6.4.2 向量在物理中的应用举例-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

6.4.2　向量在物理中的应用举例 (教师独具内容) 课程标准：会用向量方法解决简单的力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决实际问题中的作用． 教学重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题． 教学难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题． 核心素养：通过用向量方法解决与物理相关的实际问题培养数学建模素养． 知识点　向量在物理中的应用 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量． (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． (3)利用向量方法解决物理问题的基本步骤 ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 1．(力的合成问题)若向量＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝(　　) A．(0，5) B．(4，－1) C．2 D．5 答案：D 2．(力做功问题)力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________． 答案：－11 3．(力的分解问题)已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)且合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________． 答案：(－5，1) 题型一　力、速度的合成与分解问题 例1　如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围． [解]　(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝， |F2|＝|G|tanθ，当θ从0趋向于时， |F1|，|F2|都逐渐增大． (2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cosθ≥. 又0≤θ<，所以0≤θ≤， 故角θ的取值范围为. 【感悟提升】　向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题，同时正确作图是前提． 【跟踪训练】 1．已知船速的大小为5 m/s，且船速的大小大于水速的大小，河宽为20 m．如图所示，船从O点垂直到达B点所用的时间为5 s，求水流速度的大小． 解：如图，设船速为v1，水速为v2，船的实际速度为v3. 则|v1|＝5 m/s，|v3|＝ m/s＝4 m/s. 由v3＝v1＋v2，v2⊥v3， 得|v2|＝＝＝3 m/s. 所以水流速度的大小为3 m/s. 题型二　力做功问题 例2　一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． [解]　如图，建立平面直角坐标系， 则F1＝(1，)，F2＝ (2，2)，F3＝(－3，3)， 则F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4)． 又位移s＝(4，4)，故合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24(J)， 所以合力F所做的功为24 J. 【感悟提升】　力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)． 【跟踪训练】 2．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)． (1)求F1，F2分别对质点所做的功； (2)求F1，F2的合力F对质点所做的功． 解：(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99， W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3. ∴F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3. (2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102. ∴F1，F2的合力F对质点所做的功为－102. 1．某物体做斜抛运动，初速度v0的大小为|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度大小是(　　) A．5 m/s B．6 m/s C．5 m/s D．8 m/s 答案：A 解析：设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图，|v2|＝|v0|cos60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度大小是5 m/s. 2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4＝(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) 答案：D 解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝(1，2)．故选D. 3．某人在静水中游泳时，速度的大小为4 km/h.如果水流的速度的大小为4 km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(　　) A．90° B．30° C．45° D．60° 答案：D 解析：如图，用表示水速，表示某人径直游向对岸的速度，则实际前进的方向与河岸的夹角为∠AOC.于是tan∠AOC＝＝＝＝，所以∠AOC＝60°.故选D. 4．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，则力F所做的功为________ J，摩擦力f所做的功为________ J．(g＝10 m/s2) 答案：500　－22 解析：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|·cos30°＝50×20×＝500(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 5．如图所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(忽略绳子的质量)． 解：设A，B处所受的力分别为F1，F2，10 N的重力用G表示，则F1＋F2＝G. 由题图可知F1＝，F2＝，G＝，则＋＝. ∵∠ACW＝150°，∠BCW＝120°， ∴∠FCW＝60°，∠ECW＝30°，∴∠ECF＝90°， 则四边形ECFW为矩形． ∴||＝||cos60°＝5，||＝||·cos30°＝5， 即A和B处所受力的大小分别是5 N和5 N. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 对点 速度的合成问题 位移的合成问题 力做功问题 力做功问题 力的分解问题 位移的合成问题 力的分解问题 力做功问题 力的分解问题 速度的合成问题 题号 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 力的分解问题 力的分解问题 力的分解问题 速度的合成问题 位移的合成问题 一、选择题 1．(2024·河南洛阳高一课时检测)人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人骑自行车逆风行驶的速度为(　　) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D． 答案：B 解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，人骑自行车逆风行驶的速度为v1＋v2.故选B. 2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s，位移为a，则(　　) A．s>|a| B．s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 答案：A 解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500 km，由位移的合成易得|a|<500 km，故s>|a|. 3．(2024·河北石家庄二十二中高一下期中)一物体在力F的作用下，由点A(2，15)移动到点B(7，8)，已知F＝(－4，3)，则F对该物体所做的功为(　　) A．－41 B．－1 C．1 D．41 答案：A 解析：由题意可知＝(7，8)－(2，15)＝(5，－7)，F＝(－4，3)，·F＝5×(－4)＋(－7)×3＝－41，所以F对该物体所做的功为－41.故选A. 4．若物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W为(　　) A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2 答案：D 解析：W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1，2lg 2)·(2lg 5，1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.故选D. 5．如图，在重600 N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　　) A．300 N，300 N B．150 N，150 N C．300 N，300 N D．300 N，300 N 答案：C 解析：作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在▱OACB中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝||cos30°＝300 (N)，||＝||sin30°＝300(N)，||＝||＝300 N. 二、填空题 6．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是北偏东________． 答案：60　30° 解析：如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝，∴∠BOA＝60°，所以的方向为北偏东30°. 7．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________． 答案：10 N 解析：如图，由题意得，∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N. 8．如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m．则此人对物体所做的功为________ J. 答案：30 解析：因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为30°，所以作用力F与斜面之间所成的角度θ满足sinθ＝＝，所以cosθ＝＝，记沿斜面向上方向的单位向量为e，则位移s＝6e，W＝F·s＝|F||s|cosθ＝25×6×＝30(J)，所以此人对物体所做的功为30 J. 三、解答题 9．如图，用两根分别长5 m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点与屋顶的距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)． 解：如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角． 设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G， 因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°， 则有|Fa|cos45°＋|Fb|cos60°＝|G|＝100，① 且|Fa|sin45°＝|Fb|sin60°，② 由①②解得|Fa|＝150－50， 所以A处所受力的大小为(150－50) N. 10．某人骑车向东行驶，速度的大小为每小时a千米，感到风从正北方向吹来，而当速度的大小为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向． 解：设此人向东行驶的速度为a，速度的大小为每小时a千米，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a， 设＝－a，＝－2a，＝v， 因为＋＝， 所以＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为＋＝，所以＝v－2a. 于是当此人的速度的大小是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是. 由题意，得∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO， 从而，△POB为等腰直角三角形， 所以PO＝PB＝a，即|v|＝a. 所以实际风速的大小是每小时a千米，方向为西北方向． 11．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　) A．6 N B．2 N C．2 N D．2 N 答案：D 解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2 N. 12．(多选)(2024·湖北十堰高一校考期中)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 答案：AC 解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，船的浮力为F1，船的重力为G，F与水平方向的夹角为θ，则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝.又|f|大小不变，θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．∵|F|sinθ＋|F1|＝|G|，G大小不变，|F|增大，θ增大，sinθ增大，∴|F1|减小．故选AC. 13．(多选)(2024·广州六十五中高一下月考)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情境，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论中正确的是(　　) A．θ越小越省力，θ越大越费力 B．θ的取值范围为[0，π] C．当θ＝时，|F1|＝|G| D．当θ＝时，|F1|＝|G| 答案：AC 解析：对于A，根据题意，得|G|＝|F1＋F2|，所以|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cosθ＝2|F1|2(1＋cosθ)，解得|F1|2＝，因为θ∈(0，π)时，y＝cosθ单调递减，所以θ越小越省力，θ越大越费力，故A正确；对于B，由题意知θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，因为|F1|2＝，所以当θ＝时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故C正确；对于D，因为|F1|2＝，所以当θ＝时，|F1|2＝，所以|F1|＝|G|，故D错误．故选AC. 14．(2024·江苏泰州实验中学高一下期中)长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4 km/h，设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ＝________． 答案：－ 解析：由题意知(v1＋v2)·v2＝0，则v1·v2＋v＝|v1||v2|cosθ＋v＝0，因为|v1|＝10 km/h，|v2|＝4 km/h，即10×4cosθ＋42＝0，所以cosθ＝－. 15．如图，有两条相交成60°的公路xx′，yy′，其交点为O，甲、乙两辆汽车分别在xx′，yy′上行驶，起初甲在离O点30 km的A处，乙在离O点10 km的B处，后来两车速度的大小均为60 km/h，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶． (1)起初两车的距离是多少？ (2)t h后两车的距离是多少？ (3)何时两车的距离最短？ 解：(1)由题意知，||2＝(－)2＝||2＋||2－2||||cos60°＝700， 即||＝10. 故起初两车的距离是10 km. (2)设甲、乙两车t h后的位置分别为P，Q， 则||＝60t km，||＝60t km. 当0≤t≤时，||2＝(－)2＝(30－60t)2＋(10＋60t)2－2(30－60t)(10＋60t)·cos60°； 当t>时，||2＝(60t－30)2＋(10＋60t)2－2(60t－30)(10＋60t)cos120°. 上面两式可统一为||2＝10800t2－3600t＋700， 即||＝10 km. 故t h后两车的距离是10 km. (3)∵108t2－36t＋7＝108＋4， ∴当t＝，即在第10分钟末时，两车的距离最短，且最短距离为20 km. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$