6.1 平面向量的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

(教师独具内容) 课程标准：通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等、共线的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素． 教学重点：1.向量的概念.2.向量的几何表示和相等向量.3.共线向量的概念． 教学难点：对向量概念的理解． 核心素养：1.通过从具体的物理情境中抽象出向量概念的过程培养数学抽象素养.2.通过运用向量的相关概念解决问题的过程培养逻辑推理素养． 知识点一　向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． [注意]　数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 知识点二　向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||． 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用，，) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||． [注意]　向量有两要素，有向线段有三要素，因此这是两个不同的量．向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 知识点三　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 1．(向量的有关概念)下列说法正确的是(　　) A．若|a|＞|b|，则a＞b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a与b共线 D．若a≠b，则a一定不与b共线 答案：C 2．(相等向量)如图，四边形ABCD中，＝，则必有(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案：D 3．(向量的模)已知△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是________． 答案：模相等 4．(向量的有关概念)如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形， (1)图中与共线的向量有________； (2)图中与相等的向量有________； (3)图中与模相等的向量有________； (4)图中与相等的向量有________． 答案：(1)，，，，，， (2)， (3)，，，，，，，， (4) 题型一　向量的有关概念 例1　(1)下列说法正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 [解析]　对于A，向量不能比较大小，A不正确；对于B，方向相同的向量也不能比较大小，B不正确；对于C，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，C不正确；对于D，向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确． [答案]　D (2)给出下列说法： ①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量都相等． 其中说法正确的是________(填序号)． [解析]　由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模相等，但方向不一定相同，知④错误． [答案]　②③ 【感悟提升】　解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题． 【跟踪训练】 1．(1)下列判断中正确的是(　　) A．长度为0的向量都是零向量 B．零向量的方向都是相同的 C．长度相等的向量都是单位向量 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 答案：A 解析：长度为0的向量都是零向量，A正确；零向量的方向是任意的，B错误；长度相等的向量不一定是单位向量，单位向量指长度为1个单位长度的向量，C错误；直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，不是向量，D错误．故选A. (2)给出下列命题： ①若向量a＝，b＝，则|a|＝|b|； ②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反； ③若向量是单位向量，则也是单位向量； ④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的半径为1的圆． 其中正确命题的个数是________． 答案：3 解析：①正确，由于|a|＝||＝AB，|b|＝||＝BA＝AB，因此有|a|＝|b|.②不正确，由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求．③正确，因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量．④正确，由于向量||＝1，所以点P是以点A为圆心的半径为1的圆上的一点；反过来，若点P是以点A为圆心的半径为1的圆上的任一点，则由于||＝1，所以向量是单位向量． 题型二　向量的表示及应用 例2　某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了10米到达点C，到达点C后又改变方向向西走了10米到达点D. (1)作出向量，，； (2)求的模． [解]　(1)作出向量，，，如图所示． (2)由题意，得∠DBC＝45°，∠BCD＝45°，BC＝10米，CD＝10米，所以∠BDC＝90°，BD＝10米． 由CD∥AB，得∠ABD＝∠BDC＝90°， 又AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝5(米)． 所以||＝5米． 【感悟提升】　 1．作向量的思路 2．理解位移的关键点 (1)位移表示质点位置的变化，表示起点与终点间的位置关系，而与质点实际运动的路线无关．物理中的位移就是数学中的向量． (2)从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们就把它们看成相等的位移． 【跟踪训练】 2．在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向上； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上． 解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示． (2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示． 题型三　相等向量与共线向量 例3　(1)给出下列命题： ①若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件； ②若a＝b，b＝c，则a＝c； ③两向量a，b相等的充要条件是 ④若|a|＝|b|，则a与b可能共线； ⑤＝的充要条件是A与C重合、B与D重合． 其中真命题的个数是________． [解析]　①是真命题．∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且与方向相同，因此＝；②是真命题．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同．故a＝c；③是假命题．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故不是a＝b的充要条件；④是真命题．无论向量a与b的模是否相等，a与b都可能共线；⑤是假命题．当＝时，应有||＝||及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合． [答案]　3 (2)如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． ①写出与共线的向量； ②写出与长度相等的向量； ③写出与相等的向量． [解]　①∵E，F分别是AC，AB的中点， ∴EF∥BC， ∴与共线的向量为，，，，，，. ②∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， ∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC. ∵AB，BC，AC均不相等， ∴与长度相等的向量为，，，，. ③与相等的向量为，. 【感悟提升】　 1．相等向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的． 2．共线向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量． 3．相等向量与共线向量的区别与联系 相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性． 【跟踪训练】 3．(1)给出下列命题： ①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线； ③若a∥b且b∥c，则a∥c； ④任一向量与它的平行向量不相等． 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 解析：相等向量起点相同时，终点必相同，故①是假命题；向量的共线不同于有向线段共线，所以当与共线时，A，B，C，D四点不一定共线，故②是假命题；当b＝0时，推不出a∥c，故③是假命题；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，故④是假命题． (2)如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形． ①写出与向量共线的向量； ②写出与向量相等的向量． 解：①依据图形可知，，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，. ②由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和. 1．有下列物理量： ①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功． 其中不是向量的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：速度、力、加速度这3个物理量是向量，它们都有大小和方向，其余的不是向量． 2．(2024·陕西咸阳高一下期中)已知四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 答案：A 解析：在四边形ABCD中，因为＝，所以||＝||且AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以AB＝AD，所以平行四边形ABCD为菱形．故选A. 3．(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A．单位向量都共线 B．长度相等的向量都相等 C．共线的单位向量不一定相等 D．任意向量与零向量都共线 答案：CD 解析：对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误；对于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定都相等，B错误；对于C，共线的单位向量，方向可能相反，C正确；对于D，任意向量与零向量都共线，D正确．故选CD. 4．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有________对． 答案：2 解析：由题意可知，△OCD∽△OAB，所以＝，所以＝.因为MN∥AB，所以＝，＝，所以＝，所以OM＝ON.又M，O，N三点共线，所以＝，＝，故相等向量有2对． 5．如图，O是正方形ABCD的中心． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与共线的向量． 解：(1)与向量相等的向量是. (2)与的模相等的向量是，，，，，，. (3)与共线的向量是，，. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 向量的有关概念 向量的有关概念 向量的模 相等向量；共线向量；向量的模 向量的模；共线向量 单位向量；相等向量；共线向量；向量的模 相等向量；共线向量；向量的模 向量的表示及应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 向量的表示及应用 相等向量 相等向量；向量的模 共线向量；向量的模 相等向量 向量的模 向量的表示及应用 一、选择题 1．下列说法不正确的是(　　) A．向量的模是一个非负实数 B．任何一个非零向量都可以平行移动 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案：D 解析：显然，选项A，B，C说法正确．对于D，由共线向量知，两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误．故选D. 2．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　) A．不共线 B．长度不相等 C．不可能都是单位向量 D．不可能都是零向量 答案：D 解析：因为所有的零向量都是相等的向量，故选D. 3．(2024·云南师范附中高一下月考)如图，在圆O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C 解析：由题图可知，三向量起点不同，不共线，但长度相等． 4．下列结论中正确的是(　　) ①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b； ②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|； ③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b； ④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|. A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 答案：B 解析：两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等，故④错误． 5．(多选)(2024·山东菏泽一中高一下月考)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(　　) A．向量，的模相等 B．||＝ C．向量，共线 D．||＋||＝10 答案：BC 解析：对于A，因为||＝＝，||＝＝2，所以||≠||，所以A错误；对于B，因为||＝＝，所以B正确；对于C，因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线，所以C正确；对于D，因为||＋||＝＋＝5≠10，所以D错误．故选BC. 二、填空题 6．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2； ④a0∥b0. 答案：③ 解析：因为a0，b0都是单位向量，所以|a0|＝1，|b0|＝1.从而|a0|＋|b0|＝2. 7．如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为________；与向量共线的向量为________；与向量的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量) 答案：　，　，，，， 解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为.与共线的向量为，.与的模相等的向量为，，，，. 8．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是________． 答案：西北方向5 km 解析：根据题意画出图形如图所示，由图可知||＝5 km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5 km. 三、解答题 9．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解：(1)画出所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝， ∴||的最大值为，最小值为. 10．设在平面内给定一个四边形ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点． 求证：＝. 证明：如图所示，连接AC. 在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝AC，EF∥AC， 同理HG＝AC，HG∥AC， 所以||＝||且与同向， 所以＝. 11．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的向量个数为m，与向量的模相等的向量个数为n，则m＋n＝(　　) A．20 B．23 C．26 D．29 答案：C 解析：与方向相同的向量为，，，，又||≠||，||＝||＝||＝||，故m＝3.与向量的模相等的向量有两类：(1)以O为起点，正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为起点，O为终点的向量，有2×6－1＝11(个)；(2)正六边形的六条边上的向量，有2×6＝12(个)，故n＝23，故m＋n＝26.故选C. 12．(多选)四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列说法正确的是(　　) A．||＝|| B．∥ C．∥ D．∥ 答案：ABD 解析：对于A，∵四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，∴AB＝EF，即||＝||，A正确；对于B，∵AB∥DC∥HG，∴AB∥FH，∴∥，B正确；对于C，若∥，则BD∥EH，∴∠BDC＝∠DEH， 若四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的正方形，如图所示，则tan∠BDC＝1，tan∠DEH＝，即∠BDC≠∠DEH，C错误；对于D，∵D，C，E三点共线，，方向相反，∴∥，D正确．故选ABD. 13．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量． 答案：6 解析：由题意可得，＝＝，＝＝，＝，＝，，，所以最多可以写出6个互不相等的非零向量． 14．(2024·河南开封高一校考阶段练习)在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝________． 答案：1 解析：如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB＝90°，所以||＝||＝1. 15．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：(1)由题意，作出向量，，，，如图所示． (2)依题意知，△ABC为正三角形， 所以AC＝2000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1000 km， 所以△ACD为等腰直角三角形， 则AD＝1000 km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向，D地距A地1000 km. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$