精品解析：河北省秦皇岛市昌黎第一中学2024-2025学年高三第一次模拟演练补偿考试数学试卷

数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出的实部和虚部，即可得出其对应的点. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 所以，则在复平面内对应的点为. 故选：. 2. 设集合，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集不是空集列出不等式即可求解. 【详解】，注意到，，故，解得. 故选：C. 3. 已知，均为平面上的单位向量，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量垂直得到，再根据向量数量积的运算律即可得到答案. 【详解】因为，则，则， 即，所以， 所以. 故选：C. 4. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式得，再整体代入计算即可. 【详解】当时，，，且，则，不合题意， 当时，，即，解得， . 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对立事件概率公式求出，进一步由条件概率公式即可求解. 【详解】因为，所以， . 故选：A. 6. 已知函数，若在区间上单调，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调区间列出不等式求出，进而求出函数值. 【详解】当时，，， 由在区间上单调，则， 于是，解得， 由，得，因此或， 又，则，，所以. 故选：C 7. 已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原题条件转换为函数在上单调递减，进一步转换为导函数小于等于0恒成立，分离参数即可求解. 【详解】不妨设，则由， 也就是说，函数在上单调递减， 因为，由题意恒成立， 即恒成立，令， 求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为右顶点，为上一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据椭圆的定义得，求得，继而在中，由余弦定理求得，再由得，代入求得的关系，即可得离心率. 【详解】由为上一点，得， 又，∴, 设则 在中，， 在中，由余弦定理得 由得，, 即，化简得，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 该组数据成正态分布 B. 该组数据的平均数小于中位数 C. 该组数据的众数小于平均数 D. 该组数据的中位数小于众数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据众数,中位数,平均数，以及正态分布的图象性质等知识点分别判断即可. 【详解】对于A:根据正态分布的图象性质可知，该组数据的频率分布直方图,没有明显的关于某对称轴对称，所以不是正态分布，故A错误; 对于B:根据图可知,平均数靠左小于中位数,故B正确; 对于C:根据图可知,众数靠右大于平均数,故C错误; 对于D:根据图可知, 中位数靠左小于众数,故D正确; 故选：BD. 10. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 当是偶数时， C. 数列是常数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于同一ABC直接验证即可；对于D，发现周期性和规律即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 所以数列是常数列，故C正确； 对于D，，，， 从而把数列写出来就是 观察发现，，且后面两项都是， 其中是数列的前项和， 从而， 故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 是增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】取可判断A，取，可判断B，令，得到，进而利用基本不等式可判断C，取反例，可判断D. 【详解】对于A，取，则由已知等式得到,即， 又因为值域为,所有，故，故A正确； 对于B，取，则，即，故B正确， 对于C，令，则，即， 注意到，所以， 所以，故C正确； 对于D，取，则，符合题意，但此时是减函数，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：的实轴长为4，若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则双曲线C的焦距为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据两直线垂直得出其斜率之积为，进而得到a与b的关系，结合焦距计算即可. 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为两条渐近线互相垂直，所以，得， 因为实轴长为4，，即，所以， 又，则，则双曲线C的焦距为， 故答案为： 13. 已知，若函数为偶函数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由偶函数性质求得，再检验即可. 【详解】若函数为偶函数， 则，即， 解得，， 所以，， 当时，是偶函数，满足题意. 故答案为：. 14. 内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出底面边长和高后，结合正四棱锥外接球与内切球性质用底面边长及高表示出外接球半径与内切球半径，而后作商，多次换元将式子化简后结合基本不等式计算即可. 【详解】设正四棱锥底面边长为，高为，底面的中心为，连接， 则，，所以， 设外接球球心为，内切球球心为，则，在上， 因为，所以， 在中，，化简得， 因为， 所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，注意到，故. 故答案为：. . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若的面积为，，求边上的中线长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）我们需要利用三角函数的诱导公式和正弦定理将已知等式进行化简，从而求出角； （2）先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出AC边上的中线长. 【小问1详解】 已知. 根据诱导公式，可得，则原式变为. 由正弦定理可得，，代入上式可得： ，化简得. 将等式变形为，根据辅助角公式可得， 即，所以. 因为，所以，则，解得. 【小问2详解】 已知的面积为，，根据三角形面积公式， 可得，即，解得. 由余弦定理，已知，， 可得，即，解得. 设中点为，则， 两边平方可得. 可得， 所以，即AC边上的中线长为. 16. 一个生产车间有三台设备，假设在一天的运行中，设备1，2，3出现故障的概率分别为，，，其中，每台设备一天最多出现一次故障，各部件的状态相互独立. （1）若，求车间在一天的运行中，至少有两台设备出现故障的概率； （2）对于出现故障的设备，车间在当天对其修复，且设备1，2，3的单次维修费用分别为50元，100元，150元，车间每年用于设备维修的预算为6.5万元.通过计算说明该车间每年设备维修费用的均值是否会超出预算（一年按365天计算）. 【答案】（1） （2）不会超过预算 【解析】 【分析】（1）将代入，分别算出有两台设备故障和三台设备故障的概率，再求和即可； （2）先求出每天设备维修费用的分布列、均值的表达式，根据表达式的函数性质求出最值，再计算每年设备维修费用的均值即可求解. 【小问1详解】 根据题意设事件为“至少有两台设备出现故障”，事件为设备出现故障， 事件为设备出现故障，事件为设备出现故障， 若，则设备出现故障的概率为， 设备出现故障的概率为， 设备出现故障的概率为， 则 . 【小问2详解】 设每天设备维修费用为， 则的可能取值为，，，，，，， ， ， ， ， ， ， ， 所以 整理得：， 令， 为关于的二次函数，开口向下，其对称轴为， 因为，所以， 又设每年设备维修费用的均值是，且， 所以， 所以车间每年设备维修费用的均值不会超出预算. 17. 如图，直三棱柱中，，，M，D分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求. 【答案】（1） 设的中点为，连接. 因为M，D分别为，的中点， 所以，且. 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 所以平面. （2）1 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得. 设平面的一个法向量为， 则，取，得. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以. 解得，即. 18. 设抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点，设为坐标原点，. （1）求抛物线的方程； （2）设与抛物线的准线交于点M，且直线与抛物线交于点N（异于原点）. （i）记线段的中点为，证明：直线轴； （ii）设的倾斜角为，当时，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （i）由（1）知， 将P的纵坐标2m代入，得， 知C的准线方程为，又l与C的准线交于点M， ∴， 则直线OM的方程为，联立OM与C的方程，得， ∴， ∴N，P的纵坐标相等， ∴直线轴， （ii） 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算求出，得到抛物线的方程； （2）（i）在（1）基础上得到，进而求出，故轴，（ii）得到，表达出，结合，得到答案. 【小问1详解】 因为过F的直线l与C交于A，B两点，故直线的斜率不为0， 不妨设l的方程为，，， 联立l与C的方程，得，必有， ∴，， 则， ∴由题可知， ∴， ∴C的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）∴， ∴， ∵点N异于原点， ∴， 当时, ，所以， ∴， ∴，即. 19. 设函数，其中且. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）已知正项数列满足，，判断是否存在等比数列，使得，若存在，求数列的公比；若不存在，说明理由. 【答案】（1）在上单调递增， （2） （3）存在等比数列，公比. 【解析】 【分析】（1）对于求函数单调区间，需对函数求导，根据导数的正负来确定单调区间； （2）对于不等式恒成立求参数范围，可通过求导数，分析函数单调性，进而求出最值确定参数范围； （3）对于判断是否存在等比数列满足条件，需结合前面函数的对称性质以及数列的递推关系来分析. 【小问1详解】 当时，，， 设，所以， ， , 所以在上递减，在上递增， 则恒成,恒成立， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 对求导得， 令，再对求导得. 当时， 则. 所以， 当时当且仅当时，即， 在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递增， 令即 ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 在处取得最小值，， 令，则其对称轴为. 因为在时先递减后递增，要使，则，即，解得. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 已知，则， 设对求导得， 对时，，单调递减；对时，，单调递增. 即 又所以 假设存在等比数列，公比为，， 由于，得. 当时，，由于得. 又，随的增大而增大，递增且. 若，当足够大时，趋近于0，而，不满足. 若由于得此时 满足. 所以等比数列，公比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，均为平面上的单位向量，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若在区间上单调，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若任意两个不相等的正实数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为右顶点，为上一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 该组数据成正态分布 B. 该组数据的平均数小于中位数 C. 该组数据的众数小于平均数 D. 该组数据的中位数小于众数 10. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 当是偶数时， C. 数列是常数列 D. 11. 已知函数的定义域为，值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：的实轴长为4，若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则双曲线C的焦距为______. 13. 已知，若函数为偶函数，则______. 14. 内切球半径为1的正四棱锥的外接球半径的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若的面积为，，求边上的中线长. 16. 一个生产车间有三台设备，假设在一天的运行中，设备1，2，3出现故障的概率分别为，，，其中，每台设备一天最多出现一次故障，各部件的状态相互独立. （1）若，求车间在一天的运行中，至少有两台设备出现故障的概率； （2）对于出现故障的设备，车间在当天对其修复，且设备1，2，3的单次维修费用分别为50元，100元，150元，车间每年用于设备维修的预算为6.5万元.通过计算说明该车间每年设备维修费用的均值是否会超出预算（一年按365天计算）. 17. 如图，直三棱柱中，，，M，D分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求. 18. 设抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点，设为坐标原点，. （1）求抛物线的方程； （2）设与抛物线的准线交于点M，且直线与抛物线交于点N（异于原点）. （i）记线段的中点为，证明：直线轴； （ii）设的倾斜角为，当时，求面积的取值范围. 19. 设函数，其中且. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）已知正项数列满足，，判断是否存在等比数列，使得，若存在，求数列的公比；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $