7.1.2 复数的几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

7.1.2　复数的几何意义 (教师独具内容) 课程标准：理解复数的几何意义． 教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念． 教学难点：复数的几何意义的理解与应用． 核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养． 知识点一　复平面的相关概念 　如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．这是复数的一种几何意义． 知识点二　复数的向量表示 如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量. 这是复数的另一种几何意义，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 知识点三　复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)． 知识点四　共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． 1．(复数与复平面内的向量)若＝(0，－3)，则对应的复数为________． 答案：－3i 2．(复数与复平面内的点)复数z＝1－4i在复平面内对应的点位于第________象限． 答案：四 3．(复数的模)复数i的模是________． 答案： 4．(共轭复数)复数5＋6i的共轭复数是________． 答案：5－6i 题型一　复数与复平面内的点 例1　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． [解]　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1. (2)由题意得 ∴ ∴－1<m<1. (3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2， ∴m＝2. 【感悟提升】　复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 【跟踪训练】 1．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点： (1)在实轴上方？ (2)在直线y＝－x上？ 解：(1)由题意得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5， 所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在实轴上方． (2)由题意，得m2－2m－15＝－(m2＋5m＋6)，整理得2m2＋3m－9＝0， 解得m＝或m＝－3. 所以当m＝或m＝－3时，复数z对应的点在直线y＝－x上． 题型二　复数与复平面内的向量 例2　(1)已知M(1，3)，N(4，－1)，P(0，2)，Q(－4，0)，O为复平面的原点，试写出，，，所表示的复数． [解]　表示的复数为1＋3i； 表示的复数为4－i； 表示的复数为2i； 表示的复数为－4. (2)已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量． [解]　复数1对应的向量为，其中A(1，0)； 复数－1＋2i对应的向量为，其中B(－1，2)； 复数－3i对应的向量为，其中C(0，－3)； 复数6－7i对应的向量为，其中D(6，－7)． 如图所示． 【感悟提升】　复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解． 【跟踪训练】 2．(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________． 答案：－6－8i 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4，3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i. (2)(2024·甘肃张掖中学高一检测)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 解：记O为复平面的原点， 由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3)． 设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)． 由题意知，＝， 所以即 故点D对应的复数为－3－2i. 题型三　复数的模 角度1　复数模的计算 例3　求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小． [解]　因为z1＝6＋8i，z2＝－－i， 所以|z1|＝＝10， |z2|＝＝. 因为10>，所以|z1|>|z2|. 【感悟提升】　计算复数模时的注意点 (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． (2)两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 【跟踪训练】 3．已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点对应复数z，则|z|＝(　　) A． B．5 C． D．3 答案：A 解析：由题意可得A(6，－5)，B(－2，3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)，其对应的复数z＝2－i，则|z|＝＝.故选A. 角度2　复数模的几何意义 例4　设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ [解]　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5. 这表明向量(O为复平面的原点)的长度等于5，即点Z到原点O的距离等于5. 因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，5为半径的圆． 【感悟提升】　巧用复数的模的几何意义解题 我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点O间的距离．也就是向量的模，|z|＝||. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题． 【跟踪训练】 4．设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝； (2)<|z|<2. 解：(1)由|z|＝得，向量(O为复平面的原点)的模等于，所以满足条件|z|＝的点Z的集合是以原点O为圆心，为半径的圆． (2)根据复数模的几何意义可知， 复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括圆环的边界． 题型四　共轭复数 例5　(1)(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i [解析]　复数z在复平面内对应的点是(－1，)，根据复数的几何意义，z＝－1＋i，由共轭复数的定义可知，＝－1－i.故选D. [答案]　D (2)已知a，b∈R，复数z1＝－1＋ai，z2＝b－3i(i为虚数单位)，若z1＝2，则a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－4 [解析]　由z2＝b－3i，得2＝b＋3i，∵z1＝2，∴解得∴a＋b＝2.故选B. [答案]　B 【感悟提升】　共轭复数的性质 (1)两个共轭复数在复平面内的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)|z|＝||∈R. 【跟踪训练】 5．(1)(2024·新疆喀什高一校考期末)复数z＝3＋4i，其中i为虚数单位，则||＝(　　) A．25 B．3 C．5 D． 答案：C 解析：因为z＝3＋4i，所以＝3－4i，故||＝＝5. (2)(2024·福建莆田高一校考阶段练习)已知a，b∈R，若a＋4i与3－bi互为共轭复数，则|a＋bi|＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案：D 解析：∵a＋4i与3－bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝4，则有|a＋bi|＝|3＋4i|＝＝5.故选D. 1．(多选)若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i在复平面内对应的点Z在虚轴上，则a的值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：AC 解析：由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数或0，所以a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.故选AC. 2．已知复数z＝a＋i(a∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝(　　) A．－1＋i B．1＋i C．－1＋i或1＋i D．－2＋i 答案：A 解析：由|z|＝2，得＝2，解得a＝±1.因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，即a＝－1，所以复数z＝－1＋i.故选A. 3．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________． 答案：2　4 解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4. 4．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，则a的值为________． 答案：－ 解析：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，所以＝(－3，4)，＝(2a，1)．因为与共线，所以存在实数k使＝k，即(2a，1)＝k(－3，4)＝(－3k，4k)，所以所以即a的值为－. 5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 解：因为复数z在复平面内对应的点在第一象限， 所以 解得m<或m>. 所以实数m的取值范围为∪. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 复数模的计算 复数与复平面内的点 复数模的计算 共轭复数；复数与复平面内的点 复数模的计算；复数相等 共轭复数；复数与复平面内的点 复数与复平面内的点 复数与复平面内的向量 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★★ 对点 复数与复平面内的点；复数的分类 复数模的几何意义 复数模的几何意义 复数的分类；共轭复数；复数与复平面内的点 复数与复平面内的向量 共轭复数；复数模的计算 复数与复平面内的点、向量 一、选择题 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 答案：C 解析：若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C. 2．复数z1＝1＋i和z2＝1－i在复平面内的对应点关于(　　) A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 答案：A 解析：复数z1＝1＋i在复平面内的对应点为Z1(1，)，复数z2＝1－i在复平面内的对应点为Z2(1，－)，点Z1与Z2关于实轴对称． 3．(2024·浙江金华十校高一下期末联考)已知i是虚数单位，复数z1＝4＋2i与z2＝3＋ai的模相等，则实数a的值为(　　) A．± B． C．±11 D．11 答案：A 解析：因为z1＝4＋2i，z2＝3＋ai，所以|z1|＝＝＝2，|z2|＝＝，由已知2＝，所以a＝±.故选A. 4．当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：∵<m<1，∴2<3m<3，∴0<3m－2<1且－<m－1<0，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限．∵一对共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A. 5．(多选)若|4＋2i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则(　　) A．x＝3 B．y＝4 C．x＋yi＝－3＋4i D．|x＋yi|＝5 答案：BCD 解析：由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，所以解得所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.故选BCD. 二、填空题 6．已知i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则2＝________． 答案：－2－3i 解析：复数z1＝2－3i在复平面内对应的点为(2，－3)，则z2在复平面内对应的点为(－2，3)，所以z2＝－2＋3i，2＝－2－3i. 7．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是________． 答案：∪(1，2) 解析：根据题意，有即所以实数k的取值范围是∪(1，2)． 8．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋2i，z2＝3a－5i(a∈R)，若⊥，则a＝________． 答案： 解析：由题意得Z1(4，2)，Z2(3a，－5)，则＝(4，2)，＝(3a，－5)，因为⊥，所以·＝(4，2)·(3a，－5)＝12a－10＝0，解得a＝. 三、解答题 9．已知复数z＝(a2－2a－3)＋(a2－4a＋3)i，其中a是实数． (1)若z∈R，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第一象限，求a的取值范围． 解：(1)由题意，z∈R，则a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3. 故a的值为1或3. (2)因为复数z在复平面内对应的点位于第一象限， 所以解得a<－1或a>3. 故a的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 10．(2024·海淀区校级模拟)设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数ω＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积． 解：|ω|＝＝＝|z|，而1≤|z|≤，故≤|ω|≤2，所以ω对应点的集合是以原点为圆心，和2为半径的圆所夹圆环内点的集合(包括圆环的边界)，其面积为S＝π[22－()2]＝2π. 11．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的轨迹是(　　) A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆 答案：A 解析：由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3，∴复数z对应的点的轨迹是1个圆． 12．(多选)(2024·安徽铜陵市高一下期中)已知复数z＝(m2－4m－5)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)在复平面内对应的点为Z，则下列结论正确的是(　　) A．若m＝5，则z为纯虚数 B．若为z的共轭复数且z＝，则m＝－2 C．若m＝，则点Z在直线y＝－x上 D．若－2<m<5，则点Z在第三象限 答案：AC 解析：对于A，当m＝5时，z＝42i，是纯虚数，故A正确；对于B，因为＝(m2－4m－5)－(m2＋3m＋2)i，z＝，所以(m2－4m－5)＋(m2＋3m＋2)i＝(m2－4m－5)－(m2＋3m＋2)i，所以m2＋3m＋2＝－(m2＋3m＋2)，所以m＝－1或m＝－2，故B错误；对于C，当m＝时，z＝－＋i，所以Z，所以点Z在直线y＝－x上，故C正确；对于D，由m2－4m－5<0，得－1<m<5，由m2＋3m＋2<0，得－2<m<－1，所以不存在点Z在第三象限，故D错误．故选AC. 13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面内所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________． 答案：5 解析：由已知，得＝(－1，2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，∴x＋y＝x(－1，2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)．由＝x＋y，可得解得∴x＋y＝5. 14．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)． (1)若m＝1，且||＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值； (2)当m为何值时，||最小？并求||的最小值． 解：(1)由m＝1，得z＝3＋4i，＝3－4i， 则由||＝|x＋(x－1)i|， 得＝， 整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3. (2)||＝ ＝＝≥， 当且仅当m＝－1时，||取得最小值，为. 15．(2024·山东青岛十九中高一下期中)已知复平面内复数z＝(2m－1)＋(m＋1)i(m∈R)对应的点为Z. (1)若点Z在函数y＝2x－6的图象上，求实数m的值； (2)若O为坐标原点，点A(2，－1)，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围． 解：(1)因为点Z(2m－1，m＋1)在函数y＝2x－6的图象上， 所以m＋1＝2×(2m－1)－6，解得m＝3. (2)＝(2m－1，m＋1)，＝(2，－1)， 因为与的夹角为钝角， 所以·<0， 所以(2m－1，m＋1)·(2，－1)<0， 即4m－2－m－1<0，得m<1， 当两向量共线且反向时，设＝λ，λ<0， 即 解得λ＝－，m＝－， 所以实数m的取值范围为∪. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$