7.1.2 复数的几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第七章　复数 7.1　复数的概念 7.1.2　复数的几何意义 课程标准：理解复数的几何意义． 教学重点：复数的几何意义、复数的模的概念及共轭复数的概念． 教学难点：复数的几何意义的理解与应用． 核心素养：1.通过复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系培养直观想象素养.2.通过求复数的模及求一个复数的共轭复数培养数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　复平面的相关概念 如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做______，y轴叫做_____．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi 对应复平面内的点Z(a，b)．这是复数的一种几何意义． 复平面 实轴 虚轴 核心概念掌握 5 点Z 同一个复数 核心概念掌握 6 |z| |a＋bi| a |a| 绝对值 核心概念掌握 7 共轭复数 共轭虚数 a－bi 核心概念掌握 8 2．(复数与复平面内的点)复数z＝1－4i在复平面内对应的点位于第________象限． 4．(共轭复数)复数5＋6i的共轭复数是________． －3i 四 5－6i 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　复数与复平面内的点 例1　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． 核心素养形成 11 【感悟提升】　复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 核心素养形成 12 【跟踪训练】 1．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点： (1)在实轴上方？ (2)在直线y＝－x上？ 核心素养形成 13 核心素养形成 14 (2)已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量． 核心素养形成 15 【感悟提升】　复数与平面向量一一对应是复数的另一种几何意义，利用这种几何意义，复数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解． 核心素养形成 16 －6－8i 核心素养形成 17 (2)(2024·甘肃张掖中学高一检测)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 核心素养形成 18 核心素养形成 19 【感悟提升】　计算复数模时的注意点 (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． (2)两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 角度2　复数模的几何意义 例4　设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？ 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 核心素养形成 25 核心素养形成 26 核心素养形成 27 核心素养形成 28 (2)(2024·福建莆田高一校考阶段练习)已知a，b∈R，若a＋4i与3－bi互为共轭复数，则|a＋bi|＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 核心素养形成 29 随堂水平达标 1．(多选)若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i在复平面内对应的点Z在虚轴上，则a的值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数或0，所以a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.故选AC. 随堂水平达标 31 随堂水平达标 32 3．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________． 解析：因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4. 2 4 随堂水平达标 33 随堂水平达标 34 5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 随堂水平达标 35 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 复数模 的计算 复数与复平面内 的点 复数模 的计算 共轭复数；复数与复平面内的点 复数模的计算；复数相等 共轭复数；复数与复平面内的点 复数与复平面内 的点 复数与复平面内的向量 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★ ★★ ★★★ 对点 复数与复平面内的点；复数的分类 复数模的几何意义 复数模的几何意义 复数的分类；共轭复数；复数与复平面内的点 复数与复平面内的向量 共轭复数；复数模的计算 复数与复平面内的点、向量 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 一、选择题 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 －2－3i 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 7．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是_________________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 三、解答题 9．已知复数z＝(a2－2a－3)＋(a2－4a＋3)i，其中a是实数． (1)若z∈R，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第一象限，求a的取值范围． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 11．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的轨迹是(　　) A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆 解析：由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3，∴复数z对应的点的轨迹是1个圆． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 5 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点二　复数的向量表示 如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量eq \o(OZ,\s\up17(→))由_______唯一确定；反过来，点Z也可以由向量_______唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量eq \o(OZ,\s\up17(→)). 这是复数的另一种几何意义，并且规定，相等的向量表示_______________． eq \o(OZ,\s\up17(→)) 知识点三　复数的模 向量eq \o(OZ,\s\up17(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_______或__________，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)． 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数_____，它的模就等于____ (a的_______)． 知识点四　共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________．复数z的共轭复数用eq \o(z,\s\up17(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \o(z,\s\up17(－))＝_________． eq \r(3) 1．(复数与复平面内的向量)若eq \o(OZ,\s\up17(→))＝(0，－3)，则eq \o(OZ,\s\up17(→))对应的复数为________． 3．(复数的模)复数eq \r(3)i的模是________． 解　复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1. (2)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2>0，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<m<2，,m>2或m<1，))∴－1<m<1. (3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2. 解：(1)由题意得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5， 所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在实轴上方． (2)由题意，得m2－2m－15＝－(m2＋5m＋6)，整理得2m2＋3m－9＝0， 解得m＝eq \f(3,2)或m＝－3. 所以当m＝eq \f(3,2)或m＝－3时，复数z对应的点在直线y＝－x上． 解　eq \o(OM,\s\up17(→))表示的复数为1＋3i； eq \o(ON,\s\up17(→))表示的复数为4－i； eq \o(OP,\s\up17(→))表示的复数为2i； eq \o(OQ,\s\up17(→))表示的复数为－4. 题型二　复数与复平面内的向量 例2　(1)已知M(1，3)，N(4，－1)，P(0，2)，Q(－4，0)，O为复平面的原点，试写出eq \o(OM,\s\up17(→))，eq \o(ON,\s\up17(→))，eq \o(OP,\s\up17(→))，eq \o(OQ,\s\up17(→))所表示的复数． 解　复数1对应的向量为eq \o(OA,\s\up17(→))，其中A(1，0)； 复数－1＋2i对应的向量为eq \o(OB,\s\up17(→))，其中B(－1，2)； 复数－3i对应的向量为eq \o(OC,\s\up17(→))，其中C(0，－3)； 复数6－7i对应的向量为eq \o(OD,\s\up17(→))，其中D(6，－7)． 如图所示． 【跟踪训练】 2．(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量eq \o(OA,\s\up17(→))与eq \o(OB,\s\up17(→))，则向量eq \o(AB,\s\up17(→))表示的复数是________． 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量eq \o(OA,\s\up17(→))与eq \o(OB,\s\up17(→))，所以eq \o(OA,\s\up17(→))＝(4，3)，eq \o(OB,\s\up17(→))＝(－2，－5)，又eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(OB,\s\up17(→))－eq \o(OA,\s\up17(→))＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，所以向量eq \o(AB,\s\up17(→))表示的复数是－6－8i. 解：记O为复平面的原点， 由题意得eq \o(OA,\s\up17(→))＝(2，3)，eq \o(OB,\s\up17(→))＝(3，2)，eq \o(OC,\s\up17(→))＝(－2，－3)． 设eq \o(OD,\s\up17(→))＝(x，y)，则eq \o(AD,\s\up17(→))＝(x－2，y－3)，eq \o(BC,\s\up17(→))＝(－5，－5)． 由题意知，eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(BC,\s\up17(→))， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝－5，,y－3＝－5，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，)) 故点D对应的复数为－3－2i. 解　因为z1＝6＋8i，z2＝－eq \f(1,2)－eq \r(2)i， 所以|z1|＝eq \r(62＋82)＝10， |z2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋（－\r(2)）2)＝eq \f(3,2). 因为10>eq \f(3,2)，所以|z1|>|z2|. 题型三　复数的模 角度1　复数模的计算 例3　求复数z1＝6＋8i及z2＝－eq \f(1,2)－eq \r(2)i的模，并比较它们模的大小． 【跟踪训练】 3．已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点对应复数z，则|z|＝(　　) A．eq \r(5) B．5 C．eq \r(3) D．3 解析：由题意可得A(6，－5)，B(－2，3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)，其对应的复数z＝2－i，则|z|＝eq \r(22＋（－1）2)＝eq \r(5).故选A. 解　由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5. 这表明向量eq \o(OZ,\s\up17(→))(O为复平面的原点)的长度等于5，即点Z到原点O的距离等于5. 因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，5为半径的圆． 【感悟提升】　巧用复数的模的几何意义解题 我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点O间的距离．也就是向量eq \o(OZ,\s\up17(→))的模，|z|＝|eq \o(OZ,\s\up17(→))|. 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题． 【跟踪训练】 4．设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝eq \r(2)；(2)eq \r(3)<|z|<2. 解：(1)由|z|＝eq \r(2)得，向量eq \o(OZ,\s\up17(→))(O为复平面的原点)的模等于eq \r(2)，所以满足条件|z|＝eq \r(2)的点Z的集合是以原点O为圆心，eq \r(2)为半径的圆． (2)根据复数模的几何意义可知， 复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，eq \r(3)和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括圆环的边界． 题型四　共轭复数 例5　(1)(2023·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，eq \r(3))，则z的共轭复数eq \o(z,\s\up17(－))＝(　　) A．1＋eq \r(3)i B．1－eq \r(3)i C．－1＋eq \r(3)i D．－1－eq \r(3)i 解析　复数z在复平面内对应的点是(－1，eq \r(3))，根据复数的几何意义，z＝－1＋eq \r(3)i，由共轭复数的定义可知，eq \o(z,\s\up17(－))＝－1－eq \r(3)i.故选D. (2)已知a，b∈R，复数z1＝－1＋ai，z2＝b－3i(i为虚数单位)，若z1＝eq \o(z,\s\up17(－))2，则a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－4 解析　由z2＝b－3i，得eq \o(z,\s\up17(－))2＝b＋3i，∵z1＝eq \o(z,\s\up17(－))2，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝b，,a＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，))∴a＋b＝2.故选B. 【感悟提升】　共轭复数的性质 (1)两个共轭复数在复平面内的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即z＝eq \o(z,\s\up17(－))⇔z∈R. 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)|z|＝|eq \o(z,\s\up17(－))|∈R. 【跟踪训练】 5．(1)(2024·新疆喀什高一校考期末)复数z＝3＋4i，其中i为虚数单位，则|eq \o(z,\s\up17(－))|＝(　　) A．25 B．3 C．5 D．eq \r(5) 解析：因为z＝3＋4i，所以eq \o(z,\s\up17(－))＝3－4i，故|eq \o(z,\s\up17(－))|＝eq \r(9＋16)＝5. 解析：∵a＋4i与3－bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝4，则有|a＋bi|＝|3＋4i|＝eq \r(32＋42)＝5.故选D. 2．已知复数z＝a＋eq \r(3)i(a∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝(　　) A．－1＋eq \r(3)i B．1＋eq \r(3)i C．－1＋eq \r(3)i或1＋eq \r(3)i D．－2＋eq \r(3)i 解析：由|z|＝2，得eq \r(a2＋（\r(3)）2)＝2，解得a＝±1.因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，即a＝－1，所以复数z＝－1＋eq \r(3)i.故选A. 4．已知O为坐标原点，eq \o(OZ1,\s\up17(→))对应的复数为－3＋4i，eq \o(OZ2,\s\up17(→))对应的复数为2a＋i(a∈R)．若eq \o(OZ1,\s\up17(→))与eq \o(OZ2,\s\up17(→))共线，则a的值为________． 解析：因为eq \o(OZ1,\s\up17(→))对应的复数为－3＋4i，eq \o(OZ2,\s\up17(→))对应的复数为2a＋i，所以eq \o(OZ1,\s\up17(→))＝(－3，4)，eq \o(OZ2,\s\up17(→))＝(2a，1)．因为eq \o(OZ1,\s\up17(→))与eq \o(OZ2,\s\up17(→))共线，所以存在实数k使eq \o(OZ2,\s\up17(→))＝keq \o(OZ1,\s\up17(→))，即(2a，1)＝k(－3，4)＝(－3k，4k)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8)，))即a的值为－eq \f(3,8). －eq \f(3,8) 解：因为复数z在复平面内对应的点在第一象限， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1>0，,4m2－8m＋3>0，)) 解得m<eq \f(－1－\r(5),2)或m>eq \f(3,2). 所以实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－1－\r(5),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)). 解析：若z＝－1－i，则|z|＝eq \r(（－1）2＋（－1）2)＝eq \r(2).故选C. 2．复数z1＝1＋eq \r(3)i和z2＝1－eq \r(3)i在复平面内的对应点关于(　　) A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 解析：复数z1＝1＋eq \r(3)i在复平面内的对应点为Z1(1，eq \r(3))，复数z2＝1－eq \r(3)i在复平面内的对应点为Z2(1，－eq \r(3))，点Z1与Z2关于实轴对称． 3．(2024·浙江金华十校高一下期末联考)已知i是虚数单位，复数z1＝4＋2i与z2＝3＋ai的模相等，则实数a的值为(　　) A．±eq \r(11) B．eq \r(11) C．±11 D．11 解析：因为z1＝4＋2i，z2＝3＋ai，所以|z1|＝eq \r(42＋22)＝eq \r(20)＝2eq \r(5)，|z2|＝eq \r(32＋a2)＝eq \r(a2＋9)，由已知2eq \r(5)＝eq \r(a2＋9)，所以a＝±eq \r(11).故选A. 4．当eq \f(2,3)<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵eq \f(2,3)<m<1，∴2<3m<3，∴0<3m－2<1且－eq \f(1,3)<m－1<0，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限．∵一对共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A. 5．(多选)若|4＋2eq \r(5)i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则(　　) A．x＝3 B．y＝4 C．x＋yi＝－3＋4i D．|x＋yi|＝5 解析：由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋6＝3，,3－2x＝y＋5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4，))所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.故选BCD. 二、填空题 6．已知i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则eq \o(z,\s\up17(－))2＝________． 解析：复数z1＝2－3i在复平面内对应的点为(2，－3)，则z2在复平面内对应的点为(－2，3)，所以z2＝－2＋3i，eq \o(z,\s\up17(－))2＝－2－3i. 解析：根据题意，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k2－3k－2<0，,k2－k>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<k<2，,k<0或k>1，))所以实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(1，2)． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪(1，2) 8．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋2i，z2＝3a－5i(a∈R)，若eq \o(OZ1,\s\up17(→))⊥eq \o(OZ2,\s\up17(→))，则a＝________． 解析：由题意得Z1(4，2)，Z2(3a，－5)，则eq \o(OZ1,\s\up17(→))＝(4，2)，eq \o(OZ2,\s\up17(→))＝(3a，－5)，因为eq \o(OZ1,\s\up17(→))⊥eq \o(OZ2,\s\up17(→))，所以eq \o(OZ1,\s\up17(→))·eq \o(OZ2,\s\up17(→))＝(4，2)·(3a，－5)＝12a－10＝0，解得a＝eq \f(5,6). eq \f(5,6) 解：(1)由题意，z∈R，则a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3. 故a的值为1或3. (2)因为复数z在复平面内对应的点位于第一象限， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2a－3>0，,a2－4a＋3>0，))解得a<－1或a>3. 故a的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 10．(2024·海淀区校级模拟)设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤eq \r(2)，判断复数ω＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积． 解：|ω|＝eq \r(（x＋y）2＋（x－y）2)＝eq \r(2（x2＋y2）)＝eq \r(2)|z|，而1≤|z|≤eq \r(2)，故eq \r(2)≤|ω|≤2，所以ω对应点的集合是以原点为圆心，eq \r(2)和2为半径的圆所夹圆环内点的集合(包括圆环的边界)，其面积为S＝π[22－(eq \r(2))2]＝2π. 12．(多选)(2024·安徽铜陵市高一下期中)已知复数z＝(m2－4m－5)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)在复平面内对应的点为Z，则下列结论正确的是(　　) A．若m＝5，则z为纯虚数 B．若eq \o(z,\s\up17(－))为z的共轭复数且z＝eq \o(z,\s\up17(－))，则m＝－2 C．若m＝eq \f(3,2)，则点Z在直线y＝－x上 D．若－2<m<5，则点Z在第三象限 解析：对于A，当m＝5时，z＝42i，是纯虚数，故A正确；对于B，因为eq \o(z,\s\up17(－))＝(m2－4m－5)－(m2＋3m＋2)i，z＝eq \o(z,\s\up17(－))，所以(m2－4m－5)＋(m2＋3m＋2)i＝(m2－4m－5)－(m2＋3m＋2)i，所以m2＋3m＋2＝－(m2＋3m＋2)，所以m＝－1或m＝－2，故B错误；对于C，当m＝eq \f(3,2)时，z＝－eq \f(35,4)＋eq \f(35,4)i，所以Zeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(35,4)，\f(35,4)))，所以点Z在直线y＝－x上，故C正确；对于D，由m2－4m－5<0，得－1<m<5，由m2＋3m＋2<0，得－2<m<－1，所以不存在点Z在第三象限，故D错误．故选AC. 13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面内所对应的点分别是A，B，C，若eq \o(OC,\s\up17(→))＝xeq \o(OA,\s\up17(→))＋yeq \o(OB,\s\up17(→))(x，y∈R)，则x＋y的值是________． 解析：由已知，得eq \o(OA,\s\up17(→))＝(－1，2)，eq \o(OB,\s\up17(→))＝(1，－1)，eq \o(OC,\s\up17(→))＝(3，－2)，∴xeq \o(OA,\s\up17(→))＋yeq \o(OB,\s\up17(→))＝x(－1，2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)．由eq \o(OC,\s\up17(→))＝xeq \o(OA,\s\up17(→))＋yeq \o(OB,\s\up17(→))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))∴x＋y＝5. 14．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)． (1)若m＝1，且|eq \o(z,\s\up17(－))|＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值； (2)当m为何值时，|eq \o(z,\s\up17(－))|最小？并求|eq \o(z,\s\up17(－))|的最小值． 解：(1)由m＝1，得z＝3＋4i，eq \o(z,\s\up17(－))＝3－4i， 则由|eq \o(z,\s\up17(－))|＝|x＋(x－1)i|，得eq \r(32＋（－4）2)＝eq \r(x2＋（x－1）2)， 整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3. (2)|eq \o(z,\s\up17(－))|＝eq \r(（1＋2m）2＋[－（3＋m）]2)＝ eq \r(5m2＋10m＋10)＝eq \r(5（m＋1）2＋5)≥eq \r(5)， 当且仅当m＝－1时，|eq \o(z,\s\up17(－))|取得最小值，为eq \r(5). 15．(2024·山东青岛十九中高一下期中)已知复平面内复数z＝(2m－1)＋(m＋1)i(m∈R)对应的点为Z. (1)若点Z在函数y＝2x－6的图象上，求实数m的值； (2)若O为坐标原点，点A(2，－1)，且eq \o(OZ,\s\up17(→))与eq \o(OA,\s\up17(→))的夹角为钝角，求实数m的取值范围． 解：(1)因为点Z(2m－1，m＋1)在函数y＝2x－6的图象上， 所以m＋1＝2×(2m－1)－6，解得m＝3. (2)eq \o(OZ,\s\up17(→))＝(2m－1，m＋1)，eq \o(OA,\s\up17(→))＝(2，－1)， 因为eq \o(OZ,\s\up17(→))与eq \o(OA,\s\up17(→))的夹角为钝角，所以eq \o(OZ,\s\up17(→))·eq \o(OA,\s\up17(→))<0， 所以(2m－1，m＋1)·(2，－1)<0， 即4m－2－m－1<0，得m<1， 当两向量共线且反向时，设eq \o(OZ,\s\up17(→))＝λeq \o(OA,\s\up17(→))，λ<0， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＝2λ，,m＋1＝－λ，))解得λ＝－eq \f(3,4)，m＝－eq \f(1,4)， 所以实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1)). $$