压轴题08 向量的概念和线性运算（四类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题08 向量的概念和线性运算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、向量的概念 2 类型二、向量加法的法则及几何应用 4 类型三、向量减法的法则及几何应用 5 类型四、向量的线性运算的几何应用 6 压轴能力测评（7题） 7 知识点01向量的定义及表示 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 知识点02向量的有关概念 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 知识点03向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 知识点04向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 知识点05 向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类型一、向量的概念 1．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 3．下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 4．下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 5．非零向量不平行，且与平行，求实数的值． 6．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设，是非零向量，则是成立的 条件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空） 7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 类型二、向量加法的法则及几何应用 1． ． 2．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 3．在中，若，． （1）若D为BC上的点，且，求证：； （2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； （3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； （4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型三、向量减法的法则及几何应用 1．已知，，则实数 ． 2．若，则的取值范围是 ． 3．（23-24高一下·上海·期中）化简 ． 4．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 类型四、向量的线性运算的几何应用 1．（22-23高一下·上海虹口·期中）若所在平面内一点P满足，则P是的（    ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 3．在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则 ． 4．如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为 . 5．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 6．点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点O为内一点，，求. 一、单选题 1．在平行四边形中，若，则必有（    ） A． B．或 C．四边形是矩形 D．四边形是正方形 二、填空题 2．已知正六边形，若，，则用，表示为 ． 3.为平行四边形，已知，M是的中点，则 （用表示） 4．（24-25高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 三、解答题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）对于非零实数a、b，有这样的结论：当时，成立；当时，成立.那么对于非零向量、，向量的模与、有类似的结论吗？请说明理由. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 7．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题08 向量的概念和线性运算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、向量的概念 2 类型二、向量加法的法则及几何应用 6 类型三、向量减法的法则及几何应用 10 类型四、向量的线性运算的几何应用 12 压轴能力测评（7题） 17 知识点01向量的定义及表示 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示： 知识点02向量的有关概念 相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 （共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 知识点03向量的加法 （1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则： 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和 （3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. （4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. （5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 知识点04向量的减法 （1）相反向量（利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法） 定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量 性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量 （2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算） 定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法. a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量. 几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 知识点05 向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a. （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb； 特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb. （3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向 量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b. （4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类型一、向量的概念 1．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 2．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 3．下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论． 【详解】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 4．下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、相反向量 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 5．非零向量不平行，且与平行，求实数的值． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线定理设，由此得到关于的方程组，从而的值可求. 【详解】设，所以， 又为非零向量且不平行，所以， 所以，所以. 6．（22-23高一下·上海徐汇·期中）设，是非零向量，则是成立的 条件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空） 【答案】充分不必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断 【详解】因为，所以共线且方向相同， 因为表示方向上的单位向量，所以， 而当时，可得共线且方向相同，但不一定是， 所以是成立的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【知识点】向量的模、相等向量 【分析】（1）按向量的模长进行分类求解； （2）按向量的模长进行分类求解． 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为1时，有2个，为：， 模长为2时，有2个，为：， 模长为3时，有2个，为：， 模长为4时，有2个，为：， 总共有8个． （2）由（1）知，当模长为1时，有2个， 当模长为2时，有2个， 当模长为3时，有2个，依次类推，当模长为时，有2个， 总共有个． 类型二、向量加法的法则及几何应用 1． ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】向量运算中作加法时，注意首尾相连容易化简. 【详解】原式. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】6 【知识点】向量加法的法则 【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设为的重心， 则， 因为，所以， 即在以点为圆心，为半径的圆上面， 设点与坐标原点重合， 则， 当且仅当都在线段上，等号成立， 又， 当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立， 综上所述，的最大值与最小值之和为6. 故答案为：6. 3．在中，若，． （1）若D为BC上的点，且，求证：； （2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； （3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； （4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）. 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】（1）将转化为，再将转化为即可. （2）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，易得四边形AQDB是平行四边形，根据向量加法容易得到结论. （3）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，容易得到四边形ASDP是平行四边形，进一步根据向量加法容易得到结论. （4）通过（2）（3）猜想出结论. 【详解】（1）如图1， ． （2）当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，联结AD，交BC于O点，联结PD、QD，如图2，则，∵，，∴，且，∴四边形APDQ是平行四边形，∴． （3）当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图3，则Q是BC的中点， ∴． （4）结论：． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 类型三、向量减法的法则及几何应用 1．已知，，则实数 ． 【答案】 【知识点】向量减法的法则、已知向量共线（平行）求参数 【分析】将代入中，整理即可求解. 【详解】由题，因为， 所以，即， 所以， 故答案为： 2．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】向量减法的法则 【分析】结合平面向量减法的几何意义，利用平面向量三角不等式进行求解即可. 【详解】因为，， 所以有， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【知识点】向量减法的运算律 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 4．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【知识点】向量的模、向量减法法则的几何应用 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 【答案】 【知识点】向量减法的法则 【分析】在三角形中，向量的加减法遵循三角形法则. 【详解】(1)， (2). 故答案为： 6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 【答案】证明见解析 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】根据得出，进而得出，然后即可得出ABCD是平行四边形. 【详解】因为， 所以， 因为向量，，，， 所以， 即， 所以，且， 所以四边形ABCD是平行四边形. 类型四、向量的线性运算的几何应用 1．（22-23高一下·上海虹口·期中）若所在平面内一点P满足，则P是的（    ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示 【分析】设中点为D，根据向量等式结合向量的线性运算可推出点共线。，结合三角形重心性质，可得答案. 【详解】设中点为D，    由可得， 即点共线，且，则P为的重心. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论 【分析】在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F，则由共线定理得，，然后逐个验证即可. 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. 3．在中，G为重心，E，F，D分别是AB、BC、AC边的中点，则 ． 【答案】. 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】先根据中点关系化简原式，然后根据重心的特点进行向量运算，由此求解出结果. 【详解】因为， 又因为为重心，所以， 所以， 故答案为：. 4．如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算，以及AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，，可得到，化简整理即可求出结果. 【详解】因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P， 所以 ， 所以，即， 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【详解】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 6．点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）最大值和最小值分别为和． 【知识点】向量的模、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示； （2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，取等号时三点共线且在中间， 又，取等号时三点共线且在中间， 综上可知，的最大值为，最小值为. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点O为内一点，，求. 【答案】. 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】取的中点D，的中点E，由向量关系可得为的中位线，再利用三角形面积关系求出面积比. 【详解】如图，取的中点D，的中点E，连接，    由，得， 而与有公共点，于是D、O、E三点共线，因此为的中位线， 由，，， 得， 所以. 一、单选题 1．在平行四边形中，若，则必有（    ） A． B．或 C．四边形是矩形 D．四边形是正方形 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的加减运算、模长判断出平行四边形的对角线的长度关系，由此进行判断. 【详解】因为，所以， 所以平行四边形的对角线长度相等，所以四边形为矩形， 故选：C. 二、填空题 2．已知正六边形，若，，则用，表示为 ． 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量加法的三角形法则，即可求解 【详解】如图，， 故答案为： 3.为平行四边形，已知，M是的中点，则 （用表示） 【答案】 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、向量减法的法则 【分析】根据向量的平行四边形法则，得到，，进而利用为中点，得到，然后代入即可求解 【详解】 如图， 因为为平行四边形，所以，，，所以，，； 又因为为中点，所以，，得， ； 所以， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课后作业）一架飞机向南飞行千米，然后向西飞行千米，则飞机飞行的路程及两次位移的和分别为 . 【答案】路程为180千米，位移的和为“西南方向，千米” 【知识点】速度、位移的合成 【分析】根据题意画出示意图，再由向量的加减运算，即可得出结论． 【详解】如图，飞机从点向南飞行到达点，然后向西飞行到达点， 则，， 所以飞机飞行的路程为：， 由勾股定理得，飞机飞行的位移为：，方向为西南. 故答案为：路程，位移的和为“西南方向，”. 三、解答题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）对于非零实数a、b，有这样的结论：当时，成立；当时，成立.那么对于非零向量、，向量的模与、有类似的结论吗？请说明理由. 【答案】答案见解析 【知识点】向量的模、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】结合图形，当、不共线时，由三角形中两边之和大于第三边，两边之和小于第三边，可得；当、同向、当、反向时可得和. 【详解】当、不共线时有， 理由如下， 如图，设，以为邻边作一个平行四边形， 则， 在中，，， ，， 所以； 当、同向时有， 如上左图，设，， 因为，所以； 当、反向有， 如上右图，设，， 因为，所以. 6．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    7．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、向量新定义 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【详解】（1）因为，所以的互生向量. （2）由题意可得，所以， 令，解得， 因为，所以， 所以函数在上的严格增区间为. （3）由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$