6.2.1 向量的加法运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.2　平面向量的运算 6.2.1　向量的加法运算 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义． 教学重点：向量加法的三角形法则、平行四边形法则及其应用． 教学难点：运用向量的加法运算解决实际问题． 核心素养：1.通过从教材实例中抽象出向量加法概念的过程培养数学抽象素养.2.通过运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则进行向量的加法运算提升数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　向量的加法 (1)向量加法的定义 ______________________，叫做向量的加法． 求两个向量和的运算 核心概念掌握 5 a＋b 核心概念掌握 6 ______的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型，_____的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝ ______＝ ______ ． 位移 力 0+a a 核心概念掌握 7 ≤ 零向量 相同 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 核心概念掌握 10 3．(向量加法的三角形法则和平行四边形法则)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c. 核心概念掌握 11 核心概念掌握 12 核心概念掌握 13 核心素养形成 题型一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则 例1　如图，已知向量a，b. (1)用三角形法则作出向量a＋b； (2)用平行四边形法则作出向量a＋b. 核心素养形成 15 核心素养形成 16 【感悟提升】　 (1)应用向量加法的三角形法则求两个向量和的基本步骤 核心素养形成 17 (2)应用向量加法的平行四边形法则求两个向量和的基本步骤 核心素养形成 18 【跟踪训练】 1．(1)如下图中①，②所示，试作出向量a与b的和． 核心素养形成 19 (2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c. 核心素养形成 20 核心素养形成 21 题型二　向量加法的性质和运算律的应用 例2　(1)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________，________． 解析　当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20；当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4；当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20.综上知，4≤|a＋b|≤20，所以|a＋b|的最大值为20，最小值为4. 20 4 核心素养形成 22 核心素养形成 23 【感悟提升】　解决向量加法运算时应关注的两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. 核心素养形成 24 核心素养形成 25 核心素养形成 26 核心素养形成 27 【感悟提升】　应用向量解决问题的基本步骤 核心素养形成 28 【跟踪训练】 3．在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的合成． 核心素养形成 29 核心素养形成 30 随堂水平达标 随堂水平达标 32 解析：由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立． 随堂水平达标 33 3．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是___________． 北偏东45° 随堂水平达标 34 1 随堂水平达标 35 随堂水平达标 36 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 向量加法的运算律 向量加法的性质 向量加法的平行四边形法则 向量加法的性质 向量加法的性质 向量加法的性质 向量加法的性质 向量加法的平行四边形法则 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 向量加法的平行四边形法则 向量加法的实际 应用 向量加法的三角形法则 向量加法的 三角形法则 向量加法的平行四边形法则 向量加法的性质 向量加法的性质 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 e 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 10．已知船在静水中的速度大小为20 m/min，水流的速度大小为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 120° 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 　　　　　　　　　　　　　 R (2)向量加法的运算法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，则向量______叫做a与b的和，记作______，即a＋b＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝______. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 平行四边形 法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则________________________就是向量a与b的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 eq \o(AC,\s\up17(→)) eq \o(AC,\s\up17(→)) 以O为起点的向量eq \o(OC,\s\up17(→)) [注意]　(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广得到向量求和的多边形法则：eq \o(A1A2,\s\up17(→))＋eq \o(A2A3,\s\up17(→))＋eq \o(A3A4,\s\up17(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up17(→)).特别地，当An和A1重合时，eq \o(A1A2,\s\up17(→))＋eq \o(A2A3,\s\up17(→))＋eq \o(A3A4,\s\up17(→))＋…＋An－1A1＝0. 知识点二　|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|_______|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是_______或a，b是方向_______的非零向量时等号成立． [提示]　若|a＋b|＝||a|－|b||，则a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量． 知识点三　向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 1．(向量加法的运算律)(多选)对任意四边形ABCD，下列式子中等于eq \o(BC,\s\up17(→))的是(　　) A．eq \o(BA,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)) B．eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→)) C．eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→)) D．eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(BA,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→)) 2．(向量加法的性质)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(FE,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))|＝(　　) A．1 B．2 C．eq \r(3) D．eq \r(5) 解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的． 利用三角形法则或平行四边形法则作图． 解法一(三角形法则)：如图①所示，作eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up17(→))＝a＋b，再作eq \o(CD,\s\up17(→))＝c，则eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＝(a＋b)＋c，即eq \o(AD,\s\up17(→))＝a＋b＋c. 解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示． 在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则eq \o(OD,\s\up17(→))＝a＋b， 再作eq \o(OC,\s\up17(→))＝c，以OC，OD为邻边作▱OCED，连接OE，则eq \o(OE,\s\up17(→))＝a＋b＋c. 解　(1)如图①，在平面内任取一点O′，作eq \o(O′D,\s\up17(→))＝a，eq \o(DE,\s\up17(→))＝b，连接O′E，则eq \o(O′E,\s\up17(→))＝a＋b. ① ② (2)如图②，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则eq \o(OC,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))＝a＋b. 解：如下图中①，②所示， 首先作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，然后作eq \o(AB,\s\up17(→))＝b，则eq \o(OB,\s\up17(→))＝a＋b. 解：作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，接着作向量eq \o(AB,\s\up17(→))＝b，则得向量eq \o(OB,\s\up17(→))＝a＋b.然后作向量eq \o(BC,\s\up17(→))＝c，则向量eq \o(OC,\s\up17(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，eq \o(OC,\s\up17(→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq \o(OD,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq \o(OE,\s\up17(→))＝eq \o(OD,\s\up17(→))＋eq \o(OC,\s\up17(→))＝a＋b＋c即为所求． (2)如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式： ①eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CE,\s\up17(→))＋eq \o(EA,\s\up17(→))； ②eq \o(OE,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(EA,\s\up17(→))； ③eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(FE,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→)). 解　①eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CE,\s\up17(→))＋eq \o(EA,\s\up17(→))＝eq \o(BE,\s\up17(→))＋eq \o(EA,\s\up17(→))＝eq \o(BA,\s\up17(→)). ②eq \o(OE,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(EA,\s\up17(→))＝(eq \o(OE,\s\up17(→))＋eq \o(EA,\s\up17(→)))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(OB,\s\up17(→)). ③eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(FE,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→)). 【跟踪训练】 2．(1)已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))|＝________． 解析：|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))|＝|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋(eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→)))|＝|eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))|＝|eq \o(AC,\s\up17(→))|＋|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝2|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝2eq \r(2). 2eq \r(2) 解：①eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＝eq \o(AD,\s\up17(→)). ②eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→))＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→)))＋(eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→)))＋eq \o(FA,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CF,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→))＝eq \o(AF,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→))＝0. (2)化简或计算： ①eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))； ②eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(FA,\s\up17(→)). 题型三　向量加法的实际应用 例3　在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq \r(3) km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向． 解　如图所示，eq \o(OA,\s\up17(→))表示水速，eq \o(OB,\s\up17(→))表示船实际航行的速度，eq \o(OC,\s\up17(→))表示船速，由eq \o(OB,\s\up17(→))＝eq \o(OC,\s\up17(→))＋eq \o(OA,\s\up17(→))，易知|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝|eq \o(OA,\s\up17(→))|＝10，又∠OBC＝90°，|eq \o(OB,\s\up17(→))|＝10eq \r(3)，所以|eq \o(OC,\s\up17(→))|＝20， 所以∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝120°，即船行驶的速度的大小为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120°. 解：如图所示，设eq \o(AB,\s\up17(→))表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800 km，eq \o(BC,\s\up17(→))表示救护车从B地按南偏东55°的方向行驶800 km. 则救护车行驶的路程指的是|eq \o(AB,\s\up17(→))|＋|eq \o(BC,\s\up17(→))|； 两次行驶的位移的合成指的是eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→)). 依题意，有|eq \o(AB,\s\up17(→))|＋|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝800＋800＝1600(km)． 因为α＝35°，β＝55°， 所以∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up17(→))|2＋|\o(BC,\s\up17(→))|2))＝eq \r(8002＋8002)＝800eq \r(2)(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而救护车行驶的路程是1600 km，两次位移的合成是向北偏东80°方向行驶800eq \r(2) km. 1．下列等式错误的是(　　) A．a＋0＝0＋a＝a B．eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))＝0 C．eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BA,\s\up17(→))＝0 D．eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(MN,\s\up17(→))＋eq \o(NP,\s\up17(→))＋eq \o(PM,\s\up17(→)) 解析：对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量加法的三角形法则可得eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))，故原式＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))≠0，故B错误；对于C，可知eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(BA,\s\up17(→))大小相等且方向相反，所以eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BA,\s\up17(→))＝0，所以C正确；对于D，可知eq \o(MN,\s\up17(→))＋eq \o(NP,\s\up17(→))＋eq \o(PM,\s\up17(→))＝eq \o(MP,\s\up17(→))＋eq \o(PM,\s\up17(→))＝0，又eq \o(CA,\s\up17(→))＋eq \o(AC,\s\up17(→))＝0，可知D正确．故选B. 2．(多选)在▱ABCD中，设eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(AD,\s\up17(→))＝b，eq \o(AC,\s\up17(→))＝c，eq \o(BD,\s\up17(→))＝d，则下列等式中成立的是(　　) A．a＋b＝c B．a＋d＝b C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c| 解析：如图所示，设eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up17(→))＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝8eq \r(2) km，∠BAC＝45°. 8eq \r(2) km 4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝1，则|eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))|＝________． 解析：在菱形ABCD中，连接BD.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴|eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))|＝|eq \o(BD,\s\up17(→))|＝|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝1. 5．(2024·广西南宁高一阶段练习)如图，请在图中直接标出： (1)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))； (2)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→)). 解：(1)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))，如图所示． (2)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→))＝eq \o(AE,\s\up17(→))，如图所示． 一、选择题 1．关于平行四边形ABCD，给出下列式子： ①eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BD,\s\up17(→))；②eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))；③eq \o(AD,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))；④eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))；⑤eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(CA,\s\up17(→)). 其中不正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(CA,\s\up17(→))＝eq \o(DA,\s\up17(→))，故⑤不正确；其他各项都正确．故选A. 2．设a＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→)))＋(eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→)))，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是(　　) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|. A．①② B．①③ C．①③⑤ D．②④⑤ 解析：a＝(eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→)))＋(eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→)))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＝0，易知①③⑤正确．故选C. 3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \o(OP,\s\up17(→))＋eq \o(OQ,\s\up17(→))＝(　　) A．eq \o(OH,\s\up17(→)) B．eq \o(OG,\s\up17(→)) C．eq \o(FO,\s\up17(→)) D．eq \o(EO,\s\up17(→)) 解析：如图，设a＝eq \o(OP,\s\up17(→))＋eq \o(OQ,\s\up17(→))，利用平行四边形法则作出向量eq \o(OP,\s\up17(→))＋eq \o(OQ,\s\up17(→))，再平移即发现a＝eq \o(FO,\s\up17(→)). 4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E为BC的中点，则|eq \o(AE,\s\up17(→))＋eq \o(BE,\s\up17(→))|＝(　　) A.eq \r(5) B.eq \r(11) C.eq \r(13) D.eq \r(15) 解析：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E为BC的中点，所以eq \o(BE,\s\up17(→))＝eq \o(EC,\s\up17(→))，AC＝eq \r(AB2＋AD2)＝eq \r(4＋9)＝eq \r(13)，则|eq \o(AE,\s\up17(→))＋eq \o(BE,\s\up17(→))|＝|eq \o(AE,\s\up17(→))＋eq \o(EC,\s\up17(→))|＝|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝eq \r(13).故选C. 5．(多选)已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是(　　) A．eq \o(FD,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＝eq \o(FA,\s\up17(→)) B．eq \o(FD,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→))＋eq \o(EF,\s\up17(→))＝0 C．eq \o(DE,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＝eq \o(EC,\s\up17(→)) D．eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→))＝eq \o(FD,\s\up17(→)) 解析：易知A，B正确；由向量加法的平行四边形法则可知eq \o(DE,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＝eq \o(DF,\s\up17(→))，又eq \o(DF,\s\up17(→))＝eq \o(EC,\s\up17(→))，所以eq \o(DE,\s\up17(→))＋eq \o(DA,\s\up17(→))＝eq \o(EC,\s\up17(→))，C正确；由向量加法的交换律可知，eq \o(DA,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→))＝eq \o(DF,\s\up17(→))≠eq \o(FD,\s\up17(→))，D错误．故选ABC. eq \o(OB,\s\up17(→)) eq \o(BO,\s\up17(→)) eq \o(AC,\s\up17(→)) 二、填空题 6．根据图示填空． (1)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(OA,\s\up17(→))＝________； (2)eq \o(BO,\s\up17(→))＋eq \o(OD,\s\up17(→))＋eq \o(DO,\s\up17(→))＝________； (3)eq \o(AO,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝________． 解析：由三角形法则知， (1)eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(OA,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(OB,\s\up17(→)). (2)eq \o(BO,\s\up17(→))＋eq \o(OD,\s\up17(→))＋eq \o(DO,\s\up17(→))＝eq \o(BD,\s\up17(→))＋eq \o(DO,\s\up17(→))＝eq \o(BO,\s\up17(→)). (3)eq \o(AO,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→)). 7．已知eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，eq \o(CD,\s\up17(→))＝c，eq \o(DE,\s\up17(→))＝d，eq \o(AE,\s\up17(→))＝e，则a＋b＋c＋d＝________． 解析：a＋b＋c＋d＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＋eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→))＝eq \o(AE,\s\up17(→))＝e. 8．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足eq \o(PA,\s\up17(→))＝eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(PC,\s\up17(→))，则eq \f(PD,AD)的值为________． 解析：由题意，以PB，PC为邻边作平行四边形，如图，由eq \o(PA,\s\up17(→))＝eq \o(PB,\s\up17(→))＋eq \o(PC,\s\up17(→))，知PA必为该平行四边形的对角线，又D为边BC的中点，∴D为PA的中点，∴eq \f(PD,AD)＝1. 三、解答题 9．已知|eq \o(OA,\s\up17(→))|＝|a|＝3，|eq \o(OB,\s\up17(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|. 解：如图，以OA，OB为邻边作▱OACB. 因为|eq \o(OA,\s\up17(→))|＝|eq \o(OB,\s\up17(→))|＝3， 所以▱OACB为菱形， 连接OC，AB，则OC⊥AB， 设垂足为D. 因为∠AOB＝60°，所以∠AOD＝30°， 所以在Rt△AOD中，OD＝OAcos30°＝eq \f(3\r(3),2)， 所以|a＋b|＝|eq \o(OC,\s\up17(→))|＝2OD＝eq \f(3\r(3),2)×2＝3eq \r(3). 解：作eq \o(AB,\s\up17(→))＝v水，eq \o(AD,\s\up17(→))＝v船，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则eq \o(AC,\s\up17(→))＝v实际，如图． 由题意可知∠CAB＝90°， 在Rt△ABC中，|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|v水|＝10，|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝|v船|＝20， ∴cos∠ABC＝eq \f(|\o(AB,\s\up17(→))|,|\o(BC,\s\up17(→))|)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)， ∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成120°角． 故船行进的方向与水流的方向成120°角． 11．在△ABC中，eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，若|a|＝|b|＝1，且|a＋b|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析：如图，a＋b＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(AC,\s\up17(→))，∴|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝1，|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝eq \r(2)，∴|eq \o(AB,\s\up17(→))|2＋|eq \o(BC,\s\up17(→))|2＝|eq \o(AC,\s\up17(→))|2＝2，∴△ABC为等腰直角三角形．故选D. 12．(2024·浙江绍兴高一月考)已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，E为斜边BC上一动点，则|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BE,\s\up17(→))|的最小值为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(1,2) C．1 D.eq \r(2) 解析：|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BE,\s\up17(→))|＝|eq \o(AE,\s\up17(→))|，显然当E为斜边BC的中点时，AE⊥BC，此时AE最小，为eq \f(BC,2)＝eq \f(\r(2),2)，即|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BE,\s\up17(→))|的最小值为eq \f(\r(2),2).故选A. 13．(2024·河南南阳五校高一下期中)若P为△ABC的外心，且eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))＝eq \o(PC,\s\up17(→))，则∠ACB＝________． 解析：如图，因为eq \o(PA,\s\up17(→))＋eq \o(PB,\s\up17(→))＝eq \o(PC,\s\up17(→))，所以四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，所以|eq \o(PA,\s\up17(→))|＝|eq \o(PB,\s\up17(→))|＝|eq \o(PC,\s\up17(→))|，所以△APC和△BPC均为等边三角形．因此∠ACB＝2∠ACP＝120°. 14．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝1，eq \o(OA,\s\up17(→))＝eq \o(CO,\s\up17(→))，eq \o(OB,\s\up17(→))＝eq \o(DO,\s\up17(→))，cos∠DAB＝eq \f(1,2).求|eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))|与|eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))|. 解：∵eq \o(OA,\s\up17(→))＝eq \o(CO,\s\up17(→))，eq \o(OB,\s\up17(→))＝eq \o(DO,\s\up17(→))，∴四边形ABCD为平行四边形． 又|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝1， ∴四边形ABCD为菱形． ∵cos∠DAB＝eq \f(1,2)，∠DAB∈(0，π)， ∴∠DAB＝eq \f(π,3)，∴△ABD为正三角形． ∴|eq \o(DC,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))|＝|eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(AD,\s\up17(→))|＝|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝2|eq \o(AO,\s\up17(→))|＝eq \r(3)， |eq \o(CD,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))|＝|eq \o(BD,\s\up17(→))|＝|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝1. 15．如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：eq \o(EA,\s\up17(→))＋eq \o(FB,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＝0. 证明：如图，连接DE，EF，FD， 因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形． 由向量加法的平行四边形法则，得 eq \o(ED,\s\up17(→))＋eq \o(EF,\s\up17(→))＝eq \o(EA,\s\up17(→))， ① 同理，eq \o(FD,\s\up17(→))＋eq \o(FE,\s\up17(→))＝eq \o(FB,\s\up17(→))， ② eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))， ③ 将①②③式相加，得eq \o(EA,\s\up17(→))＋eq \o(FB,\s\up17(→))＋eq \o(DC,\s\up17(→))＝eq \o(ED,\s\up17(→))＋eq \o(EF,\s\up17(→))＋eq \o(FD,\s\up17(→))＋eq \o(FE,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→))＝(eq \o(ED,\s\up17(→))＋eq \o(DE,\s\up17(→)))＋(eq \o(EF,\s\up17(→))＋eq \o(FE,\s\up17(→)))＋(eq \o(FD,\s\up17(→))＋eq \o(DF,\s\up17(→)))＝0，原式得证． $$