6.1 平面向量的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第六章　平面向量及其应用 6.1　平面向量的概念 课程标准：通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等、共线的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素． 教学重点：1.向量的概念.2.向量的几何表示和相等向量.3.共线向量的概念． 教学难点：对向量概念的理解． 核心素养：1.通过从具体的物理情境中抽象出向量概念的过程培养数学抽象素养.2.通过运用向量的相关概念解决问题的过程培养逻辑推理素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　向量与数量 (1)向量：________________________叫做向量． (2)数量：______________________称为数量． [注意]　数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 既有大小又有方向的量 只有大小没有方向的量 核心概念掌握 5 起点 方向 长度 有向线段 有向线段的长度 有向线段的方向 核心概念掌握 6 向量名称 定义 零向量 ___________________叫做零向量，记作0 单位向量 ______________________________，叫做单位向量 平行向量(共线向量) ____________________________叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：________与任意向量平行 相等向量 ____________________________叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b 知识点三　向量的有关概念 长度为0的向量 长度等于1个单位长度的向量 方向相同或相反的非零向量 零向量 长度相等且方向相同的向量 核心概念掌握 7 [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 核心概念掌握 8 1．(向量的有关概念)下列说法正确的是(　　) A．若|a|＞|b|，则a＞b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a与b共线 D．若a≠b，则a一定不与b共线 核心概念掌握 9 核心概念掌握 10 模相等 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　向量的有关概念 例1　(1)下列说法正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析　对于A，向量不能比较大小，A不正确；对于B，方向相同的向量也不能比较大小，B不正确；对于C，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，C不正确；对于D，向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确． 核心素养形成 13 (2)给出下列说法： ①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量都相等． 其中说法正确的是________(填序号)． 解析　由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模相等，但方向不一定相同，知④错误． ②③ 核心素养形成 14 【感悟提升】　解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题． 核心素养形成 15 【跟踪训练】 1．(1)下列判断中正确的是(　　) A．长度为0的向量都是零向量 B．零向量的方向都是相同的 C．长度相等的向量都是单位向量 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 解析：长度为0的向量都是零向量，A正确；零向量的方向是任意的，B错误；长度相等的向量不一定是单位向量，单位向量指长度为1个单位长度的向量，C错误；直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，不是向量，D错误．故选A. 核心素养形成 16 3 核心素养形成 17 核心素养形成 18 核心素养形成 19 核心素养形成 20 【感悟提升】 1．作向量的思路　 核心素养形成 21 2．理解位移的关键点 (1)位移表示质点位置的变化，表示起点与终点间的位置关系，而与质点实际运动的路线无关．物理中的位移就是数学中的向量． (2)从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们就把它们看成相等的位移． 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 核心素养形成 25 3 核心素养形成 26 核心素养形成 27 核心素养形成 28 核心素养形成 29 【感悟提升】　 1．相等向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的． 2．共线向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量． 3．相等向量与共线向量的区别与联系 相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定相等．向量相等具备传递性，而向量的共线不具备传递性． 核心素养形成 30 核心素养形成 31 核心素养形成 32 核心素养形成 33 随堂水平达标 1．有下列物理量： ①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功． 其中不是向量的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：速度、力、加速度这3个物理量是向量，它们都有大小和方向，其余的不是向量． 随堂水平达标 35 随堂水平达标 36 3．(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A．单位向量都共线 B．长度相等的向量都相等 C．共线的单位向量不一定相等 D．任意向量与零向量都共线 解析：对于A，单位向量长度都相等，但不一定都共线，A错误；对于B，长度相等的向量，方向不一定相同，故长度相等的向量不一定都相等，B错误；对于C，共线的单位向量，方向可能相反，C正确；对于D，任意向量与零向量都共线，D正确．故选CD. 随堂水平达标 37 4．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有________对． 2 随堂水平达标 38 随堂水平达标 39 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 对点 向量的有关概念 向量的有关概念 向量的模 相等向量；共线向量；向量的模 向量的模；共线向量 单位向量；相等向量；共线向量；向量的模 相等向量；共线向量；向量的模 向量的表示及应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 向量的表示及应用 相等向量 相等向量；向量的模 共线向量；向量的模 相等向量 向量的模 向量的表示及应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 一、选择题 1．下列说法不正确的是(　　) A．向量的模是一个非负实数 B．任何一个非零向量都可以平行移动 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 解析：显然，选项A，B，C说法正确．对于D，由共线向量知，两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 2．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　) A．不共线 B．长度不相等 C．不可能都是单位向量 D．不可能都是零向量 解析：因为所有的零向量都是相等的向量，故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 解析：由题图可知，三向量起点不同，不共线，但长度相等． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 4．下列结论中正确的是(　　) ①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b； ②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|； ③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b； ④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|. A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 解析：两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等，故④错误． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 二、填空题 6．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2； ④a0∥b0. 解析：因为a0，b0都是单位向量，所以|a0|＝1，|b0|＝1.从而|a0|＋|b0|＝2. ③ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 8．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是__________________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 6 13．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点二　向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：________、________、________，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作________，线段AB的长度也叫做有向线段eq \o(AB,\s\up17(→))的长度，记作________． 表示法 几何表示：用____________来表示向量，___________________表示向量的大小，_____________________表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用 ) ， ， 向量eq \o(AB,\s\up17(→))的大小称为向量eq \o(AB,\s\up17(→))的长度(或称模)，记作_______． [注意]　向量有两要素，有向线段有三要素，因此这是两个不同的量．向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． eq \o(AB,\s\up17(→)) |eq \o(AB,\s\up17(→))| |eq \o(AB,\s\up17(→))| 2．(相等向量)如图，四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))，则必有(　　) A．eq \o(AD,\s\up17(→))＝eq \o(CB,\s\up17(→)) B．eq \o(OA,\s\up17(→))＝eq \o(OC,\s\up17(→)) C．eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(DB,\s\up17(→)) D．eq \o(DO,\s\up17(→))＝eq \o(OB,\s\up17(→)) eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(BA,\s\up17(→))，eq \o(BE,\s\up17(→))，eq \o(EB,\s\up17(→))，eq \o(DA,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→))，eq \o(CB,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→)) eq \o(BD,\s\up17(→)) 3．(向量的模)已知△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(AC,\s\up17(→))的关系是________． 4．(向量的有关概念)如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形， (1)图中与eq \o(AB,\s\up17(→))共线的向量有_______________________________； (2)图中与eq \o(AB,\s\up17(→))相等的向量有________； (3)图中与eq \o(AB,\s\up17(→))模相等的向量有 ___________________________________________； (4)图中与eq \o(EC,\s\up17(→))相等的向量有________． eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(BE,\s\up17(→))，eq \o(EB,\s\up17(→))，eq \o(AE,\s\up17(→))，eq \o(EA,\s\up17(→))，eq \o(BA,\s\up17(→)) eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(BE,\s\up17(→)) (2)给出下列命题： ①若向量a＝eq \o(AB,\s\up17(→))，b＝eq \o(BA,\s\up17(→))，则|a|＝|b|； ②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反； ③若向量eq \o(AB,\s\up17(→))是单位向量，则eq \o(BA,\s\up17(→))也是单位向量； ④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的半径为1的圆． 其中正确命题的个数是________． 解析：①正确，由于|a|＝|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝AB，|b|＝|eq \o(BA,\s\up17(→))|＝BA＝AB，因此有|a|＝|b|.②不正确，由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求．③正确，因为|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(BA,\s\up17(→))|，所以当eq \o(AB,\s\up17(→))是单位向量时，eq \o(BA,\s\up17(→))也是单位向量．④正确，由于向量|eq \o(AP,\s\up17(→))|＝1，所以点P是以点A为圆心的半径为1的圆上的一点；反过来，若点P是以点A为圆心的半径为1的圆上的任一点，则由于|eq \o(AP,\s\up17(→))|＝1，所以向量eq \o(AP,\s\up17(→))是单位向量． 题型二　向量的表示及应用 例2　某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了10eq \r(2)米到达点C，到达点C后又改变方向向西走了10米到达点D. (1)作出向量eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))； (2)求eq \o(AD,\s\up17(→))的模． 解　(1)作出向量eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，如图所示． (2)由题意，得∠DBC＝45°，∠BCD＝45°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以∠BDC＝90°，BD＝10米． 由CD∥AB，得∠ABD＝∠BDC＝90°， 又AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)． 所以|eq \o(AD,\s\up17(→))|＝5eq \r(5)米． 【跟踪训练】 2．在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)画出下列向量： (1)eq \o(OA,\s\up17(→))，使|eq \o(OA,\s\up17(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向上； (2)eq \o(AB,\s\up17(→))，使|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝4，点B在点A正东方向上； (3)eq \o(BC,\s\up17(→))，使|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向上． 解：(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \o(OA,\s\up17(→))|＝4eq \r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量eq \o(OA,\s\up17(→))，如图所示． (2)由于点B在点A正东方向上，且|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量eq \o(AB,\s\up17(→))，如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量eq \o(BC,\s\up17(→))，如图所示． 题型三　相等向量与共线向量 例3　(1)给出下列命题： ①若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))”是“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件； ②若a＝b，b＝c，则a＝c； ③两向量a，b相等的充要条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b；)) ④若|a|＝|b|，则a与b可能共线； ⑤eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(CD,\s\up17(→))的充要条件是A与C重合、B与D重合． 其中真命题的个数是________． 解析　①是真命题．∵eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))，∴|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(DC,\s\up17(→))|且eq \o(AB,\s\up17(→))∥eq \o(DC,\s\up17(→)).又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(DC,\s\up17(→))方向相同，因此eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))；②是真命题．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同．故a＝c；③是假命题．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b))不是a＝b的充要条件；④是真命题．无论向量a与b的模是否相等，a与b都可能共线；⑤是假命题．当eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(CD,\s\up17(→))时，应有|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(CD,\s\up17(→))|及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合． (2)如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． ①写出与eq \o(EF,\s\up17(→))共线的向量； ②写出与eq \o(EF,\s\up17(→))长度相等的向量； ③写出与eq \o(EF,\s\up17(→))相等的向量． 解　①∵E，F分别是AC，AB的中点， ∴EF∥BC， ∴与eq \o(EF,\s\up17(→))共线的向量为eq \o(FE,\s\up17(→))，eq \o(BD,\s\up17(→))，eq \o(DB,\s\up17(→))，eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(CB,\s\up17(→)). ②∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， ∴EF＝eq \f(1,2)BC，BD＝DC＝eq \f(1,2)BC，∴EF＝BD＝DC. ∵AB，BC，AC均不相等， ∴与eq \o(EF,\s\up17(→))长度相等的向量为eq \o(FE,\s\up17(→))，eq \o(BD,\s\up17(→))，eq \o(DB,\s\up17(→))，eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→)). ③与eq \o(EF,\s\up17(→))相等的向量为eq \o(DB,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→)). 【跟踪训练】 3．(1)给出下列命题： ①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同； ②若非零向量eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(CD,\s\up17(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线； ③若a∥b且b∥c，则a∥c； ④任一向量与它的平行向量不相等． 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：相等向量起点相同时，终点必相同，故①是假命题；向量的共线不同于有向线段共线，所以当eq \o(AB,\s\up17(→))与eq \o(CD,\s\up17(→))共线时，A，B，C，D四点不一定共线，故②是假命题；当b＝0时，推不出a∥c，故③是假命题；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，故④是假命题． 解：①依据图形可知，eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(ED,\s\up17(→))，eq \o(EC,\s\up17(→))与eq \o(AB,\s\up17(→))方向相同，eq \o(BA,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(DE,\s\up17(→))，eq \o(CE,\s\up17(→))与eq \o(AB,\s\up17(→))方向相反，所以与向量eq \o(AB,\s\up17(→))共线的向量为eq \o(BA,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(ED,\s\up17(→))，eq \o(DE,\s\up17(→))，eq \o(EC,\s\up17(→))，eq \o(CE,\s\up17(→)). ②由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(ED,\s\up17(→))与eq \o(AB,\s\up17(→))长度相等且方向相同，所以与向量eq \o(AB,\s\up17(→))相等的向量为eq \o(DC,\s\up17(→))和eq \o(ED,\s\up17(→)). (2)如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形． ①写出与向量eq \o(AB,\s\up17(→))共线的向量； ②写出与向量eq \o(AB,\s\up17(→))相等的向量． 2．(2024·陕西咸阳高一下期中)已知四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))，且|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(AD,\s\up17(→))|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 解析：在四边形ABCD中，因为eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))，所以|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(CD,\s\up17(→))|且AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(AD,\s\up17(→))|，所以AB＝AD，所以平行四边形ABCD为菱形．故选A. 解析：由题意可知，△OCD∽△OAB，所以eq \f(OC,OA)＝eq \f(OD,OB)，所以eq \f(OC,AC)＝eq \f(OD,BD).因为MN∥AB，所以eq \f(OC,AC)＝eq \f(ON,AB)，eq \f(OD,BD)＝eq \f(OM,AB)，所以eq \f(ON,AB)＝eq \f(OM,AB)，所以OM＝ON.又M，O，N三点共线，所以eq \o(OM,\s\up17(→))＝eq \o(NO,\s\up17(→))，eq \o(MO,\s\up17(→))＝eq \o(ON,\s\up17(→))，故相等向量有2对． 5．如图，O是正方形ABCD的中心． (1)写出与向量eq \o(AB,\s\up17(→))相等的向量； (2)写出与eq \o(OA,\s\up17(→))的模相等的向量； (3)写出与eq \o(DA,\s\up17(→))共线的向量． 解：(1)与向量eq \o(AB,\s\up17(→))相等的向量是eq \o(DC,\s\up17(→)). (2)与eq \o(OA,\s\up17(→))的模相等的向量是eq \o(OB,\s\up17(→))，eq \o(OC,\s\up17(→))，eq \o(OD,\s\up17(→))，eq \o(BO,\s\up17(→))，eq \o(CO,\s\up17(→))，eq \o(DO,\s\up17(→))，eq \o(AO,\s\up17(→)). (3)与eq \o(DA,\s\up17(→))共线的向量是eq \o(AD,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(CB,\s\up17(→)). 3．(2024·云南师范附中高一下月考)如图，在圆O中，向量eq \o(OB,\s\up17(→))，eq \o(OC,\s\up17(→))，eq \o(AO,\s\up17(→))是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 5．(多选)(2024·山东菏泽一中高一下月考)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(　　) A．向量eq \o(CH,\s\up17(→))，eq \o(DG,\s\up17(→))的模相等 B．|eq \o(AE,\s\up17(→))|＝eq \r(10) C．向量eq \o(DG,\s\up17(→))，eq \o(HF,\s\up17(→))共线 D．|eq \o(DG,\s\up17(→))|＋|eq \o(HF,\s\up17(→))|＝10 解析：对于A，因为|eq \o(CH,\s\up17(→))|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)，|eq \o(DG,\s\up17(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，所以|eq \o(CH,\s\up17(→))|≠|eq \o(DG,\s\up17(→))|，所以A错误；对于B，因为|eq \o(AE,\s\up17(→))|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)，所以B正确；对于C，因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量eq \o(DG,\s\up17(→))，eq \o(HF,\s\up17(→))共线，所以C正确；对于D，因为|eq \o(DG,\s\up17(→))|＋|eq \o(HF,\s\up17(→))|＝eq \r(22＋22)＋eq \r(32＋32)＝5eq \r(2)≠10，所以D错误．故选BC. eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(EB,\s\up17(→)) eq \o(OB,\s\up17(→))，eq \o(OC,\s\up17(→))，eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(EB,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→)) 7．如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，则与向量eq \o(AD,\s\up17(→))相等的向量为____；与向量eq \o(OA,\s\up17(→))共线的向量为_________；与向量eq \o(OA,\s\up17(→))的模相等的向量为_____________________．(填图中所画出的向量) 解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与eq \o(AD,\s\up17(→))相等的向量为eq \o(OC,\s\up17(→)).与eq \o(OA,\s\up17(→))共线的向量为eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(EB,\s\up17(→)).与eq \o(OA,\s\up17(→))的模相等的向量为eq \o(OB,\s\up17(→))，eq \o(OC,\s\up17(→))，eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(EB,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→)). eq \o(OC,\s\up17(→)) 解析：根据题意画出图形如图所示，由图可知|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝5eq \r(2) km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5eq \r(2) km. 西北方向5eq \r(2) km 三、解答题 9．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝eq \r(5). (1)画出所有的向量eq \o(AC,\s\up17(→))； (2)求|eq \o(BC,\s\up17(→))|的最大值与最小值． 解：(1)画出所有的向量eq \o(AC,\s\up17(→))，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，|eq \o(BC,\s\up17(→))|取得最小值eq \r(12＋22)＝eq \r(5)； ②当点C位于点C5或C6时，|eq \o(BC,\s\up17(→))|取得最大值eq \r(42＋52)＝eq \r(41)， ∴|eq \o(BC,\s\up17(→))|的最大值为eq \r(41)，最小值为eq \r(5). 10．设在平面内给定一个四边形ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点． 求证：eq \o(EF,\s\up17(→))＝eq \o(HG,\s\up17(→)). 证明：如图所示，连接AC. 在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝eq \f(1,2)AC，EF∥AC， 同理HG＝eq \f(1,2)AC，HG∥AC， 所以|eq \o(EF,\s\up17(→))|＝|eq \o(HG,\s\up17(→))|且eq \o(EF,\s\up17(→))与eq \o(HG,\s\up17(→))同向， 所以eq \o(EF,\s\up17(→))＝eq \o(HG,\s\up17(→)). 11．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，以A，B，C，D，E，F，O七点中的任一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量eq \o(OA,\s\up17(→))相等的向量个数为m，与向量eq \o(OA,\s\up17(→))的模相等的向量个数为n，则m＋n＝(　　) A．20 B．23 C．26 D．29 解析：与eq \o(OA,\s\up17(→))方向相同的向量为eq \o(CB,\s\up17(→))，eq \o(DO,\s\up17(→))，eq \o(EF,\s\up17(→))，eq \o(DA,\s\up17(→))，又|eq \o(DA,\s\up17(→))|≠|eq \o(OA,\s\up17(→))|，|eq \o(CB,\s\up17(→))|＝|eq \o(DO,\s\up17(→))|＝|eq \o(EF,\s\up17(→))|＝|eq \o(OA,\s\up17(→))|，故m＝3.与向量eq \o(OA,\s\up17(→))的模相等的向量有两类：(1)以O为起点，正六边形的顶点为终点或以正六边形的顶点为起点，O为终点的向量，有2×6－1＝11(个)； (2)正六边形的六条边上的向量，有2×6＝12(个)，故n＝23，故m＋n＝26.故选C. 12．(多选)四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列说法正确的是(　　) A．|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(EF,\s\up17(→))| B．eq \o(AB,\s\up17(→))∥eq \o(FH,\s\up17(→)) C．eq \o(BD,\s\up17(→))∥eq \o(EH,\s\up17(→)) D．eq \o(DC,\s\up17(→))∥eq \o(EC,\s\up17(→)) 解析：对于A，∵四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，∴AB＝EF，即|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝|eq \o(EF,\s\up17(→))|，A正确；对于B，∵AB∥DC∥HG，∴AB∥FH，∴eq \o(AB,\s\up17(→))∥eq \o(FH,\s\up17(→))，B正确；对于C，若eq \o(BD,\s\up17(→))∥eq \o(EH,\s\up17(→))，则BD∥EH，∴∠BDC＝∠DEH，若四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的正方形，如图所示，则tan∠BDC＝1，tan∠DEH＝eq \f(1,2)，即∠BDC≠∠DEH，C错误；对于D，∵D，C，E三点共线，eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(EC,\s\up17(→))方向相反，∴eq \o(DC,\s\up17(→))∥eq \o(EC,\s\up17(→))，D正确．故选ABD. 解析：由题意可得，eq \o(AB,\s\up17(→))＝eq \o(BC,\s\up17(→))＝eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(BA,\s\up17(→))＝eq \o(CB,\s\up17(→))＝eq \o(DC,\s\up17(→))，eq \o(AC,\s\up17(→))＝eq \o(BD,\s\up17(→))，eq \o(CA,\s\up17(→))＝eq \o(DB,\s\up17(→))，eq \o(AD,\s\up17(→))，eq \o(DA,\s\up17(→))，所以最多可以写出6个互不相等的非零向量． 14．(2024·河南开封高一校考阶段练习)在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝2，则|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝________． 解析：如图，连接AC，由|eq \o(OC,\s\up17(→))|＝|eq \o(OB,\s\up17(→))|，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB＝90°，所以|eq \o(AC,\s\up17(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(AB,\s\up17(→))|＝1. 15．已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq \r(2) km到达D地． (1)作出向量eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(DA,\s\up17(→))； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 解：(1)由题意，作出向量eq \o(AB,\s\up17(→))，eq \o(BC,\s\up17(→))，eq \o(CD,\s\up17(→))，eq \o(DA,\s\up17(→))，如图所示． (2)依题意知，△ABC为正三角形， 所以AC＝2000 km. 又因为∠ACD＝45°，CD＝1000eq \r(2) km， 所以△ACD为等腰直角三角形， 则AD＝1000eq \r(2) km，∠CAD＝45°， 所以D地在A地的东南方向，D地距A地1000eq \r(2) km. $$