8.3.2 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 (教师独具内容) 课程标准：知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积公式及其应用． 教学难点：圆台的表面积与体积公式的推导． 核心素养：1.通过总结圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式培养数学抽象素养.2.通过圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算培养直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l) 侧面展开图 底面面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S上底＝πr′2， S下底＝πr2 侧面面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝πl(r′＋r) 表面积 S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l) S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆锥 V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆台 V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径，h是高) 知识点三　柱体、锥体、台体的体积公式 V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 1．(圆柱的表面积)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为(　　) A．6π B．8π C．9π D．10π 答案：A 2．(圆锥的体积)已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为________． 答案：π 3．(圆台的侧面积)圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面积是________． 答案：54π 题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 例1　(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π [解析]　因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2π×()2＋2π××2＝12π.故选B. [答案]　B (2)已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为________． [解析]　由题意，得该圆锥的母线长l＝＝10，所以该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，所以该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π. [答案]　144π (3)已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，5，高为4，则这个圆台的表面积为________． [解析]　因为圆台的上、下底面半径分别为2，5，高为4，所以母线长为＝5，所以圆台的表面积为π×22＋π×52＋π×(2＋5)×5＝64π. [答案]　64π 【感悟提升】　圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各个平面图形的面积相加． 【跟踪训练】 1．(1)圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比． 解：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R， 则有＝，即＝， ∴R＝2r，圆锥的母线长l＝R， ∴＝＝＝＝＝－1. (2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积． 解：圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h， 由题意，R＝h＝4r， 则它的母线长为 l＝＝＝5r＝10， 所以r＝2，R＝8. 故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π， S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π. 题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积 例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长为12 cm、宽为8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　) A． cm3 B． cm3 C．288π cm3 D．192π cm3 [解析]　当圆柱的高为8 cm时，V＝π××8＝(cm3)；当圆柱的高为12 cm时，V＝π××12＝(cm3)． [答案]　AB (2)(2024·河南商丘第一中学高一下期末)小明和同学们要参加学校的话剧表演活动，他们要用一张边长为16 cm的正方形蓝色纸片做一顶小小的圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥，如图所示，其中PO为该圆锥的高，那么这个圆锥的体积是(　　) A． cm3 B．20π cm3 C． cm3 D． cm3 [解析]　设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，则×2π×16＝2πr，则r＝4 cm，则圆锥的高h＝＝4(cm)，圆锥的体积为πr2h＝×42×4π＝(cm3)．故选A. [答案]　A (3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________． [解析]　设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝，∴V＝π(1＋4＋1×2)×＝. [答案]　 【感悟提升】　圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形(或直角梯形)中列出方程并求解． 【跟踪训练】 2．(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．∶2 D．3∶4 答案：D 解析：设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，所以V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4. (2)设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为________． 答案：21π 解析：设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1DA＝∠A1DB＝90°，又∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，∴R－r＝.∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴BD＝A1Dtan60°＝3，∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3.∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π，∴圆台的体积为21π. 题型三　组合体的表面积与体积 例3　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． [解]　如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a. ∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a. ∴DO＝DD′＝a. 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a. ∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2， 圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积S4＝πa2. ∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2. ∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． V柱＝S3h＝4πa2·a＝4πa3. V锥＝S4h＝·πa2·a＝πa3. ∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3. 【感悟提升】　求组合体的表面积与体积的方法 (1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体． (2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢． 【跟踪训练】 3．若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积． 解：如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体．过点C作CE⊥AB于点E，设CD＝x，AB＝x， 则AD＝CE＝BE＝AB－CD＝，BC＝x. S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧 ＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·CE·BC ＝π·＋2π··x＋π··x ＝πx2. 根据题设，得πx2＝(5＋)π，则x＝2. 所以旋转体的体积V＝π·AD2·CD＋π·CE2·BE＝π×12×2＋×12×1＝. 1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D．∶2 答案：C 解析：设圆锥的底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，∴S底∶S侧＝1∶.故选C. 2．(2024·江苏无锡辅仁高中高一校考期末)已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为，则r＝(　　) A． B．2 C．3 D． 答案：B 解析：由题意知，圆锥的母线长为l＝r，设圆锥的底面半径为R，高为h，则2πR＝πr，R＝，h＝＝r，所以V＝πR2h＝π··r＝，r＝2.故选B. 3．(2024·安徽宣城高一下期末调研测试)《九章算术》作为古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．今有圆亭，上、下底面圆的直径分别为18寸、30寸，圆亭母线长为10寸(取π≈3)，则该圆亭的表面积和体积分别约为(　　) A．1368平方寸，3528立方寸 B．1638平方寸，4410立方寸 C．1638平方寸，3528立方寸 D．1368平方寸，4410立方寸 答案：C 解析：由题意，知圆亭的上、下底面圆半径分别为9寸，15寸，圆亭母线长为10寸，则该圆亭的高h＝＝8(寸)，故该圆亭的表面积S＝π×10×(9＋15)＋π×92＋π×152＝546π≈1638(平方寸)，体积V＝π×(92＋152＋9×15)×8≈3528(立方寸)．故选C. 4．把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为________． 答案：16π＋ 解析：由主视图数据可知半圆柱的半径为2，母线长为8，四棱锥的底面是边长为4和8的矩形，高为4，所以体积V＝×π×22×8＋×4×8×4＝16π＋. 5．已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积． 解：作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r， 则r＝，AD＝， l＝＝3. 故几何体的表面积为S＝πrl＋πr2＋2πr·AD＝π××3＋π×()2＋2π××＝(3＋3＋6)π(cm2)． 几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·r2·AD－πr2·AD＝π×3×－×π×3×＝2π(cm3)． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 圆锥的表面积 圆柱的侧面积和表面积 组合体的体积 圆柱和圆锥的侧面积；圆锥的体积 组合体的表面积和体积 圆柱的侧面积和体积 组合体的表面积和体积 题号 8 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 圆台的侧面积和表面积 组合体的表面积和体积 组合体的表面积和体积 圆柱、圆锥的体积 柱体的表面积 圆锥、圆台的体积 圆锥的表面积和体积 圆台的表面积；棱锥的体积 一、选择题 1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为(　　) A．2π B．3π C．4π D．5π 答案：C 解析：设圆锥的母线长为l，则l·＝2π，解得l＝3，则该圆锥的表面积为π×1×3＋π×12＝4π. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设圆柱的底面半径为r，则其底面的周长为2πr，高为h＝2πr，且S侧＝4π2r2，S表＝4π2r2＋2πr2，所以＝＝. 3．已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A． B．3π C． D．6π 答案：B 解析：由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的后剩余的部分，所以V剩＝×π×12×4＝3π. 4．(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 答案：B 解析：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. 5．(多选)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝，DE⊥AB，垂足为点E，以DE所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则(　　) A．该几何体为圆台 B．该几何体的高为 C．该几何体的表面积为7π＋2 D．该几何体的体积为 答案：BCD 解析：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，该几何体的高为DE＝，该几何体的表面积为S＝π×1×2＋π×12＋π×(1＋2)×2＋π×(12＋22)＋2××2×＝7π＋2，体积为V＝××π×12×＋××π××(1＋4＋2)＝.故选BCD. 二、填空题 6．(2024·福建福州一中高一月考)设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为2，3，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，则的值是________． 答案： 解析：设甲的高为h1，乙的高为h2，由题意可得2π×2×h1＝2π×3×h2，所以＝，所以＝＝. 7．如图，一个几何体由一个圆柱和一个圆锥组合而成，圆柱体的高为1 m，圆锥体的高为2 m，公共的底面是半径为1 m的圆形，那么这个几何体的体积为________ m3，表面积为________ m2. 答案：　(3＋)π 解析：由题意知，几何体的体积为圆柱体积加圆锥体积，即π×12×1＋π×12×2＝.设圆锥的母线长为l，则l＝＝，表面积为圆柱的上底面面积加上圆柱的侧面积加上圆锥的侧面积，即π×12＋2π×1×1＋π×1×＝(3＋)π. 8．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台的表面积为________． 答案：174π 解析：设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3.则该圆台的表面积为π×32＋π×92＋84π＝174π. 三、解答题 9．如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积． 解：该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体． 令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h， 则R＝2，r＝1，l＝4，h＝. 因为圆锥的表面积S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π， 圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π×1×＝2π， 所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋2π＝(12＋2)π. 因为圆锥的体积V1＝πR2×2h＝π×22×2＝， 圆柱的体积V2＝πr2h＝π×12×＝π， 所以所求几何体的体积V＝V1－V2＝－π＝. 10．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.9×103 kg/m3)六角螺丝钉共重15.8 kg.如图，每个螺丝钉都是由一个正六棱柱和一个圆柱构成， 正六棱柱底边长为9 mm，高为2 mm；圆柱的底面半径为6 mm，高为10 mm.(π≈3.14，≈1.7) (1)求一个六角螺丝钉的表面积； (2)这堆螺丝钉大约有多少个？ 解：(1)正六棱柱两个底面的面积为S1＝×92×6×2＝243(mm2)， 正六棱柱六个侧面的面积为S2＝9×2×6＝108(mm2)， 圆柱侧面的面积为S3＝2π×6×10＝120π(mm2)， 故一个六角螺丝钉的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝243＋108＋120π≈897.9(mm2)， 所以一个六角螺丝钉的表面积大约是897.9 mm2. (2)这堆六角螺丝钉的体积为 V＝＝2×10－3 m3＝2×106(mm3)， 一个六角螺丝钉的体积为V1＝×92×6×2＋π×62×10＝243＋360π≈1543.5(mm3)， 这堆六角螺丝钉大约有＝≈1296(个)． 因此这堆六角螺丝钉大约有1296个． 11．若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是(　　) A．6 cm B．6 cm C．2 cm D．3 cm 答案：B 解析：水的体积V＝π×22×6＝24π(cm3)．设圆锥中水的底面半径为r，则水的高度为r，∴πr2·r＝24π，∴r3＝24，∴(r)3＝216，∴r＝6，即圆锥中水面的高度为6 cm. 12．(2024·福建福州高一质量检测)已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为(　　) A．2π B．π＋8 C．2π＋8 D．4π＋8 答案：C 解析：因为一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，所形成的几何体为柱体，该柱体是底面半径r为2，高h为2的圆柱的八分之一，所以其表面积S＝(2πrh＋2πr2)＋rh×2＝×(2π×2×2＋2π×22)＋2×2×2＝2π＋8.故选C. 13．体积为52的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是________． 答案：54 解析：设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台的高为h1，则52＝πh1·(r2＋9r2＋r·3r)，∴πr2h1＝12.设原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1，∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝πr2h1＝×12＝54. 14．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)． (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积(仓库底面不用建)； (3)哪个方案更经济些？ 解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1＝Sh＝×π××4＝(m3)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝Sh＝×π××8＝96π(m3)． (2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m. 圆锥的母线长l＝＝4(m)， 则仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π(m2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m， 圆锥的母线长为l＝＝10(m)， 则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π(m2)． (3)∵V2>V1，S2<S1，∴方案二更经济． 15．(2024·山东青岛莱西市高一下期末)如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，AB＝AD＝4，C为底面圆周上一动点，∠BCD＝，PA为圆台的母线，PA＝5，圆台上底面的半径为1. (1)求该圆台的表面积； (2)求四棱锥P－ABCD体积的最大值． 解：(1)因为∠BCD＝，所以∠BAD＝， 在△ABD中，由余弦定理，得 BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cos∠BAD＝48，得BD＝4， 由正弦定理可知，△ABD的外接圆直径2R＝＝＝8， 所以下底面的半径R＝4，又上底面的半径r＝1，母线长l＝5， 所以圆台的表面积S表＝π(r2＋R2＋rl＋Rl)＝π×(12＋42＋1×5＋4×5)＝42π. (2)在四边形ABCD中，S△ABD＝AB×AD×sin∠BAD＝4， 在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD， 得BD2＝BC2＋CD2－BC·CD≥BC·CD，所以BC·CD≤48，当且仅当BC＝CD＝4时，等号成立， 所以△BCD的面积S＝BC·BDsin∠BCD≤12， 所以四边形ABCD面积的最大值为16， 在轴截面直角梯形PAOO1中， 由勾股定理可得h＝＝4， 所以四棱锥P－ABCD体积的最大值为S四边形ABCD·h＝. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$