6.3.2 6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 (教师独具内容) 课程标准：借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算． 教学重点：平面向量的坐标表示． 教学难点：平面向量加、减坐标运算的应用． 核心素养：1.通过平面向量的正交分解及坐标表示培养数学抽象素养.2.通过平面向量加、减坐标运算的应用培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 产生过程 建系选底 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底 线性表示 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj 定义坐标 有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y) 特殊向量的坐标 i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0) 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) [注意]　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (2)①向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关； ②当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 1．(对向量的坐标表示的理解)已知＝(－2，4)，则下列说法正确的是(　　) A．点A的坐标是(－2，4) B．点B的坐标是(－2，4) C．当B是原点时，点A的坐标是(－2，4) D．当A是原点时，点B的坐标是(－2，4) 答案：D 2．(向量加法的坐标表示)若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则a＋b的坐标是(　　) A．(1，1) B．(－3，－1) C．(3，1) D．(2，0) 答案：C 3．(已知点的坐标求向量的坐标)若点M(3，5)，N(2，1)，用坐标表示向量＝________． 答案：(－1，－4) 题型一　平面向量的正交分解及坐标表示 例1　(1)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O； ④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)． 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由平面向量基本定理，知①正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误． [答案]　A (2)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标以及与的坐标． [解]　由题意知A(0，0)，B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点． 设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝， ∴B. x2＝cos120°＝－，y2＝sin120°＝， ∴D， ∴＝，＝. 【感悟提升】　求平面向量坐标的方法 (1)定义法：若i，j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，则当a＝xi＋yj时，向量a的坐标即为(x，y)． (2)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标．设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 【跟踪训练】 1．(1)如图，e1，e2互相垂直，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　) A．(1，3) B．(3，1) C．(－1，－3) D．(－3，－1) 答案：A 解析：由题图可知a＝e1＋3e2，又e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，所以a＝(1，3)．故选A. (2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标． 解：设点A(x，y)， 则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6， 即A(2，6)，故＝(2，6)． 题型二　平面向量加、减运算的坐标表示 例2　(1)已知三点A(2，－1)，B(3，4)，C(－2，0)，则向量＋＝________，－＝________． [解析]　∵A(2，－1)，B(3，4)，C(－2，0)，∴＝(1，5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)，∴＋＝(1，5)＋(4，－1)＝(1＋4，5－1)＝(5，4).－＝(－5，－4)－(1，5)＝(－5－1，－4－5)＝(－6，－9)． [答案]　(5，4)　(－6，－9) (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标． [解]　a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)． 【感悟提升】　平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可用有向线段终点的坐标减去起点的坐标先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行． 【跟踪训练】 2．(1)已知a＝(1，2)，b＝(－3，4)，求向量a＋b，a－b的坐标． 解：a＋b＝(1，2)＋(－3，4)＝(－2，6)， a－b＝(1，2)－(－3，4)＝(4，－2)． (2)已知点A(2，2)，B(－2，2)，C(4，6)，D(－5，6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)．在平面直角坐标系中，分别作出向量，，，并求向量＋和－的坐标． 解：如图，描出点A(2，2)，B(－2，2)，C(4，6)，D(－5，6)，E(－2，－2)，F(－5，－6)，分别作出向量，，. 易知＝(2，4)，＝(－3，4)，＝(－3，－4)， 则＋＝(2，4)＋(－3，4)＝(－1，8)， －＝(－3，4)－(－3，－4)＝(0，8)． 题型三　平面向量加、减坐标运算的应用 例3　已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(4，2)，且A，B，C，D四点按逆时针方向排列． (1)求向量，的坐标； (2)求点D的坐标． [解]　(1)因为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(4，2)，所以＝(3，－1)－(－1，－2)＝(4，1)，＝＝(4，2)－(3，－1)＝(1，3)． (2)解法一：由(1)知，＝(1，3)， 又因为＝(－1，－2)， 所以＝＋＝(－1，－2)＋(1，3)＝(0，1)， 所以点D的坐标为(0，1)． 解法二：设点D的坐标为(x，y)，由(1)知，＝(1，3)， 又A(－1，－2)， 所以(x＋1，y＋2)＝(1，3)， 所以解得 所以点D的坐标为(0，1)． 【感悟提升】　坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． 【跟踪训练】 3．已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ)(λ∈R)．若＝＋，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内． 解：设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵＝＋，且与不共线， ∴得 ∴P(5＋5λ，4＋7λ)． (1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝. (2)若点P在第三象限内，则 ∴λ<－1. 1．(2024·江西临川一中高一月考)已知向量a＝(m，2)，b＝(1，－2)，若a＋b＝0，则实数m的值为(　　) A．－4 B．4 C．－1 D．1 答案：C 解析：由题意，a＝(m，2)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(m＋1，0)＝(0，0)，可得m＋1＝0，解得m＝－1. 2．已知向量＝(1，－2)，＝(－3，4)，则＝(　　) A．(－4，6) B．(2，－3) C．(2，3) D．(6，4) 答案：A 解析：＝－＝(－3，4)－(1，－2)＝(－4，6)． 3．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________． 答案：(－4，0)　(0，6)　(－2，－5) 解析：将各向量分别向i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4，0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0，6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)． 4．在平面直角坐标系中，|a|＝2，a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为135°，则a的坐标为________． 答案：(－2，2) 解析：设点A的坐标为(x，y)，则x＝|a|·cos135°＝2×＝－2，y＝|a|sin135°＝2×＝2，所以a的坐标为(－2，2)． 5．已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝，求点P的坐标． 解：设P(x，y)，则＝(10，－2)－(x，y)＝(10－x，－2－y)，＝(x，y)－(－2，7)＝(x＋2，y－7)． 由＝，得(10－x，－2－y)＝(x＋2，y－7)， 即故 即点P的坐标为. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 向量减法的坐标表示 对向量的坐标表示的理解 对向量的坐标表示的理解 平面向量加、减坐标运算的应用 向量加、减运算的坐标表示 已知向量的坐标求点的坐标 向量加、减运算的坐标表示 平面向量加、减坐标运算的应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 对向量的坐标表示的理解 对向量的坐标表示的理解 已知向量的坐标求点的坐标 平面向量加、减坐标运算的应用 平面向量加、减坐标运算的应用 平面向量加、减坐标运算的应用 平面向量加、减坐标运算的应用 一、选择题 1．已知向量a＝(1，2)，a＋b＝(3，2)，则b＝(　　) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 答案：D 解析：b＝a＋b－a＝(3，2)－(1，2)＝(2，0)． 2．已知点M的坐标为(4，－1)，且＝(4，－1)，下列结论中正确的是(　　) A．点M与点A重合 B．点M与点B重合 C．点M在上 D．＝(O为坐标原点) 答案：D 解析：由于M(4，－1)，所以＝(4，－1)＝(O为坐标原点)． 3．若i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，取{i，j}作为基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a的坐标对应的点位于(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：向量a的坐标为(x2＋x＋1，－x2＋x－1)，∵x2＋x＋1＝＋>0，－x2＋x－1＝－－<0，∴向量a的坐标对应的点位于第四象限． 4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3，5) D．(2，4) 答案：B 解析：∵＝＋，∴＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－3，－5)．故选B. 5．(多选)在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　　) A．＝2i＋3j B．＝3i＋4j C．＝－5i＋j D．＝5i＋j 答案：AC 解析：由题图可知，＝2i＋3j，＝－3i＋4j，故A正确，B不正确；＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故C正确，D不正确．故选AC. 二、填空题 6．设＝(－2，－5)，点B的坐标为(－1，3)，则点A的坐标为________． 答案：(1，8) 解析：设A(x，y)，则解得即A(1，8)． 7．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，则向量a＝________，向量b＝________． 答案：(－3，4)　(5，－12) 解析：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有解得所以a＝(－3，4)，b＝(5，－12)． 8．设向量a＝(－2，6)，b＝(10，－3)，若表示向量a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则c＝________． 答案：(－8，－3) 解析：设c＝(x，y)，因为表示向量a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，所以a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b＝(－8，－3)． 三、解答题 9．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． 解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 则a1＝|a|cos45°＝2×＝， a2＝|a|sin45°＝2×＝， b1＝|b|cos120°＝3×＝－， b2＝|b|sin120°＝3×＝， c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2. 因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， (1)若＝＋，求点P的坐标； (2)若＋＋＝0，求的坐标． 解：(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)， 所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3)． (2)设点P的坐标为(x，y)， 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， 所以解得 所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)． 11．已知向量＝(1，3)，＝(2，1)，点A(－1，2)，则点C的坐标为(　　) A．(3，4) B．(4，2) C．(2，6) D．(－4，－2) 答案：C 解析：设点C(x，y)，因为＝(1，3)，＝(2，1)，所以＝＋＝(3，4)，即(x＋1，y－2)＝(3，4)，所以解得所以点C的坐标为(2，6)．故选C. 12．(多选)(2024·河北邢台一中高一下期末)已知点A(2，5)，B(－1，7)，C(4，－2)，若A，B，C，D四点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是(　　) A．(－3，14) B．(－1，0) C．(7，－4) D．(1，0) 答案：ACD 解析：设点D的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，＝，则(－3，2)＝(4－x，－2－y)，解得D(7，－4)；当平行四边形为ABDC时，＝，则(－3，2)＝(x－4，y＋2)，解得D(1，0)；当平行四边形为ADBC时，＝，则(x－2，y－5)＝(－5，9)，解得D(－3，14)．综上，点D的坐标可以是(7，－4)，(1，0)，(－3，14)．故选ACD. 13．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为________． 答案：(2－sin2，1－cos2) 解析：如图，设滚动后圆心位于点C，过点C作x轴的垂线，垂足为A，过点P作PB⊥BC，垂足为B，其中BC∥x轴．易知劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2 rad，则∠PCB＝ rad，所以PB＝sin＝－cos2，CB＝cos＝sin2，所以点P的坐标为(2－sin2，1－cos2)，因此的坐标为(2－sin2，1－cos2)． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 解：(1)过点A作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OAcos45°＝4×＝2， AM＝OAsin45°＝4×＝2， ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOx＝45°， ∴∠COx＝45°＋75°＝120°. 又OC＝AB＝3，∴C， ∴＝＝，即b＝. (2)＝－＝. (3)＝＋＝(2，2)＋＝， 故点B的坐标为. 15．以原点O及点A(2，－2)为顶点作一个等边三角形AOB，求点B的坐标及向量的坐标． 解：因为△AOB为等边三角形， 且A(2，－2)， 所以||＝||＝||＝4. 因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为. 当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为， 由三角函数的定义得，＝＝(2，2)， 所以＝－＝(2，2)－(2，－2)＝(0，4)； 当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得，＝(0，－4)，所以＝－＝(0，－4)－(2，－2)＝(－2，－2)． 综上所述，点B的坐标为(2，2)，的坐标为(0，4)或点B的坐标为(0，－4)，的坐标为(－2，－2)． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$