6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 (教师独具内容) 课程标准：1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.2.能用坐标表示平面向量共线的条件． 教学重点：1.平面向量数乘运算的坐标表示.2.平面向量共线定理的坐标表示． 教学难点：平面向量的共线问题． 核心素养：1.通过用坐标表示平面向量共线条件的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过运用平面向量共线的条件来解决问题提升数学运算素养． 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 文字 符号 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 知识点二　平面向量共线的坐标表示 前提条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 知识点三　线段中点、三等分点的坐标公式 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P是线段P1P2的中点，则点P的坐标是；若点P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，则点P的坐标是；若点P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，则点P的坐标是． [提示]　(1)如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足＝λ，即＝λ，λ叫做点P分有向线段所成的比，点P叫做有向线段的以λ为定比的定比分点．其中P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)， 即 当λ≠－1时， 则点P的坐标为. (2)两个向量共线条件的表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ①当b≠0时，a＝λb； ②x1y2－x2y1＝0； ③当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例． 1．(向量数乘运算的坐标表示)已知向量a＝(2，－3)，若a＝2b，则b＝(　　) A．(4，－6) B．(－6，4) C． D． 答案：C 2．(向量共线的坐标表示)(2024·江苏镇江一中月考)下列各组向量中，可以作为基底的一组是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(0，1) B．e1＝(－1，2)，e2＝(3，－6) C．e1＝(3，4)，e2＝(－3，－4) D．e1＝(2，1)，e2＝ 答案：D 3．(由三点共线求参数)若平面内A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为(　　) A． B．－ C．－2 D．2 答案：A 4．(向量共线的应用)已知A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)三点，若和是相反向量，则点D的坐标为________． 答案：(1，－1) 题型一　向量数乘运算的坐标表示 例1　设向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求下列各向量： (1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b. [解]　(1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)． (3)3a＝3(－1，2)＝(－3，6)． (4)2a＋5b＝2(－1，2)＋5(3，－5)＝(－2，4)＋(15，－25)＝(13，－21)． 【感悟提升】　向量数乘坐标运算的三个关注点 (1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用． (2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题． (3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题． 【跟踪训练】 1．(1)在▱ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对称中心为O，则＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：＝－＝－(＋)＝－(1，10)＝. (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　) A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2 答案：D 解析：因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，所以解得λ1＝－1，λ2＝2. 题型二　向量共线的坐标表示 例2　(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________． [解析]　因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，所以λ＝2. [答案]　2 (2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解]　解法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以解得k＝λ＝－. 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行， 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向． 解法二：由题意知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， 因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－. 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)． 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 【感悟提升】　 1．向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． 2．利用向量共线求参数值的方法 【跟踪训练】 2．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________． 答案：1 解析：因为a－2b＝(，3)与c＝(k，)共线，所以×－3k＝0，故k＝1. 题型三　三点共线问题 例3　(1)若A(1，－3)，B，C(x，1)三点共线，则x＝________． [解析]　＝，＝(x－1，4)．因为A，B，C三点共线，所以与共线，所以7×4－(x－1)＝0，解得x＝9. [答案]　9 (2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ [解]　解法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ， 因为＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)． 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)． 即 解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线． 解法二：由题意知，共线， 因为＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线． 【感悟提升】　三点共线的实质与证明步骤 (1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的． (2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． 【跟踪训练】 3．已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)． (1)求实数x的值，使向量与共线； (2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？ 解：(1)＝(x，1)，＝(4，x)． ∵∥，∴x2－4＝0，解得x＝±2. ∴当x＝±2时，向量与共线． (2)由已知得＝(2－2x，x－1)， 当x＝2时，＝(－2，1)，＝(2，1)， ∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上； 当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2，1)， ∴∥，此时A，B，C三点共线． 又∥，∴A，B，C，D四点在一条直线上． 综上，当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上；当x＝2时，A，B，C，D四点不在一条直线上． 题型四　向量共线的应用 例　(1)(2024·山东青岛莱西市高一下期末)已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标． [解]　设点P的坐标为(x，y)，||＝2||. 当点P在线段AB上时，＝2， ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)， ∴解得 ∴点P的坐标为； 当点P在线段AB的延长线上时，＝－2， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)， ∴解得 ∴点P的坐标为(－5，8)． 综上所述，点P的坐标为或(－5，8)． (2)在△AOB中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标． [解]　∵O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， ∴＝(0，5)，＝(4，3)． ∵＝＝. ∴点C的坐标为. 同理可得点D的坐标为. 设点M的坐标为(x，y)， 则＝(x，y－5)，而＝. ∵A，M，D三点共线，∴与共线． ∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.① 而＝，＝＝， ∵C，M，B三点共线，∴与共线． ∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.② 由①②，得x＝，y＝2. ∴点M的坐标为. [变式探究]　若将本例(2)中的“＝”改为“＝”，其他条件不变，再试求点M的坐标． 解：∵O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， ∴＝(0，5)，＝(4，3)， 又＝，∴点C的坐标为， 同理点D的坐标为， 设点M的坐标为(x，y)， 则＝(x，y－5)，＝， ∵A，M，D三点共线，∴与共线． ∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，① 又＝，＝，C，M，B三点共线， ∴x－4＝0，即x－3y＋5＝0，② 由①②，解得x＝，y＝. ∴点M的坐标为. 【感悟提升】　 1．解决向量中的分点问题 关键是找出分得的两向量的关系，再根据向量相等建立坐标之间的相等关系，把向量问题实数化，但要注意分点的位置情况． 2．由向量共线求交点坐标的方法 【跟踪训练】 4．(1)已知经过点P(－2，3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||，求点A，B的坐标． 解：由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||，设A(x，0)，B(0，y)， ①点P在A，B之间，则有＝3， ∴(－x，y)＝3(－2－x，3)，解得x＝－3，y＝9，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，9)； ②点P不在A，B之间，则有＝－3，同理可求得点A，B的坐标分别为，(0，－9)． 综上所述，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或，(0，－9)． (2)如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标． 解：∵与共线，故设＝λ＝(4λ，4λ)， 则＝(4λ－4，4λ)，＝(2－4，6－0)＝(－2，6)． 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝. ∴＝(4λ，4λ)＝(3，3)， ∴交点P的坐标为(3，3)． 1．已知平面向量a＝(－2，0)，b＝(－1，－1)，则a－2b＝(　　) A．(1，2) B．(－1，－2) C．(－1，2) D．(1，－2) 答案：A 解析：a－2b＝(－1，0)－(－2，－2)＝(1，2)． 2．设点P是P1(1，－2)，P2(－3，5)连线上一点，且＝－，则点P的坐标为(　　) A．(5，－9) B．(－9，5) C．(－7，12) D．(12，－7) 答案：C 解析：∵＝－，∴P2是P1P的中点，设点P的坐标为(x，y)，则解得∴P(－7，12)．故选C. 3．(多选)已知A(3，－6)，B(－5，2)，且A，B，C三点在一条直线上，则点C的坐标可能是(　　) A．(－9，6) B．(－1，－2) C．(－7，－2) D．(6，－9) 答案：ABD 解析：设C(x，y)，则＝(x－3，y＋6)，＝(－8，8)．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴8×(x－3)－(－8)×(y＋6)＝0，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，A，B，D均符合．故选ABD. 4．与a＝(12，5)平行的单位向量为________． 答案：或 解析：设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则解得或所以e＝或. 5．(2024·甘肃庆阳华池县第一中学高一下期末)平面内给出三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，求解下列问题： (1)求3a＋b－2c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k. 解：(1)3a＋b－2c＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1)＝(0，6)． (2)∵a＝mb＋nc， ∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)， ∴∴ (3)∵a＋kc＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k，2＋k)， 2b－a＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2)， 又(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， ∴k＝－. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 向量共线的坐标表示 向量共线的应用 由向量共线求参数 向量共线的应用 向量共线的综合应用 由向量共线求参数 向量数乘运算的坐标表示 向量数乘运算的坐标表示 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 向量共线的应用 向量数乘运算的坐标表示 三点共线问题 向量数乘运算的应用 向量数乘运算的应用 向量数乘运算的应用 向量数乘运算的应用 一、选择题 1．下列向量中，与向量c＝(2，3)不共线的一个向量p等于(　　) A． B． C． D．(5，4) 答案：D 解析：对于A，2×－×3＝0；对于B，2×－1×3＝0；对于C，2×1－×3＝0；对于D，2×4－5×3＝－7. 2．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是(　　) A．(1，－2) B．(9，3) C．(－1，2) D．(－4，－8) 答案：D 解析：＝(3－2，1＋1)＝(1，2)，∵(－4，－8)＝－4(1，2)，∴(－4，－8)满足条件．故选D. 3．已知向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若(a＋b)∥(a－b)，则m＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 解析：a＋b＝(m＋2，2m－5)，a－b＝(－m，3－2m)，由(a＋b)∥(a－b)，则(m＋2)(3－2m)＋m(2m－5)＝0，即6－6m＝0，故m＝1.故选D. 4．(2024·河北承德高新区第一中学高一下月考)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 答案：D 解析：由题意得，平面内的任一向量c都可以唯一表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则a，b一定不共线，所以1×(3m－2)≠2×m，解得m≠2，所以实数m的取值范围是(－∞，2)∪(2，＋∞)．故选D. 5．(多选)(2024·云南文山州高一下月考)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　) A．＋＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD的中点，则B，C两点重合 D．若B，C，D三点共线，则μ＝1 答案：AC 解析：对于A，＋＝＝－＝(λ，1)－(1，μ)＝(λ－1，1－μ)，故A正确；对于B，若∥，则λμ＝1，故可取λ＝3，μ＝，故B错误；对于C，若A是BD的中点，则＝－，即(λ，1)＝(－1，－μ)⇒λ＝μ＝－1，所以＝＝(－1，1)，所以B，C两点重合，故C正确；对于D，由于B，C，D三点共线，所以∥，＝－＝(－1，1)－(λ，1)＝(－1－λ，0)，＝－＝(1－λ，μ－1)，则(－1－λ)×(μ－1)－0×(1－λ)＝0⇒λ＝－1或μ＝1，故D错误．故选AC. 二、填空题 6．已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________． 答案： 解析：因为a∥b，所以2×4－λ×5＝0，解得λ＝. 7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________． 答案：(－6，21) 解析：－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)． 8．已知两点A(1，0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°.若＝－2＋λ(λ∈R)，则λ＝________． 答案：1 解析：由题意，可设C(－x，x)(x＞0)，所以＝(－x，x)，又＝(1，0)，＝(1，)，由＝－2＋λ，得(－x，x)＝－2(1，0)＋λ(1，)，即解得 三、解答题 9．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)，其中O为坐标原点． (1)求线段AB的中点M的坐标； (2)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件； (3)若＝2，求x，y的值． 解：(1)易知A(3，－4)，B(6，－3)， 所以点M的坐标为， 即. (2)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线． 由题意得＝(3，1)，＝(2－x，1－y)， 所以3(1－y)－(2－x)＝0. 所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0. (3)＝(－x－1，－y)， 由＝2得(2－x，1－y)＝2(－x－1，－y)， 所以解得 10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值． 解：(1)设B(x1，y1)， 因为＝(4，3)，A(－1，－2)， 所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， 所以所以 所以B(3，1)． 同理，可得D(－4，－3)， 设BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1， 所以M. (2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， 又＝λ(λ∈R)， 所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)， 所以 所以 11．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 答案：A 解析：由题设，＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)，A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R，则可得2a＋b＝1，∴＋＝(2a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当b＝2a＝时，等号成立，∴＋的最小值为4.故选A. 12．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，＝m＋n(m，n∈R)，则(　　) A．若∥，则m＋n＝0 B．若点P在BC上，则m＋n＝1 C．若＋＋＝0，则m－n＝0 D．若与共线，则m＋n＝－1 答案：AC 解析：由题意知，＝(1，2)，＝(1，－1)，＝(2，1)，所以＝m＋n＝(m＋2n，2m＋n)．对于A，因为∥，所以2m＋n＋m＋2n＝0，即m＋n＝0，A正确；对于B，＝－＝(m＋2n－2，2m＋n－3)，因为点P在BC上，所以∥，所以2m＋n－3＋m＋2n－2＝0，即m＋n＝，B错误；对于C，＝(1－m－2n，1－2m－n)，＝(2－m－2n，3－2m－n)，＝(3－m－2n，2－2m－n)，因为＋＋＝0，所以(6－3m－6n，6－6m－3n)＝(0，0)，即解得m＝n＝，所以m－n＝0，C正确；对于D，＝(m＋2n－1，2m＋n－1)，＝(1，－1)，由与共线，得(m＋2n－1)×(－1)－(2m＋n－1)＝0，整理得m＋n＝，D错误．故选AC. 13．平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________． 答案： 解析：设点C(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(x－1，y－4)，又＝， ∴解得∴点C的坐标为(3，－6)．又连接DC并延长至点E，使||＝||，∴＝3，设点E(m，n)，则＝(－1，－3)，＝(m－3，n＋6)，∴解得∴点E的坐标为. 14．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2. (1)若点M在第二或第三象限，求t1与t2满足的条件； (2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线． 解：(1)O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2，所以＝－＝(4，4)， ＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)． 当点M在第二或第三象限时， (2)证明：当t1＝1时， 由(1)知＝(4t2，4t2＋2)，＝(4，4)． 因为＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2， 所以与共线， 又与有公共点A，所以A，B，M三点共线． 15．(2024·安徽高一下期中联考)如图，四边形ABCD是正方形，E在边AB上运动，F在边BC上运动，AF与DE交于点G. (1)若E是AB的中点，BC＝3BF，＝λ，求实数λ的值； (2)若AE＝BF，＝m＋n，求的最大值． 解：(1)如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为6，则A(0，6)，F(6，4)，D(0，0)，E(3，6)，所以＝(6，－2)，＝(3，6)， 设G(x，y)，则＝(x，y－6)， 由＝λ，得(x，y－6)＝λ(6，－2)， 所以 即得G(6λ，6－2λ)， 设＝μ，则(6λ，6－2λ)＝μ(3，6)， 所以解得λ＝. (2)因为A，G，F三点共线，且＝m＋n， 所以m>0，n>0，m＋n＝1， 设正方形ABCD的边长为1，AE＝BF＝x(0≤x≤1)， 则A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)，D(0，0)，E(x，1)，F(1，1－x)， 所以＝(0，1)，＝(1，1－x)，＝(x，1)， 所以＝m＋n＝(n，m＋n－nx)＝(n，1－nx)， 又∥，所以n＝x－nx2， 所以n＝，m＝1－n＝， 所以＝＝， 若x＝0，则＝0； 若x∈(0，1]， 则＝＝≤＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立． 综上所述，的最大值为1. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$