重难点05 几何证明压轴题（4大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

重难点05 几何证明压轴题 北京中考几何证明题的特点在于强调几何直观、模型应用、综合性考查以及创新性情境设置，同时难度逐年提升，注重学生逻辑推理能力和实际应用能力的培养。这些特点体现了北京中考数学试题对学生全面素质的重视。解答几何证明题需要多种解题策略。例如，学生可以通过构造辅助线、利用相似性或全等性来简化问题。北京中考几何证明题近年来更加注重创新性和情境设置。例如，2023年的一道几何综合题涉及等腰三角形、菱形和正方形的判定，考查了学生灵活运用多种几何知识的能力。2024年的几何题则通过动态几何画板演示，帮助学生更直观地理解几何元素之间的关系。从近年的题目来看，北京中考几何证明题的难度呈现逐年上升的趋势。例如，2024年的几何压轴题被认为是近年来最难的一道几何题，考查了学生对旋转、相似、全等等复杂几何变换的综合运用能力。 【题型1 探究数量关系】 考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1．(22-23九下·北京首都师范大学附属中学二模·)如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接． (1)直接判断与的位置关系 (2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 2．（2024年北京市中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 3．（2024年北京市顺义区中考二模）如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 4．（2024年北京市门头沟区九年级中考一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 5．（2024年 北京市东城区北京二中教育集团模拟预测）如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 6．（2024年北京交通大学附属中学第二分校中考模拟）在等边中，点D为的中点，点E为上一点（不与A、D重合）将线段绕点E顺时针旋转至，使点F落在的延长线上，在图1中补全图形： (1)求的度数； (2)探究线段之间的数量关系； (3)将线段绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点H，连接，当时，请写出的最小值． 7．（2023年北京市十一学校中考模拟）如图，，，过点C作直线，点D，E是直线上的动点（D在E的右侧）且满足，连接，的平分线与射线交于点F，与射线交于点G． (1)如图1，当点C在线段上，且时，若，求线段的长； (2)如图2，当点D在点C左侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【题型2 最值问题】 考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，解决最值问题需构造二次函数或者利用几何性质解答。 8．（2024年北京市燕山区中考数学押题模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F． （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值． 9．（2024年北京市第二中九年级中考模拟）问题探究： (1)如图1，在等边中，，点P是它的外心，则＝ ； (2)如图2，在矩形中，，边上存在点P，使，求矩形面积的最小值； 问题解决： (3)如图3，在四边形中，，，，边上存在点P，使，在此条件下，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 10．（2024年北京市第十一中学中考三模）如图1，在等腰中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明： 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 11 ．(北京市东城区2023年九年级中考一模)如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． (1)求的度数； (2)连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； (3)若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 12．(21-22九下·北京北京师范大学附属实验中学·一模)为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点． (1)如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由； (3)连接BN，在绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值． 【题型3 几何与三角函数综合】 主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．还需熟练掌握三角函数定义及特殊三角函数值。 13．（北京市石景山区2022-2023学年中考二模）【模型建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上． ①求证：； ②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，，求的值．    14．（2023年北京市燕山地区中考二模）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12． (1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为__________； (2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值； (3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时 cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由． 15．（2024年北京师范大学附属中学中考一模）已知：在矩形中，，，P是边上的一个动点，将矩形折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为． (1)如图1，当点P与点C重合时，则线段　　　　，　　　　； (2)如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长与的延长线交于点M，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②当时，求四边形的面积． 16．（2023年北京市东城区中考数学一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF． （1）依题意补全图1； （2）若DM＝1，求线段EF的长； （3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值． 17．（2024年北京市第十一中学中考三模）在中，，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明： (3)若点D满足，当时，请直接写出的最值． 【题型4 含相似几何证明】 主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键． 18．（2024·北京海淀·二模）矩形中，，．点在边、上运动，连接，将射线绕点逆时针旋转，交直线CD于点． (1)如图1，当点恰好与点重合时，则__________度； (2)过点作于点，连接． ①如图2，当F落在线段上时．求的度数； 如图3，当落在线段的延长线上且时，求． 19．（2023年北京市海淀区中关村中学中考一模）如图，矩形的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是，D为边上一点，将矩形沿折叠，点C落在x轴上的点E处，的延长线与x轴相交于点 (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，若P是上一动点，交于M，交于N，设，，求s与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2024年北京市陈经纶中学中考一模）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G． （1）如图l，求证：∠EAF=∠ABD； （2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论． 21．（2024年北京市平谷区中考二模）如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 22．（2024年北京大学附属中学中考零模）已知，在中，，，点为边上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点． (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点恰为的中点时，为上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．若，且点在运动的过程中始终满足．请直接写出的取值范围______． （建议用时：60分钟） 23．(22-23九下·北京第一六六中学·二模)如图，已知中，，D为斜边的中点，连接．过C点做的垂线，并在这条线上（C的下方）截取，连接． (1)根据题目条件补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示、和的数量关系，并证明． 24．（2023年北京市朝阳区中考二模）在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 25．（2024年北京市广渠门中学中考二模）如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 几何证明压轴题 北京中考几何证明题的特点在于强调几何直观、模型应用、综合性考查以及创新性情境设置，同时难度逐年提升，注重学生逻辑推理能力和实际应用能力的培养。这些特点体现了北京中考数学试题对学生全面素质的重视。解答几何证明题需要多种解题策略。例如，学生可以通过构造辅助线、利用相似性或全等性来简化问题。北京中考几何证明题近年来更加注重创新性和情境设置。例如，2023年的一道几何综合题涉及等腰三角形、菱形和正方形的判定，考查了学生灵活运用多种几何知识的能力。2024年的几何题则通过动态几何画板演示，帮助学生更直观地理解几何元素之间的关系。从近年的题目来看，北京中考几何证明题的难度呈现逐年上升的趋势。例如，2024年的几何压轴题被认为是近年来最难的一道几何题，考查了学生对旋转、相似、全等等复杂几何变换的综合运用能力。 【题型1 探究数量关系】 考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 1．(22-23九下·北京首都师范大学附属中学二模·)如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接． (1)直接判断与的位置关系 (2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)1 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断； （2）过点B作交于点M，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：； 理由如下：设与交于O， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：， 证明：过点B作交于点M， ∵， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得，，经检验符合题意； ∴． 2．（2024年北京市中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【来源】2024年北京市中考数学试题 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2024年北京市顺义区中考二模）如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【来源】2024年北京市顺义区中考二模数学试题 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）． 证明：过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 即， ， ， ， ， ， 4．（2024年北京市门头沟区九年级中考一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 【答案】(1)①；②，，理由见详解 (2)补全图形见详解，②的结论还成立，证明见详解 【来源】2024年北京市门头沟区九年级中考一模数学试题 【详解】（1）解：（1）①， 为的中点， ， ，， ， ， ， ； ②，， 理由：连接，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）补全图形如下，②的结论还成立， 证明：连接，， 同①可证，， 设，则， ，， ， ，而，， ， ，， ， ． 5．（2024年 北京市东城区北京二中教育集团模拟预测）如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①补全图形见详解，②度数不变，为 【来源】2024年 北京市东城区北京二中教育集团模拟预测数学试题 【详解】（1）解：如图： ∵，，点P为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①补全图形如图： ②取中点为，连接， ∵， ∴， 由旋转得，，， ∴， 同上可得，， ∴是等边三角形， ∴， 同理是等边三角形， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 同理可得：为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可得，， ∴， 同上可得，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 6．（2024年北京交通大学附属中学第二分校中考模拟）在等边中，点D为的中点，点E为上一点（不与A、D重合）将线段绕点E顺时针旋转至，使点F落在的延长线上，在图1中补全图形： (1)求的度数； (2)探究线段之间的数量关系； (3)将线段绕点E旋转，在旋转过程中与边交于点H，连接，当时，请写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2024年北京交通大学附属中学第二分校中考模拟数学试题 【详解】（1）解：如图1: ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴点A、E、C、F共圆， ∴； （2）解：如图2，， 在上截取，作于H， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，将绕点A顺时针旋转至，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当N、E、C三点共线时最小， 在等腰直角中： ， ∴的最小值为． 7．（2023年北京市十一学校中考模拟）如图，，，过点C作直线，点D，E是直线上的动点（D在E的右侧）且满足，连接，的平分线与射线交于点F，与射线交于点G． (1)如图1，当点C在线段上，且时，若，求线段的长； (2)如图2，当点D在点C左侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①补全图形见解析；②证明见解析． 【来源】2023年北京市十一学校中考模拟数学试题 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴； （2）解：①图形如下图所示，    ②理由如下： 如下图所示，过A作于 交于 交于    平分 由（1）得：    四边形是菱形， 四边形是平行四边形， 【题型2 最值问题】 考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，解决最值问题需构造二次函数或者利用几何性质解答。 8．（2024年北京市燕山区中考数学押题模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F． （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）S=t2-t+，S的最小值为2． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB， ∵QE⊥AB，MF⊥BC， ∴∠AEQ=∠MFB=90°， ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形， ∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE， 又∵PQ⊥MN， ∴∠1+∠EQP=90°，∠2+∠FMN=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠EQP=∠FMN， 又∵∠QEP=∠MFN=90°， ∴△PEQ≌△NFM； （2）分为两种情况：①当E在AP上时， ∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t， ∴PA=1，PE=1-t，QE=2， 由勾股定理，得PQ=， ∵△PEQ≌△NFM， ∴MN=PQ=， 又∵PQ⊥MN， ∴S=t2-t+， ∵0≤t≤2， ∴当t=1时，S最小值=2． ②当E在BP上时， ∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t， ∴PA=1，PE=t-1，QE=2， 由勾股定理，得PQ=， ∵△PEQ≌△NFM， ∴MN=PQ=， 又∵PQ⊥MN， ∴S=t2-t+， ∵0≤t≤2， ∴当t=1时，S最小值=2． 综上：S=t2-t+，S的最小值为2． 9．（2024年北京市第二中九年级中考模拟）问题探究： (1)如图1，在等边中，，点P是它的外心，则＝ ； (2)如图2，在矩形中，，边上存在点P，使，求矩形面积的最小值； 问题解决： (3)如图3，在四边形中，，，，边上存在点P，使，在此条件下，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【来源】2024年北京市第二中九年级中考模拟数学试题 【详解】（1）如图， ∵在等边中，， ∴， ∵点P是等边的外心， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，当以为直径的与相切时，切点为P，此时，的长最小．      连接． ∵与相切， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形，四边形都是正方形， ∴ ∴，， ∴矩形面积的最小值为：． （3）存在．如图，在的右边作等边三角形的外接圆，当直线与相切与P时，四边形的面积最大，此时根据圆周角定理可知：满足条件．     延长交于E，过点O作于F，过点P作于T，连接，交于R．的延长线交的延长线于点N， ∵ ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∵是等边三角形，圆外接等边三角形， ∴， 结合、、， 即四边形、四边形、四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴． 10．（2024年北京市第十一中学中考三模）如图1，在等腰中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明： 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形，见解析 (3) 【详解】（1）∵点M、P、N分别为、、的中点， ∴、均是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，, 故答案：；． （2）是等腰直角三角形，理由如下： 连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M、P、N分别为、、的中点， ∴、均是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ∴，, 故是等腰直角三角形． （3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值， ∵点A是定点，是定长，， ∴点D在以A圆心，以4为半径的圆上， ∵直径是最大的弦， ∴点B，A，D三点共线时，且B，D在点A的两侧时，有最大值，且为14， ∴， ∴的最大值为49. ∴面积的最大值为. 11 ．(北京市东城区2023年九年级中考一模)如图，在正方形中，是边上一动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是中点，连接． (1)求的度数； (2)连接，请用等式表示，，三条线段之间的数量关系，并证明； (3)若正方形的边长为，请直接写出的面积最大值． 【答案】(1)45° (2)，见解析 (3) 【来源】北京市东城区2023年九年级中考一模数学试题 【分析】（1）证明和，可得； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而得是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线，确定的面积中底边为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当在上时，最大，其的面积最大，并求此时的面积． 【详解】（1）解：由对称得：，， 在正方形中，，， ， 是的中点， ，， ； （2）结论：， 证明：如图，作交的延长线于， ， 在正方形中，，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）． 理由如下：如图，过作于，则， 中，， ，即为定值， 当最大时，的面积最大， 连接，交于，当在上时，最大，此时与重合， ，， ， ． 12．(21-22九下·北京北京师范大学附属实验中学·一模)为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点． (1)如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由； (3)连接BN，在绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值． 【答案】(1) (2)∠DNM的大小是定值，为120° (3) 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2021-2022学年九年级下学期一模 【详解】（1）解：如图，连接CF． ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴AB=BC=AC，∠BAD=∠CAD=30°． ∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF=60°，G为EF中点， ∴∠EAG=∠GAF=30°． 即在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF(SAS)， ∴， ∵N为CE的中点，G为EF中点， ∴， ∴； （2）∠DNM=120°是定值，证明如下， 如图，连接BE，CF． 同（1）可证△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠ABE=∠ACF． ∵∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°， ∴∠EBC+∠BCF=∠ABC-∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°． ∵EN=NC，EM=MF， ∴MN∥CF， ∴∠ENM=∠ECF， ∵BD=DC，EN=NC， ∴DN∥BE， ∴∠CDN=∠EBC， ∵∠END=∠NDC+∠NCD， ∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF=∠EBC+∠ACB+∠ACF=∠EBC+∠BCF=120°． 综上可知∠DNM的大小是定值，为120°； （3）如图，取AC的中点J，连接BJ，BN． ∵AJ=CJ，EN=NC， ∴JN=AE=． ∵BJ=AD=， ∴BN≤BJ+JN，即BN≤， 故线段BN的最大值为． 【题型3 几何与三角函数综合】 主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．还需熟练掌握三角函数定义及特殊三角函数值。 13．（北京市石景山区2022-2023学年中考二模）【模型建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上． ①求证：； ②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，，求的值．    【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）①证明：，再证明即可；②由和关于对称，可得．证明，从而可得结论； （2）如图，过点作于点，得，证明，．可得，证明，，可得，则，可得，从而可得结论； （3）由，可得，结合，求解，，如图，过点作于点．可得，，可得，再利用余弦的定义可得答案． 【详解】（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴．    ②．理由如下： ∵和关于对称， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）．理由如下： 如图，过点作于点，得．      ∵和关于对称， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，即． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，过点作于点．    ∵， ∴， ． ∴． ∴． 14．（2023年北京市燕山地区中考二模）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12． (1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为__________； (2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值； (3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时 cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】解：（1）过点A作AN⊥BC，垂足为N．△ABN利用锐角三角函数求出AN=． 所以△BMC的面积为． 故答案为：． （2）如图：延长CD使CD=DC1=，则点C 和C1关于在直线AD的对称，所以CN1=C1N1 连接C1B交AD与点N1，这时△BNC周长的最小值为△BN1C周长． 在△BCC1中，BC1=， ∴△BNC周长的最小值为． （3）如下图存在点P使得cos∠BPC的值最小． 作BC的中垂线PQ交BC与点Q，交AD与点P，连接BP、CP作△BPC的外接圆⊙O． ⊙O与直线PQ交与点N，则PB=PC，圆心O在PN上． ∵AD∥BC      ∴⊙O与AD正好相切与点P． ∵PQ=DC=>6．∴PQ>BQ． ∴∠BPC<90°圆心O在弦BC的上方． 在AD上任取一点．连接PB，PC，PB 交⊙O与点M，连接MC ∴∠BPC=∠BMC>∠BC． ∴这时∠BPC最大，cos∠BPC的最小． 连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC ∵OB=OP=-OQ． 在直角△BOQ中， 解得OQ= ∴OB= ∴cos∠BPC=cos∠BOQ= ∴此时cos∠BPC=． 15．（2024年北京师范大学附属中学中考一模）已知：在矩形中，，，P是边上的一个动点，将矩形折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为． (1)如图1，当点P与点C重合时，则线段　　　　，　　　　； (2)如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长与的延长线交于点M，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②当时，求四边形的面积． 【答案】(1)2；4 (2)①见详解；② 【来源】2024年北京师范大学附属中学中考模拟数学试题（一） 【详解】（1）解：过点作， ∵折叠后点、、重合， ∴， ∵在矩形中，，， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理可得：； 故答案为：2；4； （2）解：①证明：如图2， ∵在矩形中，， 由折叠(轴对称)性质，得：， ， ∵点是的中点， ， 又， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； ②如图2，连接与交于点，则且， 又由①知：， ∴，则， 又， ， ， 在， 而， ， 又在中，设，则， 由勾股定理得：， 解得：， 则， 而且， 又四边形是平行四边形， ∴四边形的面积为：． 16．（2023年北京市东城区中考数学一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF． （1）依题意补全图1； （2）若DM＝1，求线段EF的长； （3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）1或． 【来源】2023年北京市东城区中考数学一模试题 【分析】（1）根据题意作出图形便可， （2）连接BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF； （3）设DM＝x（x＞0），求出AE、AF、EF，当△AEF为等腰三角形，分两种情况：AE＝EF或AF＝EF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果． 【详解】解：（1）根据题意作图如下： （2）连接BM，如图2， ∵点D与点E关于AM所在直线对称， ∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°， ∵BM＝BF， ∴△ADM≌△ABF（SAS）， ∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD， ∴∠FAB＝∠NAE， ∴∠FAE＝∠MAB， ∴△FAE≌△MAB（SAS）， ∴EF＝BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AB＝3， ∵DM＝1， ∴CM＝2， ∴BM＝， ∴EF＝； （3）设DM＝x（x＞0），则CM＝3﹣x， ∴EF＝BM＝， ∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝， ∴AF＞AE， ∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE＝EF，或AF＝EF， ①当AE＝EF时，有＝3，解得x＝3 ∴tan∠DAM＝； ②当AF＝EF时，＝，解得，x＝， ∴tan∠DAM＝， 综上，tan∠DAM的值为1或． 故答案为：tan∠DAM的值为1或． 【点睛】本题是正方形的综合题，涉及正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解三角形等知识，以及分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等． 17．（2024年北京市第十一中学中考三模）在中，，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明： (3)若点D满足，当时，请直接写出的最值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【来源】2024年北京市第十一中学中考三模数学试题 【分析】（1）过点作交的延长线于点，证明，根据平行线分线段成比例得出，进而根据勾股定理可得，进而根据正切的定义，即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，延长至，使得，连接，证明，，根据勾股定理以及全等三角形的性质，即可得出结论； （3）以为斜边向下作等腰直角三角形，，以为圆心，为半径作圆，是优弧上的一点，根据题意得出在上，当在上时取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，设，则， ∴， ∴ （2），理由如下： 如图所示，过点作，交的延长线于点，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ， 是等腰三角形， ，， 点为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图所示，以为斜边向下作等腰，， 以为圆心，为半径作圆，是优弧上的一点， ∴， ∵， ∴在上， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当在上时取得最小值，最小值为． 【题型4 含相似几何证明】 主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键． 18．（2024·北京海淀·二模）矩形中，，．点在边、上运动，连接，将射线绕点逆时针旋转，交直线CD于点． (1)如图1，当点恰好与点重合时，则__________度； (2)过点作于点，连接． ①如图2，当F落在线段上时．求的度数； 如图3，当落在线段的延长线上且时，求． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用矩形的性质，结合三角函数，即可作答； （2）①连接，先证明 ，再证明，即有，问题即可作答；②连接，过点G作交延长线于点P，的延长线于点Q，根据①的方法同理可证明，易得四边形是矩形，再证明，即有， 在中，可得，设，，即有 ，，可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∴， 当点恰好与点重合时，则， 故答案为：； （2）①连接，如图， 在（1）中已求出，则有， 根据旋转可知：， ∵， ∴在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连接，过点G作交延长线于点P，的延长线于点Q， 根据①的方法同理可证明， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（2023年北京市海淀区中关村中学中考一模）如图，矩形的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是，D为边上一点，将矩形沿折叠，点C落在x轴上的点E处，的延长线与x轴相交于点 (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，若P是上一动点，交于M，交于N，设，，求s与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【来源】2023年北京市海淀区中关村中学中考一模 【分析】（1）设，则，再求出的长，在中，根据勾股定理求出a的值，即可求解； （2）延长交于，则，先证明，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，可得，从而得到，进而得到，可证得，可得到，再证明，即可求解； （3）分三种情况：当时；当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ，， 设，则，， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ； （2）如图，延长交于，则， ∵， ， ， ， ， 由（1）知：， ，又， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵， ， 平分， ， ， ，   ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ； （3）分三种情况： ①当时，如图3， ，， ∽， ， ，即， 解得：， ∴， ，， ； ②当时，如图4，过M作于H，与的延长线交于点G， 有， ， ， ， 即， ， ∽， ，即， 解得：， 代入得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴的纵坐标为：， ； ③当时，如图5， 过点N作于Q， ， ， ∽， ， 又， ，， ， ， 代入得：， 同理可得：； 综上，点P的坐标是或或 20．（2024年北京市陈经纶中学中考一模）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G． （1）如图l，求证：∠EAF=∠ABD； （2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】见解析 【详解】解：（1）证明：如图，连接FE、FC， ∵点F在线段EC的垂直平分线上， ∴FE=FC．∴∠l=∠2． ∵△ABD和△CBD关于直线BD对称， ∴AB=CB，∠4=∠3， BF=BF． ∴△ABF≌△CBF（SAS）． ∴∠BAF=∠2，FA=FC． ∴FE=FA，∠1=∠BAF．∴∠5=∠6 ． ∵∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800． ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600，∴∠AFE+∠ABE=1800． 又∵∠AFE+∠5+∠6=1800，∴∠5+∠6=∠3+∠4． ∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD． （2）FM=FN ，证明如下： 如图， 由（1）可知∠EAF=∠ABD， 又∵∠AFB=∠GFA，∴△AFG∽△BFA． ∴∠AGF=∠BAF． 又∵∠MBF=∠BAF．∠MBF=∠AGF， ∠AGF=∠MBG+∠BMG， ∴∠MBG=∠BMG．∴BG=MG． ∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=∠EAF． ∵∠FGA=∠AGD，∴△AGF∽△DGA．∴． ∵AF=AD，∴． 设GF="2a" ，AG=3a，则GD=a．∴FD=a． ∵∠CBD=∠ABD，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB．∴BE∥AD． ∴．∴． 设EG=2k，∴BG=MG=3k． 过点F作FQ∥ED交AE于Q， ∴．∴． ∴GQ=EG=，MQ=3k+=．∴． ∵FQ∥ED，∴．∴FM=FN． （1）连接FE、FC，先证△ABF、△CBF全等，得∠FEC=∠BAF，通过四边形ABEF与三角形AEF内角和导出． （2）先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF=∠BAF，再得BG=MG，通过△AGF∽△DGA，导出GD=a，FD=a，过点F作FQ∥ED交AE于Q，通过BE∥AD得线段成比例，设EG=2k，BG=MG=3k，GQ=EG=，MQ=3k+=，，从而FM=FN． 21．（2024年北京市平谷区中考二模）如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【来源】2024年北京市平谷区中考二模数学试题 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、三角形中位线定理及三角函数的应用， （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，过M作于点H，先证明，再证明得出，证明得出，通过三角函数证明． 【详解】（1）补全图形如下： （2）， 证明：连接， 过M作于点H， 在中，，F为中点， ∴， 在中，，G为中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为中点，M为中点， ，   ∵点G为中点，M为中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 22．（2024年北京大学附属中学中考零模）已知，在中，，，点为边上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点． (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点恰为的中点时，为上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．若，且点在运动的过程中始终满足．请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【来源】2024年北京大学附属中学中考零模数学试题 【分析】（1）①根据题意画出图形即可； ②由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求，的长，分两种情况讨论，由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①如图所示： ②，理由如下： 如图，延长，交于点， ， 点，点，点，点四点共圆， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解：，点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， 如图2，当点在点上方时， 将射线绕点逆时针旋转交射线于点． ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点下方时， 同理可证， ， ， ， ， 恒成立， 综上所述：当点在线段上时，恒成立， ， 故答案为：． （建议用时：60分钟） 23．(22-23九下·北京第一六六中学·二模)如图，已知中，，D为斜边的中点，连接．过C点做的垂线，并在这条线上（C的下方）截取，连接． (1)根据题目条件补全图形； (2)证明：； (3)用等式表示、和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【来源】北京市第一六六中学2022-2023学年九年级下学期二模 【分析】（1）根据题目中的条件作图即可． （2）根据，，可得，再根据D为斜边的中点，得到，即可得到结论． （3）过点E作，交的延长线于点H，根据题目条件证明，得到对应边相等，在中，用勾股定理得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为斜边的中点， ∴， ∴， ∴． （3）证明：过点E作，交的延长线与点H，如图所示， ∵，D为的中点 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 24．（2023年北京市朝阳区中考二模）在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【来源】2023年北京市朝阳区中考二模数学试题 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）按题意补充图形即可；在上截取，连接交于点K，作交于点T，根据题意证明，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）①过的中点F作，分别与交于点M、H、N，如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（2024年北京市广渠门中学中考二模）如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)图见解析，，理由见解析 【来源】2024年北京市广渠门中学中考二模数学试题 【分析】（1）①由平行线的定义结合角平分线的定义得出，再由等角对等边即可得证；②由平行线的性质得出，推出，由旋转的性质可得：，，求出，证明，得出，再由为的中点得出，即可得证； （2）根据题意补全图形即可，在上截取，连接，证明得出，结合平行线的性质得出，由题意得出，在上截取，由（1）可得：，求出，证明，得出，推出垂直平分，即，从而得出，最后由平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， 平分， ， ， ； ②，证明如下： 由题意得：， ， ， 由旋转的性质可得：，， ， ，即， ， ， ， 为的中点， ， ； （2）解：补全图形如图所示：     ，，理由如下： 在上截取，连接， 由（1）可得， ，， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在上截取， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分，即， ， ， ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$