专题04 正方形的性质与判定【知识串讲+十大考点】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题04 正方形的性质与判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）正方形的性质 正方形的性质： 因为ABCD是正方形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等，对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA ∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC=BD AC⊥BD （二）正方体的判定 正方形的判定： 四边形ABCD是正方形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵AD=AB ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (2) ∵四边形ABCD是菱形 又∵∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (3)∵四边形ABCD是矩形 又∵AD=AB ∴四边形ABCD是正方形 模块三 考点一遍过 考点1：正方形的性质——求角度 典例1：如图，延长正方形边至点，使，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接，并延长至点，使，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【变式2】如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【变式3】如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是 ． 考点2：正方形的性质——求线段 典例2：如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【变式1】如图，在正方形中，为边上的点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【变式3】如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，连接．若，则的面积为 ． 考点3：正方形的性质——求面积 典例3：如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．48 B．76 C．78 D．84 【变式2】如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 【变式3】如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 考点4：正方形的性质——证明题 典例4：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求点到的距离． 【变式1】如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 【变式2】如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为． (1)求证：； (2)若正方形的边长是，，点是的中点，求的长． 【变式3】如图1，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于． (1)证明：； (2)求的度数； (3)如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 考点5：正方形的性质——折叠问题 典例5：如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 【变式1】如下图，在正方形中，，点E在边上，．将沿所在直线折叠，得到，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【变式2】如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分． (1)证明：； (2)求线段的长． 【变式3】在正方形中，E 是边上一点(点 E 不与点 B 重合)，将 沿折叠，得到再将绕点C旋转得到，直线 与直线相交于点M． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线与相交于点N，直线与相交于点P，点G 在上，若 求的长； (3)若直线与相交于点N，点 N 在直线上，当时，请画出图形并求出的长． 考点6：正方形的性质——坐标问题 典例6：如图，正方形在平面直角坐标系中，其对角线，交于点B，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 【变式3】如图，正方形的边分别在轴，轴上，点M，N分别在上，是等边三角形，连接，交于点．若，则点的坐标为 ． 考点7：正方形的判定——证明题 典例7：如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； (3)连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 【变式1】如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【变式2】如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式3】如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 考点8：正方形的判定与性质综合 典例8：如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【变式1】如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②，连接，若，，求的长． 【变式2】如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【变式3】（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：； （2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 考点9：正方形中的动点最值问题 典例9：如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【变式3】在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ． 考点10：中点四边形——证明 典例10：如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【变式1】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【变式2】阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【变式3】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务， 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点、、，分别是边、，，的中点，顺次连接，、、，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon， Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点、，过点作于点，交于点 ∵、分别为，的中点，∴，．（依据1） ∴，∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形， ∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形，（依据2）． ∴， ∵，∴．同理，…    任务： (1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________． (2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，满足下列要求： ①四边形及它的瓦里尼翁平行四边形的顶点都在小正方形网格的格点的上；    ②四边形是矩形，不是正方形． (3)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线、长度的关系，并证明你的结论．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 正方形的性质与判定 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）正方形的性质 正方形的性质： 因为ABCD是正方形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等，对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA ∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC=BD AC⊥BD （二）正方体的判定 正方形的判定： 四边形ABCD是正方形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵AD=AB ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (2) ∵四边形ABCD是菱形 又∵∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (3)∵四边形ABCD是矩形 又∵AD=AB ∴四边形ABCD是正方形 模块三 考点一遍过 考点1：正方形的性质——求角度 典例1：如图，延长正方形边至点，使，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1】在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接，并延长至点，使，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查正方形性质，旋转的旋转，等腰三角形性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质和等腰三角形性质表示出，结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数，进而根据，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式2】如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 【详解】解：正五边形中， ，， 正方形中， ，， ，， ， ， 故答案为：81． 【变式3】如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是 ． 【答案】/60度 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】首先证明出，得到，然后根据正方形的性质和等边三角形的性质得到，，，，求出，，然后根据三角形内角和定理和等边对等角得到，进而利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：四边形是正方形． ，． 又∵ ． 四边形是正方形 ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质、三角形全等的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 考点2：正方形的性质——求线段 典例2：如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 延长至H，使，证，，设正方形边长为a，根据全等三角形的性质及勾股定理即可求得正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：延长至H，使，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∵，， ∴，， 在中， ， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】如图，在正方形中，为边上的点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，，即得结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ 由旋转可得，， ∴ ∴ 故选B． 【变式2】如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题重点考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接、、，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，点P在上，得，由，得 ，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正方形的边长为4，E为边中点 ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3】如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，连接，交于点O，由正方形的性质得到，利用勾股定理求出，进而求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为： 故答案为：． 考点3：正方形的性质——求面积 典例3：如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求面积、以弦图为背景的计算题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键．根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：如图，， ， ， 又 ， ， ，， ，， 同理可得：， ， 故选：C． 【变式1】如图，E是正方形内一点，于E，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．48 B．76 C．78 D．84 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理的应用、三角形及正方形的面积公式等知识与方法，先由，，，根据勾股定理求得，再分别求出正方形的面积和的面积，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 阴影部分的面积是76， 故选：B． 【变式2】如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．延长，过点作直线的垂线，垂足为，证明，推出，求得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长，过点作直线的垂线，垂足为， 四边形是正方形， ，， ， ，， ∴，， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：12． 【变式3】如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定；由四边形是正方形，四边形是正方形，可证明，即得，而，可知，故． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点4：正方形的性质——证明题 典例4：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）利用证明即可； （2）过点A作于点G，用勾股定理求出，，证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 而F是的延长线上的点， ∴， 在和中 ∴； （2）解：过点A作于点G，如图所示： ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质和全等三角形的证明方法是解题的关键． 【变式1】如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明 【分析】（）根据正方形的性质，利用“”证明即可； （）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论； （）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图，连接， ，，， ， ， ∵， ， 点是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键． 【变式2】如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为． (1)求证：； (2)若正方形的边长是，，点是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合可得即可得证； （2）由题意知即可求出，则，根据勾股定理即可求出，由是中点可得即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∴， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 是中点，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判断和性质是解题的关键． 【变式3】如图1，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于． (1)证明：； (2)求的度数； (3)如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． （1）欲证明，只要证明即可； （2）利用“8字型”证明角相等即可解决问题； （3）首先证明推出，，再证明是等边三角形，可得，即可解决问题； 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， （对顶角相等）， ， 即； （3）解：，理由如下： 在菱形中，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， （对顶角相等）， ， 即， 是等边三角形， ， ． 考点5：正方形的性质——折叠问题 典例5：如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 【答案】(1)16 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理： （1）根据正方形的性质可得，据此可解； （2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：正方形中，，， ， ； （2）解： 由（1）知， 点Q为的中点， ， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为6． 【变式1】如下图，在正方形中，，点E在边上，．将沿所在直线折叠，得到，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】用HL证全等（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形与折叠，全等三角形的判定，勾股定理等知识．熟练掌握正方形与折叠，全等三角形的判定，勾股定理是解题的关键． （1）由正方形，折叠可知，，则，进而可证． （2）由题意知，．设，则．由勾股定理，得，即，计算求解，然后作答即可； （3）由（2）可知，，，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由正方形，折叠可知，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 设，则． 由勾股定理，得，即， 解得，， ∴． （3）解：由（2）可知，，， ∴，即， 解得，． 【变式2】如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分． (1)证明：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． （1）利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出即可； （2）结合（1）设，则，，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵将沿对折至， ∴，，， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴． （2）由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， ∴在中，，即：， 解得， ∴． 【变式3】在正方形中，E 是边上一点(点 E 不与点 B 重合)，将 沿折叠，得到再将绕点C旋转得到，直线 与直线相交于点M． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线与相交于点N，直线与相交于点P，点G 在上，若 求的长； (3)若直线与相交于点N，点 N 在直线上，当时，请画出图形并求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、根据正方形的性质证明 【分析】（1）连接，由四边形是正方形，得，将沿折叠，得到，再将绕点C旋转得到，得到，，，进而可证，即可得证． （2）由（1）知，，根据条件证出，得到，，再根据勾股定理，即可求解． （3）设，则，由折叠的性质，得，，，根据勾股定理可得，分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）22. 解：（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 将沿折叠，得到，再将绕点C旋转得到， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由（1）知，， ， ，， 四边形是正方形， ， ， 又， 又， ， 又， ， ， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， ， ， 解得：， ， ． （3）四边形是正方形， ， 设，则， 由折叠的性质，得， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 解得：． 当时，如下图， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， 得， 由旋转的性质，得， ． 当时，如图3， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， 得， ， 综上所述，的长为． 【点睛】本题主要考查有关折叠以及全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的应用等知识点，掌握有关折叠以及全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键． 考点6：正方形的性质——坐标问题 典例6：如图，正方形在平面直角坐标系中，其对角线，交于点B，，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，坐标与图形，根据正方形的性质可得，，根据勾股定理即可求得的长，从而得出点C的坐标． 【详解】解：四边形是正方形， 对角线，互相垂直平分， ，， ， 点C的坐标为， 故选：D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定及性质、正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 如图，过点A作轴，交于点N，过点C作轴，交y轴于点M，根据垂线的定义得出，再根据余角的定义得出，然后根据正方形的性质及等量代换得出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，最后根据点A的坐标即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作轴，交于点N，过点C作轴，交y轴于点M 四边形为正方形 ， 在和中 ， 点A的坐标为， ， 点的坐标为 故选C． 【变式2】已知边长为的正方形在直角坐标系中，与轴的夹角为，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、含30度直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键；作轴于，作轴于，作于，根据含30度直角三角形性质及勾股定理求解即可； 【详解】解：作轴于，作轴于，作于，如图， 与轴的夹角为， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ， ， 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，正方形的边分别在轴，轴上，点M，N分别在上，是等边三角形，连接，交于点．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长 【分析】过点作于，利用正方形性质和等边三角形性质可证得，得出，推出，利用等腰直角三角形性质和等边三角形性质即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作于，   四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 是等边三角形，， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，知识点较多，综合性强，是常考题型，熟练掌握相关性质是解题关键． 考点7：正方形的判定——证明题 典例7：如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； (3)连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 (3) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证； （3）由直角三角形的性质可得，由（1）可得：四边形是菱形，得出，，进而得出，由相似三角形的性质可得，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； （3）解：∵在中，，是边上的中线， ∴， 由（1）可得：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式1】如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质． （1）由“”可证，由全等，可得； （2）先根据（1）的结论得到四边形是平行四边形，然后等腰直角三角形的性质得到，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴； （2）∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵为等腰直角三角形，，为中线， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 【变式2】如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【知识点】证明四边形是正方形、斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）证明，则，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，进而结论得证； （2）先证四边形是平行四边形，然后根据，，证明四边形是正方形即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 是的中点， ， 在和中， ∵， ∴， ， 在中，，是中线， ， ； （2）解：四边形是正方形．证明如下： ，， 四边形是平行四边形， ，是中线， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形、正方形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式3】如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质、勾股定理、三角形全等的判断和性质等知识点，是正确做出辅助线、构成全等三角形是解题的关键． （1）如图：过点E作于点Q，作于点P，证明得到，可说明为菱形，根据，即可证明结论； （2）根据正方形性质得出，，，根据勾股定理求出，再证明可得、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图：过点E作于点Q，作于点P，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）解：如图：连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴． 考点8：正方形的判定与性质综合 典例8：如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【变式1】如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、化为最简二次根式 【分析】（1）可证明得到，再由直角三角形的性质证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是正方形，得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，则． 【详解】（1）证明：为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴， 由（1）可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的判定定理是解题的关键． 【变式2】如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、证明四边形是菱形、利用平行四边形的性质证明、等边三角形的性质 【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明即可； （2）根据条件证明菱形是正方形，即可求出． 本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴四边形是菱形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴菱形是正方形， ∴四边形的面积． 【变式3】（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：； （2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形的面积为27 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据正方形的性质得出，，证明即可得证； （2）过点作交的延长线于点，由全等三角形的性质可得，，，再证明得出，即可得证； （3）过点作于点，交延长线于，证明四边形是正方形，设正方形的边长为，根据勾股定理计算得出，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：如解图①，过点作交的延长线于点， 由（1）可知： ∴，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如解图②，过点作于点，交延长线于， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 由（2）可得：， 设正方形的边长为， ， ，，， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 四边形的面积为． 考点9：正方形中的动点最值问题 典例9：如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】四边形中的线段最值问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，      四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 【变式1】如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】四边形中的线段最值问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接与相交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O是菱形的中心， 连接，取中点M，连接，，则，为定长， ∵菱形的边长为8，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵M是的中点， ∴， 在Rt中，， 在Rt中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，最小为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值． 【变式2】如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、四边形中的线段最值问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式3】在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】四边形中的线段最值问题、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形与折叠、勾股定理、线段最值问题，由题意得，点A、点P关于对称，可得当点B、P、F三点共线时，的最小，此时，点P在对角线上，利用勾股定理求得，由折叠的性质得，，再利用求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，， 则当，即点B、P、F三点共线时，的最小， 此时，点P在对角线上， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 考点10：中点四边形——证明 典例10：如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、添一个条件使四边形是正方形、中点四边形 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 【变式1】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【答案】见解析；（1）①四边形的周长为；（2） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明、中点四边形 【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案； （2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】证明：如图①， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，   ，， ， ， ． （1）如图②， 、、、分别是、、、的中点， ，，   ， ， 四边形的周长为16； （2）：如图③， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，   ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 【变式2】阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由； 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： （2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）且 【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）结论：四边形还是平行四边形．连接．根据中位线定理证明，即可； （2）利用（1）的结论，可知需要满足而且，由此可知当与满足且即可． 【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形． 理由：如图2，连接． 、分别是、中点 ，， 同理：，， ，， 四边形是平行四边形． （2）结论：当且时，四边形是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形 、是、中点 同理： 平行四边形是菱形． ，， ， ， ， ， 四边形是正方形． 【变式3】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务， 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点、、，分别是边、，，的中点，顺次连接，、、，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon， Pierte 1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点、，过点作于点，交于点 ∵、分别为，的中点，∴，．（依据1） ∴，∵，∴． ∵四边形是瓦里尼翁平行四边形， ∴，即． ∵，即， ∴四边形是平行四边形，（依据2）． ∴， ∵，∴．同理，…    任务： (1)填空：材料中的依据1是指：________．依据2是指：________． (2)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，满足下列要求： ①四边形及它的瓦里尼翁平行四边形的顶点都在小正方形网格的格点的上；    ②四边形是矩形，不是正方形． (3)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线、长度的关系，并证明你的结论．    【答案】(1)三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)见解析； (3)行四边形的周长等于． 【知识点】中点四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解； （2）先画格点矩形，再找出格点A、B、C、D点，使点，，，分别是恰好边，，，的中点，顺次连接即可得到所求； （3）由三角形中位线定理可得，，，，即可求解． 【详解】（1）解：（1）证明：如图2，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点． ，分别为，的中点， ，，（三角形中位线定理）， ， ， ， 四边形是瓦里尼翁平行四边形， ，即． ，即， 四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ， ， ， 同理可得，， ， 故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）如图，四边形及它的瓦里尼翁平行四边形为所求：    （3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于，理由如下： 四边形是瓦里尼翁平行四边形， 点，，，分别是边，，，的中点， ，，，， 瓦里尼翁平行四边形的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$