的是(　　) A．若直线m与n无公共点，则m∥n B．若A∈m，B∈m，C∈m，则过点A，B，C的平面有无数个 C．若直线m⊂α，n⊂β，则m，n可能是异面直线 D．若m∥n，则过直线m，n的平面有且只有一个 答案：BCD 解析：对于A，若直线m与n无公共点，直线m与n可能异面，故A错误；对于B，若A∈m，B∈m，C∈m，则过点A，B，C的平面有无数个，B正确；对于C，若直线m⊂α，n⊂β，则m，n的位置关系可能是相交、平行或异面，故C正确；对于D，若m∥n，则根据推论3可知，过直线m，n的平面有且只有一个，D正确．故选BCD. 二、填空题 6．如图，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________． 答案：②④ 解析：①中，GH∥MN；③中，GM∥HN，且GM≠HN，故GH，MN必相交；②④符合题意． 7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系： (1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________； (2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________． 答案：(1)平行　(2)相交 解析：(1)AD1所在直线与平面BCC1没有公共点，所以平行． (2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交． 8．一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线满足________(填序号)． ①与两个平面都平行；②与两个平面都相交；③在两个平面内；④至少和其中一个平面平行． 答案：④ 解析：一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线可能在其中一个平面内且与另一个平面平行，也可能与两个平面都平行． 三、解答题 9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？ 解：B1D1在平面A1B1C1D1内，B1D1与平面BCC1B1，平面ABB1A1，平面ADD1A1，平面CDD1C1都相交，B1D1与平面ABCD平行． 10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问： (1)AM与CN是否是异面直线？说明理由． (2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由． 解：(1)不是异面直线．理由如下： 因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1. 又A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C. 所以四边形A1ACC1为平行四边形， 所以A1C1∥AC，则MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM与CN不是异面直线． (2)是异面直线．理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1. 而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线． 11．平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则(　　) A．a一定不平行于α B．a∥α C．a与b一定是异面直线 D．α内可能有无数条直线与a平行 答案：D 解析：由题意，知a与α可能平行也可能相交．若a∥α，b⊂α，则a与b异面；若a与α相交，b⊂α，则a与b相交或异面，由此可知A，B，C均不正确．故选D. 12．(多选)(2024·广东佛山一中高一下检测)M，N为直线l外两点，则过这两点且与该直线平行的平面可能有(　　) A．0个 B．1个 C．无数个 D．2个 答案：ABC 解析：分以下三种情况讨论：①若直线MN与直线l相交，则过M，N两点且与直线l平行的平面有0个；②若直线MN与直线l异面，如图所示．作直线m与直线l平行，且使得直线m与直线MN相交，此时，直线m与直线MN确定的平面为平面α，则直线l∥平面α，所以过M，N两点且与直线l平行的平面有1个；③若直线MN与直线l平行，则过M，N两点且与直线l平行的平面有无数个．故选ABC. 13．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个． 答案：4　6 解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，与其中某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均相交． 14．如图，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线． 证明：证法一：因为PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，所以点N与点M不重合． 因为N∈平面ABC，P∉平面ABC，CM⊂平面ABC，N∉CM， 所以PN与MC为异面直线． 证法二：假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α，于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α. 因为PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，所以点M与点N不重合． 因为M∈α，N∈α，所以MN⊂α. 因为A∈MN，B∈MN，所以A∈α，B∈α，即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾． 所以假设不成立． 故PN与MC为异面直线． 15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁的爬行路线是AB→BB1→…，它们都依照如下规则：所爬行的第(n＋2)段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2024段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的直线距离是多少？ 解：由题意及异面直线的定义可知，红蚂蚁的行走路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到点A后继续重复之前的路线．黑蚂蚁的路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，回到点A后继续重复之前的路线，2024÷6＝337……2，故红、黑两只蚂蚁走完2024段后分别停在D1，B1处，即此时红、黑两只蚂蚁的直线距离为线段D1B1的长度，为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$