6.4.3 第1课时 余弦定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 (教师独具内容) 课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 教学重点：1.用向量的方法推导余弦定理.2.用余弦定理求解三角形的边、角． 教学难点：余弦定理在解三角形中的应用． 核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养． 知识点一　余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 知识点二　余弦定理的推论 cosA＝，cosB＝，cosC＝． 知识点三　解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 知识点四　余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形． [提示]　判定三角形形状时常用到的结论 (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边三角形ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则60°<A<90°. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2. 1．(已知三边求角)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________． 答案： 2．(已知三边判断三角形形状)已知△ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是________三角形． 答案：钝角 3．(已知三边关系求角)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________． 答案： 4．(已知两边及其夹角求边)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC＝________． 答案： 题型一　已知两边及一角解三角形 例1　在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形． [解]　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos45°＝8， ∴b＝2， 又cosA＝ ＝＝， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 【感悟提升】　已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． 【跟踪训练】 1．(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是(　　) A．8 B．2 C．6 D．2 答案：D 解析：根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，所以c＝2. (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a. 解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB， ∴32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°， ∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°. 当a＝6时，由余弦定理， 得cosA＝＝＝0， ∴A＝90°，∴C＝60°. 题型二　已知三边(三边关系)解三角形 例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A． B． C． D． [解析]　因为c<b<a，所以最小角为角C，所以cosC＝＝＝，所以C＝.故选B. [答案]　B (2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A＝(　　) A．90° B．30° C．120° D．150° [解析]　因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝.因为0°<A<180°，所以A＝30°.故选B. [答案]　B [条件探究]　若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？ 解：因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦定理，可得 cosA＝ ＝ ＝＝. 故△ABC的最大角的余弦值为. 【感悟提升】　已知三边(三边关系)求解三角形的方法 (1)已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理的推论求解出各角的大小． (2)若已知三角形的三边关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质转化为已知三边求解． 注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角． 【跟踪训练】 2．(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________． 答案：120° 解析：由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得a∶b∶c＝7∶5∶3，∴边a最大．又cosA＝＝－，∴A＝120°. (2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长． 解：解法一：由余弦定理的推论，得 cosA＝＝＝， 设AC边上的中线长为x，由余弦定理知，x2＝＋AB2－2××ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7. ∴所求中线长为7. 解法二：在△ABC中，设AC边上的中线长为x，如图，以AB，BC为邻边作▱ABCD. 由余弦定理可得，在△ABC中，有 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC，① 在△ABD中，有 BD2＝AB2＋AD2－2AB×ADcos∠BAD，② ①＋②可得(2x)2＋AC2＝2(AB2＋BC2)， 即(2x)2＋82＝2×(92＋72)， ∴x＝7，∴所求中线长为7. 题型三　判断三角形的形状 例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状． [解]　由2cosAsinB＝sinC，得 2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB， ∴sinAcosB－cosAsinB＝0， ∴sin(A－B)＝0， 又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B. 由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab， ∴由余弦定理，得cosC＝＝＝，C＝60°， ∴A＝B＝60°，∴△ABC为等边三角形． 【感悟提升】　利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 【跟踪训练】 3．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． 解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB， ∵B＝60°，b＝， ∴＝a2＋c2－2accos60°. ∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cosB＝＝＝.故选B. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝(　　) A． B．6 C．7 D．8 答案：A 解析：∵A＋C＝，∴B＝π－(A＋C)＝. ∵a＝3，c＝2，∴由余弦定理可得 b＝ ＝＝.故选A. 3．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为________． 答案：120° 解析：由c>a>b，知角C为最大角，则cosC＝＝－，所以C＝120°，即△ABC的最大角为120°. 4．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝________． 答案：2 解析：由已知及余弦定理，得sinA＝＝cosA，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，∴a＝2. 5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状． 解：由余弦定理，知cosB＝， 代入c＝acosB，得c＝a·， ∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形． 又b＝asinC，∴b＝a·，∴b＝c， ∴△ABC也是等腰三角形． 综上所述，△ABC是等腰直角三角形． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 已知两边及一角求边 已知三边关系求角 判断三角形的形状 已知三边求最大角 已知三边关系判断角的范围 余弦定理与数量积的综合 已知三边求角 由余弦定理与三角函数求边的最值 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 余弦定理的综合应用 余弦定理的综合应用 已知三边求角 已知三边关系求角 已知三边求最大角 余弦定理的综合应用 余弦定理的综合应用 一、选择题 1．(2024·辽宁铁岭调兵山市第二高级中学高一下期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝3，b＝，B＝60°，则c＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋c2－3c＝13，即c2－3c－4＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝4.故选C. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2，则角C为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：∵a2＋b2＋ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝＝＝－，∵C∈(0，π)，∴C＝. 3．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 答案：B 解析：∵sin2＝＝，∴cosA＝＝，∴a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．故选B. 4．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．75° 答案：B 解析：令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3，2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝＝－，∴△ABC的最大角为120°.故选B. 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(　　) A．若a2＋b2<c2，则C> B．若ab>c2，则C≥ C．若a3＋b3＝c3，则C< D．若a＋b＝2c，则C> 答案：AC 解析：由a2＋b2<c2，可以得出cosC＝<0，所以C>，故A正确；由ab>c2，得cosC＝>＝，得0<C<，故B错误；假设C≥，则c>a，c>b，cosC＝≤0，∴c2≥a2＋b2，即c3≥ca2＋cb2>a3＋b3，与a3＋b3＝c3矛盾，∴C<，故C正确；取a＝b＝c＝2，满足a＋b＝2c，此时C＝，故D错误．故选AC. 二、填空题 6．若||＝2，||＝3，·＝－3，则△ABC的周长为________． 答案：5＋ 解析：由·＝||||cosA及||＝2，||＝3，可得cosA＝－，∴A＝120°，再由余弦定理求得BC2＝19，∴△ABC的周长为5＋. 7．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝，则sin∠ABD＝________． 答案： 解析：因为BD为∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠ABC.由余弦定理，得cos∠ABC＝＝＝.又cos∠ABC＝1－2sin2∠ABD＝，所以sin∠ABD＝. 8．(2024·四川成都石室中学高一下期末)在平面四边形ABCD中，AB⊥AC，AC＝AB，AD＝CD＝1，则BD的最大值为________． 答案： 解析：设∠CAD＝α，α∈，则＝cosα，代入数据得AC＝2cosα，∵AC＝AB，∴AB＝＝cosα，在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos，即BD2＝＋12＋2×cosα×1×sinα＝×＋sin2α＋1＝cos2α＋sin2α＋＝sin＋，∵α∈，∴2α＋∈，∴当2α＋＝，即α＝时，BD2取得最大值3，∴BD的最大值为. 三、解答题 9．已知△ABC中，AC＝1，BC＝2，∠ABC＝30°，且边AB，BC上的中线CD，AE交于点M. (1)求AB的长； (2)求cos∠AMC的值． 解：(1)由余弦定理得 AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcos∠ABC， 而AC＝1，BC＝2，∠ABC＝30°， 于是12＝22＋AB2－2×2ABcos30°， 即AB2－2AB＋3＝0，解得AB＝. (2)易知∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，如图，M为△ABC的重心， 可得CM＝CD＝＝×＝，AM＝AE＝×BC＝××2＝， 所以cos∠AMC＝ ＝＝. 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac. (1)求cosB的值； (2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值． 解：(1)由(a－c)2＝b2－ac， 可得a2＋c2－b2＝ac. 所以＝，即cosB＝. (2)因为b＝，cosB＝， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac， 即13＝(a＋c)2－ac， 又a＋c＝2b＝2， 所以13＝52－ac，解得ac＝12. 11．某同学要用三条长度分别为3，5，7的线段画出一个三角形，则他将(　　) A．画不出任何满足要求的三角形 B．画出一个锐角三角形 C．画出一个直角三角形 D．画出一个钝角三角形 答案：D 解析：三条线段可构成三角形．设长度为7的边所对应的角为θ，则cosθ＝<0，因此他将画出一个钝角三角形．故选D. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋b2－c2)tanC＝ab，则角C的大小为(　　) A．或 B．或 C． D． 答案：A 解析：由(a2＋b2－c2)tanC＝ab，可得·tanC＝，由余弦定理可得cosCtanC＝sinC＝.因为0<C<π，所以角C的大小为或.故选A. 13．若三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________． 答案： 解析：∵>a，>b，∴所对的角最大．设最大角为θ，则cosθ＝＝－.又θ∈(0，π)，∴θ＝. 14．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－. (1)求b，c的值； (2)求sin(B＋C)的值． 解：(1)由已知及余弦定理，得 cosB＝＝ ＝＝－， 即9－2b＋c＝0， 又b－c＝2，所以b＝7，c＝5. (2)由(1)及余弦定理，得 cosC＝＝＝， 又sin2C＋cos2C＝1，0＜C＜π， 所以sinC＝，同理sinB＝， 所以sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB ＝×＋×＝. 15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinAsinB＝cos2，BC边上的中线AM的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求△ABC的周长． 解：(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc， 得a2－b2－c2＝－bc， 所以cosA＝＝. 又0<A<π， 所以A＝. 由sinAsinB＝cos2，得 sinB＝， 即sinB＝1＋cosC，则cosC＜0，即C为钝角． 所以B为锐角，且B＋C＝， 则sin＝1＋cosC， 化简得cos＝－1，解得C＝， 所以B＝. (2)由(1)知，a＝b，在△ACM中， 由余弦定理得 AM2＝b2＋－2b··cosC， 即b2＋＋＝()2， 解得b＝2，所以a＝2. 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋22－2×2×2×cos＝12，所以c＝2. 所以△ABC的周长为4＋2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$