8.3.2 第2课时 球的表面积和体积-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第八章　立体几何初步 8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、 球的表面积和体积 第2课时　球的表面积和体积 课程标准：知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：球的表面积、体积公式及其应用． 教学难点：与球有关的几何体的表面积和体积的计算． 核心素养：通过有关球的表面积和体积的计算问题培养直观想象素养和数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点　球的表面积和体积 1．球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积S球＝__________． 2．球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积V球＝___________． 4πR2 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 2．(球的表面积)表面积为4π的球的半径是________． 3．(球的体积)直径为3的球的体积是________． 1 π 核心概念掌握 7 核心素养形成 题型一　球的表面积与体积 例1　(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积． 核心素养形成 9 (2)已知球的表面积为64π，求它的体积． 核心素养形成 10 核心素养形成 11 【感悟提升】　求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． 核心素养形成 12 【跟踪训练】 1．(1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积之和为________． 核心素养形成 13 解:设球的半径为R cm， 由题意可知2πR＝16π，解得R＝8， 则S球＝4πR2＝256π(cm2)． (2)已知球的大圆周长为16π cm，求这个球的表面积． 核心素养形成 14 题型二　球的截面问题 核心素养形成 15 【感悟提升】　球的截面的性质 (1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题． (2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图， 球的截面有以下性质： 核心素养形成 16 核心素养形成 17 核心素养形成 18 (2)球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________． 6 核心素养形成 19 题型三　与球有关的切、接问题 例3　(1)如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为(　　) A．4∶3 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4 核心素养形成 20 核心素养形成 21 [条件探究]　将本例(2)中的长方体改为棱长为a的正四面体，则球的体积如何求？ 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 核心素养形成 25 核心素养形成 26 【跟踪训练】 3．(1)已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是(　　) A．27 B．16 C．9 D．3 核心素养形成 27 核心素养形成 28 随堂水平达标 随堂水平达标 30 随堂水平达标 31 随堂水平达标 32 随堂水平达标 33 5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 随堂水平达标 34 随堂水平达标 35 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 球的 体积 球的截面 问题 棱锥外接球的表面积 圆锥内切球的体积 组合体的外接球 棱柱外接球的体积 棱柱内切球的体积；棱锥的外接球 棱台外接球的表面积 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 棱柱外接球的表面积和体积 棱锥内切球的表面积和体积 圆柱内切球的表面积和体积 棱锥内切球的体积 棱柱外接球的表面积的最值 组合体的外接球的表面积和体积 组合体的表面积 和体积 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 解析：因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，故它的外接球的表面积是S＝4πr2＝50π. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 5．(多选)(2024·浙江宁波高一校联考期中)如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则(　　) A．圆锥的底面半径为1 B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三 C．该组合体外接球的表面积与圆柱底面面积的比值为16∶3 D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 二、填空题 6．表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 7．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内，有一体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，当球的体积V取得最大值时，球的内接正四面体的棱长为________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 8．(2024·广东广州五校高一下期末)已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 13．已知正三棱柱的侧面积为3 cm2，其所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________cm2. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 14．如图，AB是半径为R的球的直径，C为球面上一点，且∠BAC＝30°，则图中阴影区域构成的几何体的表面积为________，其体积为________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 15．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱的高为2 cm. (1)这种“浮球”的体积约是多少(π≈3.14，结果精确到0.1 cm3)? (2)要在2500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100 g，那么共需胶约多少克(π≈3.14)? 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 　　　　　　　　　　　　　 R eq \f(4,3)πR3 1．(球的表面积)若球的过球心的圆面的周长是c，则这个球的表面积是(　　) A．eq \f(c2,4π) B．eq \f(c2,2π) C．eq \f(c2,π) D．2πc2 4．(球的表面积和体积)已知一个球的体积为eq \f(π,6)，则此球的表面积为________． eq \f(9π,2) 解　∵球的直径为6 cm， ∴球的半径R＝3 cm. ∴S球＝4πR2＝36π(cm2)，V球＝eq \f(4,3)πR3＝36π(cm3)． 解　∵S球＝4πR2＝64π，即R＝4， ∴V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×43＝eq \f(256π,3). 解　∵V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(500π,3)， ∴R3＝125，R＝5.∴S球＝4πR2＝100π. (3)已知球的体积为eq \f(500π,3)，求它的表面积． 解析：设大、小两球的半径分别为R，r，则由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R－r＝1，,4πR2－4πr2＝28π，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,r＝3.))∴它们的体积之和为eq \f(4,3)πR3＋eq \f(4,3)πr3＝eq \f(364π,3). eq \f(364π,3) 例2　一平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq \r(2)，则此球的体积为(　　) A.eq \r(6)π B．4eq \r(3)π C．4eq \r(6)π D．6eq \r(3)π 解析　如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq \r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq \r(（\r(2)）2＋1)＝eq \r(3)，即球的半径为eq \r(3)，∴V＝eq \f(4,3)π×(eq \r(3))3＝4eq \r(3)π. ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝eq \r(R2－r2). 【跟踪训练】 2．(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　) A．eq \f(500π,3) cm3 B．eq \f(866π,3) cm3 C．eq \f(1372π,3) cm3 D．eq \f(2048π,3) cm3 解析：如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq \f(4,3)π×53＝eq \f(500π,3)(cm3)． 解析：如图，由已知条件知球的半径R＝10，截面圆的半径r＝8，所以球心到截面的距离h＝eq \r(R2－r2)＝6. 解析　画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，PO＝2r，∠PDO＝90°，∴∠CPB＝30°.又∠PCB＝90°，∴CB＝eq \f(\r(3),3)PC＝eq \r(3)r，PB＝2eq \r(3)r，∴圆锥的侧面积S1＝π×eq \r(3)r×2eq \r(3)r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，∴S1∶S2＝3∶2. (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为(　　) A．3πa3 B．eq \r(6)πa3 C．2eq \r(3)πa3 D．2eq \r(6)πa3 解析　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为eq \r(a2＋（2a）2)＝eq \r(5)a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为eq \r(a2＋（\r(5)a）2)＝eq \r(6)a，则球的半径R＝eq \f(AC,2)＝eq \f(\r(6),2)a，所以球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \r(6)πa3. 解：解法一：如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE. ∵棱长为a，∴BE＝eq \f(\r(3),2)a×eq \f(2,3)＝eq \f(\r(3),3)a. ∴在Rt△ABE中，AE＝eq \r(a2－\f(a2,3))＝eq \f(\r(6),3)a. 设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2， ∴R＝eq \f(\r(6),4)a，∴V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(\r(6),8)πa3. 解法二：如图，将正四面体放入正方体中， ∵正四面体的棱长为a， ∴正方体的棱长为eq \f(\r(2),2)a，体对角线长为eq \f(\r(6),2)a， ∴球的直径2R＝eq \f(\r(6),2)a，∴R＝eq \f(\r(6),4)a. ∴V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(\r(6),8)πa3. 【感悟提升】　 1．正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝eq \f(a,2)(a为正方体的棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)． 2．长方体、正方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r2＝eq \f(1,2) eq \r(a2＋b2＋c2)，如图(2)．当a＝b＝c即几何体为正方体时，可得正方体外接球的半径为eq \f(\r(3),2)a. 3．正四面体的外接球与内切球 若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R＝eq \f(\r(6),4)a，内切球半径为r＝eq \f(1,3)R＝eq \f(\r(6),12)a. 解析：设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则eq \f(R,r)＝3.由题意，知eq \f(4,3)πr3＝1，则外接球的体积是eq \f(4,3)πR3＝27×eq \f(4,3)πr3＝27.故选A. (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B．eq \f(7,3)πa2 C．eq \f(11,3)πa2 D．5πa2 解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a，OP＝eq \f(1,2)a，所以球的半径R＝OA满足R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a)) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a)) eq \s\up12(2)＝eq \f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq \f(7,3)πa2. 1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　) A．eq \f(4π,3) B．eq \f(\r(2)π,3) C．eq \f(\r(3)π,2) D．eq \f(π,6) 解析：由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是eq \f(4,3)×π×13＝eq \f(4π,3). 2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A．eq \f(81π,4) B．16π C．9π D．eq \f(27π,4) 解析：如图，设球心为O，半径为r，AE＝eq \r(2)，OE＝4－r，则在Rt△AOE中，(4－r)2＋(eq \r(2))2＝r2，解得r＝eq \f(9,4)，所以该球的表面积为4πr2＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4))) eq \s\up12(2)＝eq \f(81π,4). 3．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．eq \f(9,5)倍 D．eq \f(7,4)倍 解析：设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r，3r，其表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，故最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的eq \f(36πr2,4πr2＋16πr2)＝eq \f(9,5)倍． 4．一个到球心的距离为eq \r(3)的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________． 解析：设所得圆面的半径为r，球的半径为R，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋(eq \r(3))2＝R2，∴R＝2，∴V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32π,3). eq \f(32π,3) 解：由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面． 根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为eq \r(3)r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝eq \f(1,3)π·(eq \r(3)r)2·3r－eq \f(4,3)πr3＝eq \f(5,3)πr3， 而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为eq \f(\r(3),3)h，从而容器内水的体积是 V′＝eq \f(1,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h)) eq \s\up12(2)·h＝eq \f(1,9)πh3， 由V＝V′，得h＝eq \r(3,15)r. 即容器中水的深度为eq \r(3,15)r. 一、选择题 1．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为(　　) A．eq \f(24,π) B．eq \f(6,π) C．eq \r(3,\f(24,π)) D．eq \r(3,\f(6,π)) 解析：设球O的半径为r，则eq \f(4,3)πr3＝23，解得r＝eq \r(3,\f(6,π)). 2．如图，过球O的一条半径OP的中点O1作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为eq \r(3)，则球O的体积是(　　) A．eq \f(32π,3) B．eq \f(16π,3) C．32π D．16π 解析：设球O的半径为R，则R2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2))) eq \s\up12(2)＝(eq \r(3))2，解得R＝2，所以球O的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32π,3).故选A. 3．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积是(　　) A．20eq \r(2)π B．25eq \r(2)π C．50π D．200π 4．(2024·湖南名校联盟高二开学考试)底面圆周长为2π，母线长为4的圆锥内切球的体积为(　　) A．eq \f(\r(15)π,5) B．eq \f(13π,25) C．eq \f(4\r(15)π,25) D．eq \f(\r(15)π,25) 解析：由题意可知，圆锥的母线长l＝4，底面半径r＝1，根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示，根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆O，即为等腰三角形ABC的内切圆，即OE⊥AC，AD⊥BC，OD＝OE，CD＝CE，在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，由AC＝l＝4，CD＝r＝1，则AD＝eq \r(15)，在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝AO2，即(AC－CE)2＋OE2＝(AD－OD)2，可得(4－1)2＋OE2＝(eq \r(15)－OE)2，解得OE＝eq \f(\r(15),5)，即内切球的半径R＝eq \f(\r(15),5)，故内切球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),5))) eq \s\up12(3)＝eq \f(4\r(15)π,25).故选C. 解析：如图，设圆锥的顶点为P，圆柱上、下底面的圆心分别为O1，O2，O1O2的中点为O，由题意，设圆锥的高PO1＝h，圆柱的高O1O2＝2h，圆柱的上、下底面圆半径为r，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h＋h＝2，,r2＋h2＝22，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h＝1，,r＝\r(3)，))故A错误；圆柱的体积为V圆柱＝π×3×2＝6π，外接球的体积为V球＝eq \f(4,3)π×23＝eq \f(32π,3)，则V圆柱＝eq \f(9,16)V球，故B错误；圆柱的底面面积为S底＝π×3＝3π，外接球的表面积为S球＝4π×22＝16π，则S球∶S底＝16π∶3π＝16∶3，故C正确；圆锥的母线长为eq \r(（\r(3)）2＋12)＝2，所以圆锥的侧面积为eq \f(1,2)×2π×eq \r(3)×2＝2eq \r(3)π，圆柱的侧面积为2×2π×eq \r(3)＝4eq \r(3)π，所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确．故选CD. 解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，得a＝2.设球的半径为R，则2R＝eq \r(3)a，即R＝eq \r(3)，所以球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝4eq \r(3)π. 4eq \r(3)π 解析：由题意，因为AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以AC＝5，可得△ABC内切圆的半径r＝eq \f(3×4,3＋4＋5)＝1，又AA1＝5，故该球的最大半径为R＝1.设球的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为eq \r(c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)c,3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),3)c，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)c－1)) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)c)) eq \s\up12(2)＝12，解得c＝eq \f(2\r(6),3)，故球的内接正四面体的棱长为eq \f(2\r(6),3). eq \f(2\r(6),3) 解析：设上、下底面互相平行的两对角线分别为DC，AB，则由球O的表面积为8π可得球O的半径R＝eq \r(2)，又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故DC＝eq \r(2)，AB＝2eq \r(2)，所以球O的球心正好是AB的中点，故OA＝OB＝OC＝OD＝eq \r(2)，所以△ODC为正三角形，故∠ODC＝∠DOA＝60°，所以△ODA为正三角形，故此正四棱台的侧棱长AD＝OA＝eq \r(2). eq \r(2) 解：如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，连接BE1， 则BE＝2OE＝2DE， 所以BE＝eq \r(6)， 在Rt△BEE1中，BE1＝eq \r(BE2＋E1E2)＝2eq \r(3)， 所以2R＝2eq \r(3)，则R＝eq \r(3)， 所以V球＝eq \f(4,3)πR3＝4eq \r(3)π，S球＝4πR2＝12π. 三、解答题 9．若一个底面边长为eq \f(\r(6),2)，侧棱长为eq \r(6)的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积． 10．正三棱锥的高为1，底面边长为2eq \r(6)，内有一个球与它的四个面都相切，求： (1)棱锥的表面积； (2)内切球的表面积与体积． 解：(1)如图，过点P作正三棱锥的高PD，连接AD并延长交BC于点E，连接PE. ∵P－ABC为正三棱锥， ∴AE是△ABC中BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． ∵AB＝2eq \r(6)， ∴S△ABC＝eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(6))2＝6eq \r(3)，DE＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)AB＝eq \r(2)， 在Rt△PDE中，PE＝eq \r(PD2＋DE2)＝eq \r(3). S△PAB＝S△PBC＝S△PCA＝eq \f(1,2)×2eq \r(6)×eq \r(3)＝3eq \r(2)， ∴S表＝9eq \r(2)＋6eq \r(3). (2)设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥． 则VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCA＋VO－ABC＝eq \f(1,3)×(9eq \r(2)＋6eq \r(3))r＝(3eq \r(2)＋2eq \r(3))r. ∵PD＝1，∴VP－ABC＝eq \f(1,3)×6eq \r(3)×1＝2eq \r(3). 则由等体积可得r＝eq \f(2\r(3),3\r(2)＋2\r(3))＝eq \r(6)－2， ∴S球＝4π(eq \r(6)－2)2＝(40－16eq \r(6))π， V球＝eq \f(4,3)π×(eq \r(6)－2)3＝eq \f(72\r(6)π－176π,3). 11．(2024·黑龙江龙西北八校高一下期末)如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积和球的体积之比及圆柱的表面积和球的表面积之比分别是(　　) A．eq \f(3,2)，eq \f(4,3) B．eq \f(3,2)，eq \f(3,2) C．eq \f(3,2)，1 D．eq \f(1,2)，eq \f(4,3) 解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，圆柱的体积V1＝πR2×2R＝2πR3，球的体积V2＝eq \f(4,3)πR3，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,2)，圆柱的表面积S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，球的表面积S2＝4πR2，所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(6πR2,4πR2)＝eq \f(3,2).故选B. 12．(2024·山东德州一中高一下期末)如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为(　　) A．3π B．eq \f(3π,2) C．eq \r(6)π D．eq \f(9\r(6)π,16) 解析：如图所示，设大球的球心为O，大球的半径为R，大正四面体的底面中心为E，棱长为AB＝12，高为h，CD的中点为F，连接OA，OB，OC，OD，OE，BF，则BE＝eq \f(2,3)BF＝eq \f(\r(3),3)×12＝4eq \r(3)，正四面体的高h＝AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \f(\r(6),3)×12＝4eq \r(6).因为V正四面体＝4VO－ABC，所以eq \f(1,3)S△ABC×h＝4×eq \f(1,3)S△ABC×R，所以R＝eq \f(1,4)h＝eq \r(6).设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高h小＝h－2R＝2eq \r(6)，所以r＝eq \f(1,4)h小＝eq \f(1,4)×2eq \r(6)＝eq \f(\r(6),2)，所以小球的体积为eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2))) eq \s\up12(3)＝eq \r(6)π.故选C. 解析：球O的表面积最小时，球O的半径R最小．设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的侧面积S侧＝3ab＝3，所以ab＝1.底面正三角形所在截面圆的半径r＝eq \f(\r(3),3)a，则R2＝r2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(a2,3)＋eq \f(b2,4)＝eq \f(1,3b2)＋eq \f(b2,4)≥2eq \r(\f(1,12))＝eq \f(\r(3),3)，当且仅当eq \f(1,3b2)＝eq \f(b2,4)，即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq \s\up16(\f(1,4))时，等号成立，又因为0<b<2R，所以(R2)min＝eq \f(\r(3),3).故球O表面积的最小值为eq \f(4\r(3)π,3) cm2. eq \f(4\r(3)π,3) eq \f(11＋\r(3),2)πR2 eq \f(5,6)πR3 解析：如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，由题意可得∠BCA＝90°.又∠BAC＝30°，AB＝2R，CO1⊥AB，∴AC＝eq \r(3)R，BC＝R，CO1＝eq \f(\r(3),2)R，AO1＝eq \f(3,2)R，BO1＝eq \f(R,2).∴S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π·eq \f(\r(3),2)R·eq \r(3)R＝eq \f(3,2)πR2，S圆锥BO1侧＝π·eq \f(\r(3),2)R·R＝eq \f(\r(3),2)πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝4πR2＋eq \f(3,2)πR2＋eq \f(\r(3),2)πR2＝eq \f(11＋\r(3),2)πR2，又V球＝eq \f(4,3)πR3，V圆锥AO1＝eq \f(1,3)AO1·πCOeq \o\al(2,1)＝eq \f(3,8)πR3，V圆锥BO1＝eq \f(1,3)BO1·πCOeq \o\al(2,1)＝eq \f(1,8)πR3，∴V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝eq \f(4,3)πR3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)πR3＋\f(1,8)πR3))＝eq \f(5,6)πR3. 解：(1)因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm， 所以两个半球的体积之和为V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×33＝36π(cm3)． 又V圆柱＝πR2h＝π×32×2＝18π(cm3)， 所以这种“浮球”的体积V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3)． (2)根据题意，上、下两个半球的表面积之和为S球表＝4πR2＝4π×32＝36π(cm2)， 又S圆柱侧＝2πRh＝2π×3×2＝12π(cm2)， 所以“浮球”的表面积为 S＝eq \f(36π＋12π,104)＝eq \f(48π,104)(m2)． 因此2500个这种“浮球”的表面积的和为 2500S＝2500×eq \f(48π,104)＝12π(m2)． 因为每平方米需要涂胶100 g， 所以共需胶100×12π＝1200π≈3768(g)． $$