6.1.1&6.1.2 函数的平均变化率与导数的概念学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.1-6.1.2函数的平均变化率与导数的几何意义 学习目标：1通过实例分析，理解函数平均变化率的含义，并会求函数在指定区间上的平均变化率： 2.了解平均变化率的几何背景以及物理背景3体会极限思想4.通过函数图象直观理解导数的几何意义， 函数的平均变化率 一般地，若函数yfx)的定义域为D,且x1,x2D,x12,y1fx),y2x,则称 △x2-x1为自变量的改变量：称△yy2y(或yf2)》为相应的因变量的改变量： y】 )为函数 在以x1,x2为端点的闭区间上 的 变化率 y=f(x) B 平均变化率的几何意义一割线的斜率 y=f(x) △y 函数在一·个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的 A △x C 函数图像上两点连线的 △Y=x2=yl=f(x)=x1)= 例1：求函数 在下列区间上的平均变化率： (1) 2(2)以1和 为端点的闭区间」 fr同= 例1：求函数 在下列区间上的平均变化率： 斗烘，上h用司 例1：求函数 在下列区间上的平均变化率： 例1：求函数 在下列区间上的平均变化率： (1 )(∽I11n 典占闲a 例1：求函数 在下列区间上的平均变化率： 瞬时变化率 一般地，设函数 = 在 附近有定义，自变量在= 处的改变量为，当无限 接近于_时，若平拘传率x 无限接近”一个常数k,那名称常做k为 ff0+△x包-f③0 函数f(x)在x=xo处的 变化率. △x 例1中f@x在1处的瞬时变化率为 例1：求函数 在下列区间上的平均变化率： (1) 2(2)以1和 为端点的闭区间」 f风风 例1：求函数 在下列区间上的平均变化率： (1) 2(2)以1和 为端点的闭区间」 fx回= 导数 函数 在三 处的瞬时变化率为k,也称 在xo处二，并称k为 在 处的 记作 FIv 导数 粘 左 以的解十亦少这为h歇 在从 並弥1.为 导数 →w 年H时-1,0 导数 Iim”是英文“imit”的缩写，在数学中表示极限(1imit)的意思，是微积分和数学分 析的一个重要概念。 例2：己知函数fx回=-x2,求fx在x=3处的导数fB回 解：当自变量在 处的改变量为时，平均变化率 解：当自变量在 处的改变量为时，平均变化率 解：当自变量在 处的改变量为 时，平均变化率 解：当自变量在 处的改变量为时，平均变化率 练习1.求函数f@x一3x2-2x在x=1处的导数. 解：因为 十 十 解：因为 + 解：因为 十 曲线切线的定义 一般地，设S是平面上的一条曲线，是曲线S上的一个定点，P是曲线S上 附近 的点，则称直线P为曲线S的割线，如果P 于时，割线P 无限接近于通过 的一条直线1，则称直线1为曲线S在点P处的 Po Po Po P 点 ，，点 是附近的一点， 割线斜率尾)Bx°+△xx°+4x)A一， 则当无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于 的斜率」 12 08 04 02 08 06 04 02 02 040,6 08 1214 -02 0.A -0.6 导数的几何意义 f(0就是曲线v=f在点(x0'f0x0处（也称在x=n处）的 例3：已知函数f(x)=x2'求曲线v=f(x)在(1，f回处切线的斜率与方程。 解：因为 解：因为 解：因为 解： f1+△x0-f(1) 日， 解.因为 求曲线 上点 )处的切线方程： 求曲线 上点 )处的切线方程： 求曲线 上点 )处的切线方程： 求曲线 上点 )处的切线方程： 1 6.1.1-6.1.2 函数的平均变化率与导数的几何意义 学习目标:1.通过实例分析，理解函数平均变化率的含义，并会求函数在指定区间上的平均 变化率；2.了解平均变化率的几何背景以及物理背景.3.体会极限思想.4.通过函数图象直观 理解导数的几何意义. 【学习过程】 函数的平均变化率 一般地，若函数 y=f(x)的定义域为 D，且 x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则称 Δx=x2-x1 为自变量的改变量；称 Δy=y2-y1(或 Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量； 称 Δy Δx ＝ (或 Δf Δx ＝ )为函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在以 x1，x2 为端点的闭区间上 的 变化率. 平均变化率的几何意义——割线的斜率 函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的 函数图像上两点连线的 . ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 = 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1) 𝑥2−𝑥1 = ； 例 1：求函数𝑓(𝑥) = 𝑥2在下列区间上的平均变化率: （1） [1,3]； （2）以 1 和1 + ∆𝑥为端点的闭区间. 解： (1)依定义可知 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓(3)−𝑓(1) 3−1 = = . 即𝑓(𝑥)在[1,3]上的平均变化率为 . （2）依定义可知 ∆𝑓 ∆𝑥 = = = ， 𝑓(𝑥)在以 1 和1 + ∆𝑥为端点的闭区间上的平均变化率为 . 瞬时变化率 一般地，设函数𝑦＝𝑓(𝑥)在𝑥0附近有定义，自变量在𝑥＝𝑥0处的改变量为Δ𝑥，当Δ𝑥无限 接近于 时，若平均变化率 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 ，无限接近于一个常数 k，那么称常数 k 为 函数𝑓(𝑥)在𝑥＝𝑥0处的 变化率. 例 1 中𝑓(𝑥)在 1 处的瞬时变化率为 . 导数 函数𝑓(𝑥)在𝑥＝𝑥0处的瞬时变化率为 k，也称𝑓(𝑥)在 x0 处 ，并称 k 为𝑓(𝑥)在𝑥＝𝑥0 处的 ，记作 . 当Δ𝑥无限接近于 0 时， 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 无限接近于常数 k， 也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为：当 时， 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 k， 或者写成 ，即 f ´(x0) = . “lim” 是英文 “limit” 的缩写，在数学中表示极限（limit）的意思，是微积分和数学分 析的一个重要概念。 例 2：已知函数𝑓(𝑥) = −𝑥2，求𝑓(𝑥)在𝑥 = 3处的导数𝑓′(3). 练习 1. 求函数𝐟(𝐱)＝𝟑𝐱𝟐 − 𝟐𝐱在 x＝1 处的导数. 2 曲线切线的定义 一般地，设 S 是平面上的一条曲线，𝑃0是曲线 S 上的一个定点，P 是曲线 S 上𝑃0附近 的点，则称直线 P𝑃0为曲线 S 的割线，如果 P 于𝑃0时，割线 P𝑃0无限接近于通过𝑃0 的一条直线 l，则称直线 l 为曲线 S 在点𝑃0处的 . 点𝐴(𝑥0，𝑓(𝑥0))，点𝐵(𝑥0 + ∆𝑥，𝑓(𝑥0 + ∆𝑥))是𝐴附近的一点， 割线𝐴𝐵的斜率是 = , 则当∆𝑥无限接近于 0 时，割线的斜率将无限趋近于 的斜率. 导数的几何意义 𝑓′(𝑥0)就是曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点(𝑥0，𝑓(𝑥0))处(也称在𝑥 = 𝑥0处)的 . 例 3：已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2，求曲线y = 𝑓(𝑥)在(1, 𝑓(1))处切线的斜率与方程. 归纳总结：求曲线𝒚 = 𝒇(𝒙)上点𝑷(𝒙𝟎，𝒇(𝒙𝟎))处的切线方程步骤： (1)根据曲线的函数关系式求出切线斜率 k= = ； (2)将𝑥0代入𝑦 = 𝑓(𝑥)，求得曲线上点 ； (3)根据直线的点斜式方程，得切线方程 . 例 4：已知函数𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ，求曲线y = 𝑓(𝑥)在(2, 𝑓(2))处的切线方程. 练习 2. 求曲线𝑓(𝑥)＝𝑥2－𝑥＋3在点(1，3)处的切线方程. 3 例 5：已知函数𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ，计算𝑓(2.03)的近似值. 归纳：利用求导来估值， 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ . 课后作业：完成 6.1.2 课后习题 A 组 B 组所有题； 6.1 导数 6.1.1-6.1.2 函数的平均变化率与导数的几何意义 学习目标：1. 通过实例分析，理解函数平均变化率的含义，并会求函数在指定区间上的平 均变化率；2. 了解平均变化率的几何背景以及物理背景. 3.体会极限思想.4.通过函数图象 直观理解导数的几何意义． 【学习过程】 知识点 1：函数的平均变化率 一般地，若函数 y=f(x)的定义域为 D，且 x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则称 Δx=x2-x1 为自变量的改变量；称 Δy=y2-y1(或 Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量； 称 Δy Δx ＝ y2－y1 x2－x1 (或 Δf Δx ＝ f（x2）－f（x1） x2－x1 )为函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在以 x1，x2 为端点的闭区间上的平 均变化率. 平均变化率的几何意义——割线的斜率 函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率. 因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势， 是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”. ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑘𝐴𝐵 例 1：求函数𝑓(𝑥) = 𝑥2在下列区间上的平均变化率: （1） [1,3]； （2）以 1 和1 + ∆𝑥为端点的闭区间. 解： (1)依定义可知 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓(3)−𝑓(1) 3−1 = 32−22 2 =4. 即𝑓(𝑥)在[1,3]上的平均变化率为 4. （2）依定义可知 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓(1+∆𝑥)−𝑓(1) (1+∆𝑥)−1 = (1+∆𝑥)2−12 ∆𝑥 = 2 + ∆𝑥， 𝑓(𝑥)在以 1 和1 + ∆𝑥为端点的闭区间上的平均变化率为2 + ∆𝑥. 瞬时变化率 一般地，设函数𝑦＝𝑓(𝑥)在𝑥0附近有定义，自变量在𝑥＝𝑥0处的改变量为Δ𝑥，当Δ𝑥无限 接近于 0 时，若平均变化率 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 ，无限接近于一个常数 k，那么称常数 k 为函 数𝑓(𝑥)在𝑥＝𝑥0处的瞬时变化率. 例 1 中𝑓(𝑥)在 1 处的瞬时变化率为 2 . 导数 函数𝑓(𝑥)在𝑥＝𝑥0处的瞬时变化率为 k，也称𝑓(𝑥)在 x0 处可导，并称 k 为𝑓(𝑥)在𝑥＝𝑥0 处的导数，记作𝑓′(𝑥0)＝𝑘. 当Δ𝑥无限接近于 0 时， 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 无限接近于常数 k， 也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为 当 Δx → 0 时， 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 → k， 或者写成 lim ∆𝑥→0 𝑓 (𝑥0+∆𝑥) – 𝑓 (𝑥0) ∆𝑥 = 𝑘，即 f ´(x0) = lim ∆𝑥→0 𝑓 (𝑥0+∆𝑥) – 𝑓 (𝑥0) ∆𝑥 . f ´(x0) = lim ∆𝑥→0 𝑓 (𝑥0+∆𝑥) – 𝑓 (𝑥0) ∆𝑥 由表达式可以看出，当∆𝑥很小时，f ´(x0)≈ 𝑓 (𝑥0+∆𝑥) – 𝑓 (𝑥0) ∆𝑥 ，从而 𝑓 (𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥0) ≈ 𝑓 ´(𝑥0)∆𝑥. 由此能得到瞬时变化率𝑓′(𝑥)的实际意义：当自变量在𝑥＝𝑥0处的改变量∆𝑥很小时，因变量 对应的改变量的近似值为𝑓 ´(𝑥0)∆𝑥. “lim” 是英文 “limit” 的缩写，在数学中表示极限（limit）的意思，是微积分和数学分 析的一个重要概念。 例 2：已知函数𝑓(𝑥) = −𝑥2，求𝑓(𝑥)在𝑥 = 3处的导数𝑓′(3). 解：当自变量在𝑥 = 3处的改变量为∆𝑥时，平均变化率 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓(3+∆𝑥)−𝑓(3) ∆𝑥 = −(3+∆𝑥)2−(−32) ∆𝑥 = −6 − ∆𝑥. 可以看出，当∆𝑥无限接近于 0 时， ∆𝑓 ∆𝑥 无限接近于−6，因此 𝑓′(3) = lim ∆𝑥→0 𝑓(3+∆𝑥)−𝑓(3) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (−6 − ∆𝑥) = −6. 练习 1. 求函数𝑓(𝑥)＝3𝑥2 − 2𝑥在 x＝1 处的导数. 解：因为Δ𝑦 = 3(1＋Δ𝑥)2－2(1＋Δ𝑥)－(3 × 12－2 × 1) = 3(Δ𝑥)2＋4Δ𝑥， 所以 ∆𝑦 ∆𝑥 = 3(Δ𝑥)2＋4Δ𝑥 ∆𝑥 = 3∆𝑥 + 4， 因此𝑓′(1) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (3∆𝑥 + 4) = 4. 曲线切线的定义 一般地，设 S 是平面上的一条曲线，𝑃0是曲线 S 上的一个定点，P 是曲线 S 上𝑃0附近 的点，则称直线 P𝑃0为曲线 S 的割线，如果 P 无限接近于𝑃0时，割线 P𝑃0无限接近于通过 𝑃0的一条直线 l，则称直线 l 为曲线 S 在点𝑃0处的切线. 依照切线的定义可知，如果将函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的图像看成曲线，而且曲线在点𝐴(𝑥0，𝑓(𝑥0)) 处的切线为𝑙，则∆𝑥很小时，𝐵(𝑥0 + ∆𝑥，𝑓(𝑥0 + ∆𝑥))是𝐴附近的一点，割线𝐴𝐵的斜率是 ∆𝑓 ∆𝑥 = 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 , 则当∆𝑥无限接近于 0 时，割线的斜率将无限趋近于切线𝑙的斜率. 导数的几何意义：𝑓′(𝑥0)就是曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在点(𝑥0，𝑓(𝑥0))处(也称在𝑥 = 𝑥0处)的切线的斜 率. 思考：利用导数的几何意义，你能够求切线方程吗？ 例 3：已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2，求曲线y = 𝑓(𝑥)在(1, 𝑓(1))处切线的斜率与方程. 解：因为𝑓′(1) = lim ∆𝑥→0 𝑓(1+∆𝑥)−𝑓(1) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (1+∆𝑥)2−1 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (2 + ∆𝑥) = 2， 因此所求切线的斜率为 2. 又因为𝑓(1) = 12=1，所以切点为(1,1) 所以切线的方程为 𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1)， 即𝑦 = 2𝑥 − 1. 求曲线𝒚 = 𝒇(𝒙)上点𝑷(𝒙𝟎，𝒇(𝒙𝟎))处的切线方程： (1)根据曲线的函数关系式求出切线斜率𝑘 = 𝑓′(𝑥0) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0) ∆𝑥 ； (2)将𝑥0代入𝑦 = 𝑓(𝑥)，求得曲线上点𝑃(𝑥0，𝑓(𝑥0))； (3)根据直线的点斜式方程，得切线方程𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0). 例 4：已知函数𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ，求曲线y = 𝑓(𝑥)在(2, 𝑓(2))处的切线方程. 解：因为𝑓′(2) = lim ∆𝑥→0 𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(2) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 1 2+∆𝑥 − 1 2 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 −1 2(2+∆𝑥） = − 1 4 ， 又因为𝑓(2) = 1 2 ， 所以切线的方程为 y − 1 2 = − 1 4 (𝑥 − 2)， 即y = − 1 4 𝑥 + 1. 练习 2. 求曲线𝑓(𝑥)＝𝑥2－𝑥＋3在点(1，3)处的切线方程. 解：因为𝑓′(1) = lim ∆𝑥→0 𝑓(1+∆𝑥)−𝑓(1) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (1+∆𝑥)2−(1+∆𝑥)+3−(12−1+3) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (1 + ∆𝑥) = 1， 又因为切点坐标为(1，3)， 所以切线的方程为 y − 3 = 1 × (𝑥 − 1)， 即𝑦 = 𝑥 + 2. 借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可以利用某 一点的导数来估计这一点附近的函数值，具体过程如下. 如果函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在𝑥0处的导数为𝑓′(𝑥0)，且在𝑥0处自变量的改变量为∆𝑥，对应的函 数值改变量为 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0), 则 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) = 𝑓(𝑥0) + ∆𝑦 此时曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)在𝑥0处的切线 l 的斜率为𝑓′(𝑥0)，因此 AC=∆𝑥，CD=𝑓′(𝑥0) ∆𝑥. 又因为 BC=∆y,可以看出，当∆𝑥很小时，∆𝑦可用𝑓′(𝑥0) ∆𝑥来近似表示，即 ∆y ≈ 𝑓′(𝑥0) ∆𝑥, 所以 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) ∆𝑥. 本质上是用𝑥 = 𝑥0处的切线代替了𝑥 = 𝑥0附近的曲线𝑦 = 𝑓(𝑥)，使用了“以直代曲”的方法. 例 2：已知函数𝑓(𝑥) = 1 𝑥 ，计算𝑓(2.03)的近似值. 分析：利用求导来估值， 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) ∆𝑥. 解：由题意可得，𝑓(2) = 0.5，𝑓′(2) = − 1 22 = −0.25， 因此𝑓(2.03) = 𝑓(2 + 0.03) ≈ 𝑓(2) + 𝑓′(2) × 0.03 = 0.5 + (−0.25) × 0.03 = 0.4925. 课后作业：完成 6.1.2 课后习题 A 组 B 组所有题； ∆𝑦 6.1 导数 6.1.1-6.1.2 函数的平均变化率与导数的几何意义 学习目标：1. 通过实例分析，理解函数平均变化率的含义，并会求函数在指定区间上的平均变化率；2. 了解平均变化率的几何背景以及物理背景. 3.体会极限思想.4.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 【学习过程】 知识点 1：函数的平均变化率 一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则称 Δx=x2-x1为自变量的改变量；称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量； 称＝(或＝)为函数在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率. 平均变化率的几何意义——割线的斜率 函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率. 因此，平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变化趋势，是曲线倾斜程度的“数量化”，曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”. 例 1：求函数在下列区间上的平均变化率: （1） ； （2）以1和为端点的闭区间. 解： (1)依定义可知 4.  即在上的平均变化率为4. （2）依定义可知 ， 在以1和为端点的闭区间上的平均变化率为. 瞬时变化率 一般地，设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率，无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率. 例 1中在1处的瞬时变化率为 2 . 导数 函数在处的瞬时变化率为k，也称在x0处可导，并称k为在处的导数，记作. 当无限接近于0时，无限接近于常数k， 也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为 当Δx → 0时， → k， 或者写成，即f ´(x0) = . f ´(x0) = 由表达式可以看出，当很小时，f ´(x0)，从而 . 由此能得到瞬时变化率的实际意义：当自变量在处的改变量很小时，因变量对应的改变量的近似值为. “lim” 是英文 “limit” 的缩写，在数学中表示极限（limit）的意思，是微积分和数学分析的一个重要概念。 例 2：已知函数，求在处的导数 解：当自变量在处的改变量为时，平均变化率 . 可以看出，当无限接近于0时，无限接近于，因此 练习1. 求函数在x＝1处的导数. 解：因为， 所以 ， 因此. 曲线切线的定义 一般地，设S是平面上的一条曲线，是曲线S上的一个定点，P是曲线S上附近的点，则称直线P为曲线S的割线，如果P无限接近于时，割线P无限接近于通过的一条直线l，则称直线l为曲线S在点处的切线. 依照切线的定义可知，如果将函数的图像看成曲线，而且曲线在点处的切线为，则很小时，是附近的一点，割线的斜率是 , 则当无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于切线的斜率. 导数的几何意义：就是曲线在点处(也称在处)的切线的斜率. 思考：利用导数的几何意义，你能够求切线方程吗？ 例 3：已知函数，求曲线在处切线的斜率与方程. 解：因为， 因此所求切线的斜率为2. 又因为=1，所以切点为 所以切线的方程为 ， 即. 求曲线上点)处的切线方程： (1)根据曲线的函数关系式求出切线斜率； (2)将代入，求得曲线上点； (3)根据直线的点斜式方程，得切线方程 例4：已知函数，求曲线在处的切线方程. 解：因为 ， 又因为， 所以切线的方程为 ， 即. 练习2. 求曲线在点(1，3)处的切线方程. 解：因为 ， 又因为切点坐标为， 所以切线的方程为 ， 即. 借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可以利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值，具体过程如下. 如果函数在处的导数为，且在处自变量的改变量为，对应的函数值改变量为 , 则 此时曲线在处的切线l的斜率为，因此 AC=，CD= . 又因为BC=,可以看出，当很小时，可用 来近似表示，即 , 所以 . 本质上是用处的切线代替了附近的曲线，使用了“以直代曲”的方法. 例 2：已知函数，计算的近似值. 分析：利用求导来估值， . 解：由题意可得，，， 因此 课后作业：完成6.1.2课后习题A组B组所有题； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1.1-6.1.2 函数的平均变化率与导数的几何意义 学习目标:1.通过实例分析，理解函数平均变化率的含义，并会求函数在指定区间上的平均变化率；2.了解平均变化率的几何背景以及物理背景.3.体会极限思想.4.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 【学习过程】 函数的平均变化率 一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则称 Δx=x2-x1为自变量的改变量；称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量； 称＝ (或＝ )为函数在以x1，x2为端点的闭区间上 的 变化率. 平均变化率的几何意义——割线的斜率 函数在一个区间内的平均变化率，等于这个区间端点对应的 函数图像上两点连线的 . ； 例 1：求函数在下列区间上的平均变化率: （1） ； （2）以1和为端点的闭区间. 解： (1)依定义可知 .  即在上的平均变化率为 . （2）依定义可知 ， 在以1和为端点的闭区间上的平均变化率为 . 瞬时变化率 一般地，设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于 时，若平均变化率，无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的 变化率. 例 1中在1处的瞬时变化率为 . 导数 函数在处的瞬时变化率为k，也称在x0处 ，并称k为在处的 ，记作 . 当无限接近于0时，无限接近于常数k， 也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为：当 时， k， 或者写成 ，即f ´(x0) = . “lim” 是英文 “limit” 的缩写，在数学中表示极限（limit）的意思，是微积分和数学分析的一个重要概念。 例 2：已知函数，求在处的导数 练习1. 求函数在x＝1处的导数. 曲线切线的定义 一般地，设S是平面上的一条曲线，是曲线S上的一个定点，P是曲线S上附近的点，则称直线P为曲线S的割线，如果P 于时，割线P无限接近于通过的一条直线l，则称直线l为曲线S在点处的 . 点，点是附近的一点， 割线的斜率是 , 则当无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于 的斜率. 导数的几何意义 就是曲线在点处(也称在处)的 . 例 3：已知函数，求曲线在处切线的斜率与方程. 归纳总结：求曲线上点)处的切线方程步骤： (1)根据曲线的函数关系式求出切线斜率k= = ； (2)将代入，求得曲线上点 ； (3)根据直线的点斜式方程，得切线方程 . 例4：已知函数，求曲线在处的切线方程. 练习2. 求曲线在点(1，3)处的切线方程. 例 5：已知函数，计算的近似值. 归纳：利用求导来估值， . 课后作业：完成6.1.2课后习题A组B组所有题； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$