7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

7.1.1　数系的扩充和复数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示.3.理解两个复数相等的含义． 教学重点：1.复数的概念.2.复数的代数形式.3.复数相等的条件． 教学难点：复数分类的代数表示和复数相等的充要条件的应用． 核心素养：1.通过数系的扩充过程以及复数的分类培养数学抽象素养.2.通过复数相等的充要条件的应用培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　复数的相关概念 1．复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． 2．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部． 知识点二　复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d． 知识点三　复数的分类 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数． 可以通过下图表示： (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2)集合表示 [注意]　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．当且仅当两个复数都是实数时，可以比较大小． 1．(复数相等)若a＋bi＝0，则实数a＝________，实数b＝________． 答案：0　0 2．(复数的表示)(1＋)i的实部与虚部分别是________． 答案：0，1＋ 3．(复数的分类)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________． 答案：±1 题型一　复数的有关概念 例1　给出下列四个命题： ①两个复数不能比较大小； ②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ④以2为实部的复数有无数个． 其中真命题的个数是________． [解析]　①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小，故①为假命题；②若a＝0，则ai不是纯虚数，故②为假命题；③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知③为假命题；④对于复数2＋ai(a∈R)，a有无数个取值，故④为真命题． [答案]　1 【感悟提升】　数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练】 1．给出下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i； ③若a，b∈C，则复数a＋bi的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于－1. 其中正确命题的序号是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：D 解析：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，只有当a，b∈R时，复数a＋bi的实部才为a，虚部为b，故③错误；④正确． 题型二　复数的分类 例2　当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ [解]　(1)当即m＝2时，复数z是实数． (2)当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数． (3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数． [条件探究]　是否存在实数m，使z＝(m2－2m)＋i是纯虚数？ 解：由z＝(m2－2m)＋i是纯虚数， 得解得m∈∅，即不存在实数m，使z＝(m2－2m)＋i是纯虚数． 【感悟提升】　利用复数的分类求参数的值或范围的步骤 【跟踪训练】 2．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时， (1)z为实数？ (2)z为虚数？ (3)z为纯虚数？ 解：(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3. (2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3. (3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2. 题型三　复数相等的应用 例3　(1)求满足下列条件的实数a，b的值： ①(a－3b)＋(2a＋3b)i＝5＋i； ②(a2－b2)＋2abi＝6i－8. [解]　①由题意可知 解得a＝2，b＝－1. ②由题意可知 解得a＝1，b＝3或a＝－1，b＝－3. (2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值． [解]　设方程的实数根为x＝m，则原方程可转化为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， ∴ 解得a＝11或a＝－. 【感悟提升】　复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组并求解． 【跟踪训练】 3．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值． 解：∵M∪P＝P，∴M⊆P， 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得解得m＝1； 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 得解得m＝2. 综上，实数m的值为1或2. 1．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件． 2．以3i－的虚部为实部，3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　) A．3－3i B．3＋i C．－＋i D．＋i 答案：A 解析：3i－的虚部为3，3i2＋i的实部为－3，所以所求复数为3－3i. 3．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若x是实数，则x是复数 B．若z是虚数，则z不是实数 C．复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等 D．－1没有平方根 答案：ABC 解析：因为实数集是复数集的真子集，所以A正确；若z是虚数，则z一定不是实数，B正确；对于C，因为a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，所以这两个复数不可能相等，C正确；因为－1的平方根为±i，所以D错误． 4．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________． 答案：3 解析：依题意有解得m＝3. 5．如果log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，求自然数m，n的值． 解：∵log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1， ∴∴ ∵m，n∈N，∴m＝0，n＝1或n＝2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 复数的有关概念 复数的分类 复数的有关概念 复数的分类 复数相等 复数的分类 复数的有关概念 复数相等 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 复数的分类 复数相等 复数的分类 复数的有关概念 复数相等 复数的分类；复数相等 复数的分类 一、选择题 1．给出下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0；④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：i∈C，i2＝－1＜0，故①为假命题；2i－1的虚部为2，故②为假命题；2i的实部是0，故③为真命题；当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立，故④为假命题． 2．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　) A．C＝R∪I B．R∪I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅ 答案：D 解析：由Venn图可知D正确． 3．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　) A．－1或3 B．{a|a>3或a<－1} C．{a|a>－3或a<1} D．{a|a>3或a＝－1} 答案：B 解析：∵复数z的实部大于虚部，∴a2>2a＋3，解得a>3或a<－1.故选B. 4．设a∈R，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋i为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当a＝1时，复数(a－1)(a＋2)＋i＝i，为纯虚数；当复数(a－1)(a＋2)＋i为纯虚数时，有(a－1)(a＋2)＝0，得a＝1或a＝－2.所以“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋i为纯虚数”的充分不必要条件．故选A. 5．(多选)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n的值可能是(　　) A．4 B．2 C．0 D．－2 答案：AC 解析：由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3，且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0.故选AC. 二、填空题 6．(2024·云南昆明行知中学高一下期末拉练三)若复数z＝a－b＋bi(a，b∈R)为纯虚数，请写出满足条件的一组实数a，b的值________．(答案不唯一，写出一组即可) 答案：a＝1，b＝1(答案不唯一) 解析：由纯虚数的定义知，复数z＝a－b＋bi为纯虚数，则即可，所以只需满足a＝b≠0即可，取a＝1，b＝1.(答案不唯一) 7．(2024·河北邢台月考)若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________． 答案：4 解析：由题意，得可得m＝4. 8．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________． 答案：－2 解析：∵m∈R，∴解得m＝－2. 三、解答题 9．(2024·朝阳区校级期中)当实数m分别为何值时， (1)复数z＝m2＋m－2＋(m2＋5m＋6)i是实数？虚数？ (2)复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)是纯虚数？ 解：(1)若复数z＝m2＋m－2＋(m2＋5m＋6)i是实数，则m2＋5m＋6＝0，∴m＝－3或m＝－2. 若复数z＝m2＋m－2＋(m2＋5m＋6)i是虚数，则m2＋5m＋6≠0，∴m≠－3且m≠－2. (2)若复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)是纯虚数，则log2(m2－3m－3)＝0且log2(3－m)≠0， 由log2(m2－3m－3)＝0可得m＝－1或m＝4， 又m＝4时，log2(3－m)无意义，m＝－1时，log2(3－m)＝2，所以m＝－1. 10．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且满足(M∩N)⊆M，M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，① 或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③ 由①得解得a＝－3，b＝±2， 由②得解得a＝±3，b＝－2， 由③得该方程组中a，b无整数解，不符合题意． 综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2. 11．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　) A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 答案：C 解析：若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个实数或实部不为0的虚数．当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0时，则|a－1|－1＝0，即a＝2，则已知的复数也不是一个纯虚数．综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C. 12．(多选)(2024·黑龙江鸡西四中高一下期中)若复数a＋bi>c＋di，则下列结论中正确的是(　　) A．a>c B．a＝c＝0 C．b＝d＝0 D．b>d 答案：AC 解析：因为虚数不能比较大小，若复数a＋bi>c＋di，则说明a＋bi与c＋di均为实数，所以b＝d＝0且a>c.故选AC. 13．(2024·广西柳州三中高一下月考)已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于________． 答案：3－i 解析：由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即解得所以z＝m＋ni＝3－i. 14．(2024·湖南长沙高一下月考)已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵z1为纯虚数，∴ 解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2. ∵－1≤sinθ≤1， ∴当sinθ＝1时，λmin＝2， 当sinθ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]． 15．已知z＝sinA＋(ksinA＋cosA－1)i，A为△ABC的一个内角．若不论A为何值，总存在k使得z是实数，求实数k的取值范围． 解：∵z是实数，A∈(0，π)，sinA≠0， ∴ksinA＋cosA－1＝0，即k＝恒成立． 又＝＝tan，A∈(0，π)，∈， ∴tan∈(0，＋∞)，∴∈(0，＋∞)， ∴当k>0时，不论A为何值，总存在k使得z是实数， 故实数k的取值范围为(0，＋∞)． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$