专题01 相交线与平行线（11题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（江西专用）

专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01对顶角及邻补角 题型02垂线、垂线段及点到直线的距离 题型03同位角、内错角、同旁内角的判断 题型04平行公理的应用 题型05平行线的判定 题型06根据平行线的性质求角的度数 题型07根据平行线判定与性质求角度 题型08根据平行线判定与性质证明 题型09判断命题真假及命题的题设与结论 题型10平移及平移性质 题型11平移作图 对顶角及邻补角题型01 1．（22-23七年级下·江西上饶·期中）下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A.有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； B.有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； C.有公共顶点，且满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与是对顶角，符合题意； D.没有公共顶点，且不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 2．（22-23七年级下·江西吉安·期中）下列图形中与是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此判断即可． 【详解】解：∵其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线， ∴选项A不正确； ∵其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线， ∴选项B不正确； ∵两个角没有公共顶点， ∴选项C不正确； ∵两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， ∴选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解题的关键是熟练的掌握对顶角的定义． 3．（21-22七年级下·江西吉安·期中）如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（    ） A．6对，2对 B．4对，2对 C．8对，4对 D．4对，4对 【答案】A 【分析】根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解． 【详解】解：∵两条直线与相交于点O，是射线， ∴对顶角有：与，与，共2对， 邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对 故选:A 【点睛】本题考查了邻补角与对顶角的定义，掌握定义是解题的关键． 4．（22-23七年级下·江西赣州·期中）如图，直线与相交于点，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】由对顶角相等列出方程求得，然后根据邻补角的性质求得即可． 【详解】解：由对顶角相等可知：∠AOC=∠BOD， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是对顶角和邻补角的性质，掌握对顶角和邻补角的性质是解题的关键． 5．（21-22七年级下·江西九江·期中）如图，过直线AB上一点O作射线，，平分，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】先根据，求出，再根据平分，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，邻补角的计算，解题的关键是根据邻补角求出． 6．（21-22七年级下·江西景德镇·期中）如图所示，AB，CD相交于点O，OC平分∠AOE，且，则∠AOE的度数为 ． 【答案】74°/74度 【分析】首先根据对顶角的定义求得∠BOD的度数，根据OC平分∠AOE，求得∠AOE的度数． 【详解】解： ∵∠AOC=∠BOD，， ∴∠AOC=37°， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOE=2∠AOC=74°． 故答案是：74°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及对顶角的性质，正确理解对顶角的性质是关键． 7．（23-24七年级下·江西九江·期中）如图，直线，，相交于点O．若，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了邻补角，几何图形中角的和差计算， 首先根据邻补角求出，然后利用角的和差求解即可． 【详解】解：因为， 所以． 又因为， 所以． 8．（21-22七年级下·江西新余·期中）如图所示，直线，相交于点，射线平分，． (1)求的大小； (2)求，，的大小． 【答案】(1) (2)；； 【分析】（1）根据角平分线的定义，即可求解； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质与邻补角的定义，即可求解 【详解】（1）解：∵射线平分， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，对顶角的性质与邻补角的定义，掌握对顶角相等，补角的定义，是解题的关键． 9．（22-23七年级下·江西抚州·期中）如图，直线、相交于点O，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数是 (2)的度数是 【分析】(1)由对顶角的性质可知，再由平分可，即可得出结果； (2)由(1)可知，由，可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）由(1)可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了对顶角、角平分线的定义，掌握对顶角相等是解此题的关键． 10．（22-23七年级下·江西上饶·期中）如图，两条直线、相交于一点，已知，求，，的度数．    【答案】，， 【分析】根据对顶角相等可得，，根据邻补角的定义可得，即可求出，，的度数． 【详解】解∵两条直线、相交于一点，， ，，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等，利用邻补角互补求角度，熟练掌握对顶角的定义，互为邻补角的两个角的和等于，是解题的关键． 垂线、垂线段及点到直线的距离题型02 1．（22-23七年级下·江西上饶·期中）如图，直线，相交于点，射线平分，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义可得，从而可得，最后根据补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，补角的定义，熟练掌握垂线的定义，补角的定义是解题的关键． 2．（18-19七年级下·江西南昌·期中）如图，因为直线于点，于点，所以直线和重合，则其中蕴含的数学原理是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短 C．过一点只能作一条垂线 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】根据垂线的性质即可判断． 【详解】解：因为直线于点，于点， 所以直线和重合（在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）， 故选：A． 【点睛】此题考查的是垂线的性质，掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解决此题的关键． 3．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，小明在运动会上进行一次跳远比赛，测得AD=4.7m，BD=4.5m，则小明的跳远成绩应该是 m．    【答案】4.5 【分析】点到直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离． 【详解】解：由点到直线的距离的定义可知：的长度表示点D到直线的距离 故答案为： 【点睛】本题考查点到直线的距离的定义．掌握相关结论是解题关键． 4．（18-19七年级下·江西宜春·期中）如图，表示点到直线的距离是线段 . 【答案】 【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案． 【详解】解：由图示，得PB⊥直线 ∴线段PB的长度是点P到直线的距离， 故答案为PB． 【点睛】本题考查点到直线的距离，利用点到直线的距离定义是解题关键． 5．（21-22七年级下·江西上饶·期中）如图，，，是垂足，，那么的度数为 ； 【答案】60°/60度 【分析】根据垂线的定义，可得、的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线，关键是能利用了垂线的定义，求出各个角的度数． 6．（23-24七年级下·江西吉安·期中）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中作直角ABC，使点C在格点上； (2)在图2中的线段上作点Q，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是复杂作图，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键． （1）取格点C，使，再画三角形即可； （2）取格点、M，连接，交于点Q，根据垂线段最短，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） （2）解：如图，即为所求作的点； 7．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，三条直线，，相交于点，且，平分．如果，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，垂直的定义，角的和差等知识，数形结合是解答本题的关键．由对顶角的性质求解 再利用角平分线的定义可得：，从而可得答案； 【详解】解：∵， ∴． ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴的度数为 同位角、内错角、同旁内角的判断题型03 1．（23-24七年级下·江西九江·期中）下图中，和是同位角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同位角的定义，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．根据定义，逐一判断． 【详解】解：A、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； B、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； C、和的两边都不在同一条直线上，不是同位角； D、和有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角． 故选：D． 2．（21-22七年级下·江西南昌·期中）如图，若直线a，b被直线c所截，则的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角的定义进行判断即可． 【详解】直线a，b被直线c所截，则的同位角是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同位角的定义，即两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（20-21七年级下·江西景德镇·期中）如图，直线a，b被直线c所截，∠α同位角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【答案】B 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．据此解答即可． 【详解】解：直线a，b被直线c所截成的角中，∠2与∠α在两直线的同侧，并且在截线的同旁，所以∠α的同位角是∠2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同位角的识别，解题的关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 4．（19-20七年级·江西南昌·期中）如图，直线被直线c所截，则下列说法中不正确的是（    ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可． 【详解】解：A、∠3与∠2是邻补角，故原题说法正确； B、∠1与∠3是对顶角，故原题说法正确； C、∠1与∠4不是内错角，故原题说法错误； D、∠2与∠4是同位角，故原题说法正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形． 5．（17-18七年级下·江西吉安·期中）如图所示，∠1和∠2不是内错角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据内错角定义判断即可. 【详解】A:是内错角，不符合题意； B：是内错角，不符合题意； C：不是内错角，符合题意； D：是内错角，不符合题意； 故选：C. 【点睛】此题考查内错角的定义，根据定义即可正确解答. 平行公理的应用题型04 1．（22-23七年级下·江西南昌·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据平行公理、点到直线的距离的定义等即可逐一进行判断． 【详解】解；A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故A错误； B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”，故B正确； C、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．注意点与直线的位置关系是：点在直线外．故C错误； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．故D错误． 故选：B 【点睛】本题考查了平行公理、点到直线的距离的定义等知识点．掌握相关结论是解题的关键． 2．（22-23七年级下·江西赣州·期中）下列命题中，真命题的个数有（　　） ①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③内错角相等． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】垂直的性质判断①，平行公理判断②，平行线的性质判断③，点到直线的距离的定义判断④，即可得出结论． 【详解】解：①同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①为假命题； ②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②为真命题； ③两直线平行，内错角相等，故③为假命题； ④从直线外一点到这条直线的垂线段的长，叫做点到直线的距离．故④为假命题； 综上，真命题的个数为1， 故选：B． 【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握垂直的性质，平行公理，平行线的性质，点到直线的距离，是解题的关键． 3．（21-22七年级下·江西抚州·期中）下列说法正确的是（    ） A．同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行 D．一条直线有可能同时与两条相交的直线平行 【答案】C 【分析】根据平行公理、平行线的定义以及过点作已知直线的垂线的知识来逐项分析即可得解． 【详解】A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故A项错误； B．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B项错误； C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行，说法正确，故C项正确； D．一条直线不可能同时与两条相交的直线平行，故D项错误； 故选：C． 【点睛】考查了平行线以及过点作已知直线的垂线问题，本题是对基础知识的考查，熟记公理或定义、性质是解答本题的关键． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期中）下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②不带根号的数一定是有理数；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④内错角相等．真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，熟练掌握有理数和无理数、平行公理、内错角等知识是解题关键．根据平行公理、有理数和无理数、内错角的定义和性质分析判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题； ②不带根号的数不一定是有理数，如，故原命题是假命题； ③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题是假命题； ④两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题． 所以，真命题的个数是1个． 故选：A． 5．（18-19七年级下·江西鹰潭·期中）下列说法中正确的个数有（    ） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一直线的两条直线互相平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据线段的性质公理、平行线的基本性质、点到直线的距离的定义依次判断即可． 【详解】解：两点之间的所有连线中，线段最短，①正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②错误； 平行于同一直线的两条直线互相平行，③正确； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，④错误； 正确的个数有2个， 故答案为：C． 【点睛】本题考查线段的性质公理、平行线的基本性质、点到直线的距离的定义．线段的性质公理：两点之间的所有连线中，线段最短．平行线的基本性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行．点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 平行线的判定题型05 1．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握判定平行线的条件：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． 【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行，可判断，不符合题意； B、，根据内错角相等，两直线平行，可判断，符合题意； C、，根据同位角相等，两直线平行，可判断，不符合题意； D、不能判断平行，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行， ∵， ∴， 故选：B． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期中）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，故，故符合题意； B．∵，故，故符合题意； C．∵，故，故不符合题意； D．∵，故，故符合题意； 故选：C． 4．（22-23七年级下·江西抚州·期中）如图，下列条件中，一定能判断的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由不能判定， 故A不符合题意； 由不能判定， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C符合题意； ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 5．（22-23七年级下·江西吉安·期中）如图，点E，F分别在线段和上，下列条件能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得． 【详解】解：A、能判定，不能判定，则此项不符合题意； B、能判定，则此项符合题意； C、不能判定，则此项不符合题意； D、能判定，不能判定，则此项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 6．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，点B，A，D在同一条直线上，平分，下列不能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理直接判断A，B，结合外角的性质，角平分线的定义判断C，从而可得结论． 【详解】解：∵平分， ∴， A、∵，∴，故不合题意； B、∵，∴，故不合题意； C、∵，∴，∴，故不合题意； D、由无法得出相应结论，使得，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 7．（21-22七年级下·江西抚州·期中）如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定的条件有（    ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤由，不能判定 综上，一定能判定的条件有①③④ 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据平行线的性质求角的度数题型06 1．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）某数学兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又，， ∴，， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江西萍乡·期中）如图，直线，平分，，则 ． 【答案】/56度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，然后再根据平行线的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，是等腰直角三角形，直线，若，则的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查的是角的和差运算，平行线的性质，先证明，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·江西九江·期中）如图，一束光线从点C出发，经过平面镜反射后，反射光线，此时．若测得，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．由平行线的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（22-23七年级下·江西抚州·期中）已知，点在的边上，，且的一边与平行，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】需要分三种情况讨论：；，且位于上方；，且位于下方，根据平行线的性质分别求解即可． 【详解】①如图所示，．    ∵， ∴． ②如图所示，，且位于上方．    ∵， ∴． ∴． ③如图所示，，且位于下方．    ∵， ∴． ∴． 综上所述，或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 6．（22-23七年级下·江西南昌·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，＝，＝，点是边上的固定点 （＜），请在上找－点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为 度 【答案】或或 【分析】分时和时，利用折叠性质和平行线的性质以及三角形的内角和求解即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ， 当时，如图，则， ； 当时，如图，则， 由折叠性质得：， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查折叠性质、平行线性质，熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键． 7．（21-22七年级下·江西上饶·期中）如图，的一边OA为平面镜，，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，此时，则的度数是 ． 【答案】/76度 【分析】由DC∥OB可知，∠ADC=∠AOB=38°，又，则∠ODE=38°，进而求得∠CDE=104°，再根据平行线的性质，求出∠DEB的度数． 【详解】解：∵DC∥OB， ∴∠ADC=∠AOB=38°， 又， ∴∠ODE=38°， ∴∠CDE=104°， ∵DC∥OB， ∴∠CDE+∠DEB=180°， ∴∠DEB=76°． 故答案为：76°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，准确找到角的和差关系是解决问题的关键． 8．（21-22七年级下·江西景德镇·期中）如图，已知，，，如果，则 ． 【答案】/115度 【分析】由平行线的性质可判断，与互补，，则可求得结果． 【详解】解：， ，， 又， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟记：两直线平行，同旁内角互补、内错角相等． 根据平行线判定与性质求角度题型07 1．（23-24七年级下·江西新余·期中）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ， （    ）（平行于同一条直线的两条直线平行） （______）（______）， ， （    ）， （辅助线作法）， ∴（______）， ， （    ）． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；90；；270 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， （平行于同一条直线的两条直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （辅助线作法）， ∴， ． 故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；90；；270． 2．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点. (1)写出的度数_________； (2)试求的度数（用含的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴,， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）解：过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，已知，，，求的度数．    阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：（已知）， （_____）； ，（已知）， ________（等式的性质）， （_____）， （_____）， ________（两直线平行，同位角相等）， ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程求解即可． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，内错角相等）； ，（已知）， （等式的性质）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期中）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的判定与性质求角度、利用邻补角求角度，先利用邻补角求出，得出，推出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ． 5．（21-22七年级下·江西鹰潭·期中）如图，已知直线，被直线所截平分，，求的度数．    解：因为（已知）， 所以　　． 所以　　． 因为（邻补角的定义）， 所以　　． 因为平分（已知）， 所以　　　　， 所以　　， 所以． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定及性质求角的过程，一步步把求解的过程补充完整即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为， 所以， 因为平分， 所以（角平分线的性质）， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及邻补角，解题的关键是把解题的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉利用平行线的性质解决问题的过程． 6．（22-23七年级下·江西赣州·期中）填空或填括号： 如图，已知，，，将求的过程填写完整．    因为，所以 ； 又因为，所以   ； 所以 （依据 ）； 所以 ； 因为，所以 ． 【答案】；；；内错角相等，两直线平行；； 【分析】根据平行线的性质和已知求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：因为，所以； 又因为，所以； 所以（内错角相等，两直线平行）； 所以； 因为，所以． 故答案为：；；；内错角相等，两直线平行；；． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据平行线判定与性质证明题型08 1．（21-22七年级下·江西景德镇·期中）如图，已知，． 求证：． 证明：∵ ( 已知  )， ∴ （ ） ∴（ ） 又∵（已知 ）， ∴ ( )   ∴（ ） ∴（ ） 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】先根据证明，利用平行线的性质，结合已知证明即可得证． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知 ）， ∴（等式的性质）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 2．（22-23七年级下·江西宜春·期中）如图，已知，．求证：．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据． 证明：∵（已知）， ∴ （ ）． 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定及性质，由平行线的性质得到，进而得出，从而判定，从而得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 3．（23-24七年级下·江西赣州·期中）完成下面推理过程： 已知：如图，，． 求证：． 证明：，，（已知） ． ．（__________） 又，（已知） ______．（__________） ．（__________） 【答案】；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】证明：，，（已知） ． ．（两直线平行，同位角相等） 又，（已知） ．（等量代换） ．（内错角相等，两直线平行） 4．（23-24七年级上·江西九江·期中）已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据，利用同位角相等，两直线平行，证明，根据两直线平行，同旁内角互补，证明，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（22-23七年级下·江西宜春·期中）如图，在中，平分交于点D，点E在的延长线上，点G在线段上，与相交于点F，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)点H在的延长线上，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）根据，，等量代换，结合平行线的判定即可得到结论； （2）根据平行线的判定与性质与角平分线的定义证明，结合即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵平分交于点D， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 6．（23-24七年级下·江西上饶·期中）如图，D，E，G分别是边上的点，． (1)求证：； (2)请说明的理由； (3)若平分，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等可证明； （2）根据平行线的性质得角相等，再等量代换可得，进而可得，再根据平行线的性质得角相等； （3）根据已知条件可得，可以证明，再由，即可得． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）， ， 又， ， ， ． （3）． 理由如下：平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ． 7．（23-24七年级下·江西上饶·期中）已知：点在线段，间（如图1）．连接，，． (1)求证：； (2)如图2，点在点右侧，连接、，求证：； (3)如图2，若平分，平分，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质并正确作出辅助线． （1）过点作，可得，再由，可得，即可求证； （2）过点作，可得，从而得到，，即可求证； （3）过点作，设，，根据角平分线的定义可得，，由得到，推出，根据可得，根据四边形的内角和求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ，， ， 即； （3）如图，过点作， 设，， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ． 判断命题真假及命题的题设与结论题型09 1．（22-23七年级下·江西宜春·期中）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．内错角相等 B．在同一平面内，垂直与同一条直线的两条直线平行 C．同位角互补，两直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】本题考查真假命题判断、垂线的性质、平行线的性质及判定，熟练掌握垂线的性质、平行线的性质及判定等相关知识并进行判断选择即可． 【详解】解：A、内错角相等，是假命题，不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； C、同位角互补，两直线平行，是假命题，不符合题意； D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，不符合题意， 故选：B． 2．（23-24七年级下·江西宜春·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．同旁内角互补 C．如果两个角的和为，那么这两个角是邻补角 D．两点之间，直线最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判断，邻补角的定义，两点之间，线段最短等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题； C、如果两个角的和为，那么这两个角是补角，不一定是邻补角，原命题是假命题，不符合题； D、两点之间，线段最短，原命题是假命题，不符合题； 故选：A． 3．（22-23七年级下·江西赣州·期中）下面的语句是假命题的是（     ） A．直角的补角是直角 B．钝角的补角是锐角 C．垂线段最短 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的真假性，判断一件事情的句子叫做命题，判断正确的叫做真命题，判断错误的叫做假命题. 【详解】解：A、直角的补角是直角是真命题； B、钝角的补角是锐角是真命题； C、垂线段最短是真命题； D、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题. 故选：D. 【点睛】本题考查了命题与证明-真命题、假命题，熟练掌握命题的真假性是本题解题的关键. 4．（22-23七年级下·江西南昌·期中）下列命题中，其中真命题的个数是（    ） ①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应； ②内错角相等； ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ④直线外一点到直线的距离是垂线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行公理、平行线的性质、平面直角坐标系内的点、点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】解：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是真命题； 两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题； 直线外一点到直线的距离是垂线段的长度，原命题是假命题； 综上：正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5．（17-18七年级下·江西宜春·期中）下列命题中：①若|a|=|b|，则a=b；②两直线平行，同位角相等：③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行,是真命题的是 (填写所有真命题的序号) 【答案】②③④ 【详解】分析：利用绝对值的性质、平行线的判定与性质、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项． 详解：①若，则，故①错误；       ②两直线平行，同位角相等，正确； ③对顶角相等，正确；      ④内错角相等，两直线平行，正确． 故答案为②③④． 点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握绝对值的性质、平行线的判定与性质、对顶角的性质等知识，属于基础题，难度不大． 6．（22-23七年级下·江西南昌·期中）把下列命题改写成“如果…，那么……”的形式：等角的余角相等 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 【分析】分别找到命题的题设和结论即可． 【详解】解：“等角的余角相等”的题设是：两个角相等；结论是：这两个角的余角相等． 故改写成“如果……，那么……”的形式应该为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 【点睛】本题考查将命题改写成“如果……，那么……”的形式．找到命题的题设和结论是解题关键． 7．（21-22七年级下·江西上饶·期中）把下列命题写成“如果那么”的形式：不能被整除的数是奇数： ． 【答案】如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数 【分析】先分清命题“不能被整除的数是奇数”的题设与结论，然后写成“如果那么”的形式． 【详解】解：不能被整除的数是奇数写成“如果那么”的形式为：如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数． 故答案为：如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数． 【点睛】本题考查了把命题写成“如果那么”的形式，正确的找到命题的题设和结论是解题的关键． 8．（20-21七年级下·江西赣州·期中）把命题“两个锐角的和是锐角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角的和也是锐角 【分析】根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案． 【详解】解：如果两个角都是锐角，那么这两个角的和也是锐角． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角的和也是锐角． 【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 平移及平移性质题型10 1．（22-23七年级下·江西宜春·期中）如图，通过平移左图可以得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，根据平移前后图形的方向，形状和大小完全相同，只有位置发生变化，即可解题． 【详解】解：根据平移性质可知： 为平移左图可以得到的图形， 故选：A． 2．（22-23七年级下·江西赣州·期中）下列选项图案中，可以由左边赣州经济技术开发区融媒体中心的标志平移得到的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答． 【详解】解：∵只有B的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选：B． 【点睛】本题考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期中）如图，将直角沿方向平移得到直角，其中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质可得，然后求出，再求出，然后根据梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵直角沿方向平移得到直角， ∴， ∵， ∴， 由平移可得： ． 故答案为：20． 4．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，是一块长方形的场地，长，宽．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ．    【答案】2000 【分析】本题要看图解答．从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为，这个长方形的宽为：， 因此，草坪的面积平方米． 故答案为：2000． 【点睛】此题主要考查了平移的性质的应用，有一定的思维含量，得出草坪正好拼成长方形是解题的关键． 5．（23-24七年级下·江西上饶·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平移的性质： （1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 6．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)写出与的位置关系：__________．与的数量关系：___________． (2)若，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)10 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移前后，连接各组对应点的线段平行且相等． （1）直接根据平移的性质可得解； （2）根据平移得到，根据，，得到，利用，求出，可得，即可得解． 【详解】（1）解：由平移可得：且． 故答案为：，； （2）由平移可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（22-23七年级下·江西赣州·期中）如图所示，将三角形向右平移到三角形的位置，若，指出A，B，C平移后的对应点，并求的长． 【答案】点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点E，点C平移后的对应点为点F， 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】∵将三角形向右平移到三角形的位置， ∴点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点E，点C平移后的对应点为点F， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 平移作图题型11 1．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上（网格线的交点）．现将三角形平移，点平移到格点的位置，点，平移后的对应点分别是，，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)画出平移后的三角形； (2)过格点作线段，使且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，关键明确平移的两个性质：①连接对应点的线段平行(或共线)且相等，②平移前后图形的形状、大小完全相同． （1）先找出点B，C的对应点E，F，再连线即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，线段即为所求． 2．（22-23七年级下·江西上饶·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，连接，．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中过点作直线． (2)如图2，在线段上找一点，连接，使直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由图可知点可以看成是点向上平移3个单位长度得到的，从而得出点平移后的点，连接，即为所作直线； （2）由图可知，点可以看成是点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，从而得出点平移后的点，连接，与的交点为，点即为所作． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作：   ， 由图可知点可以看成是点向上平移3个单位长度得到的， 将点向上平移3个单位长度得到点， 连接，则可以看成向上平移3个单位得到， 由平移的性质可得，即， 直线即为所求； （2）解：如图，点即为所作，     ， 由图可知，点可以看成是点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， 将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， 连接，与的交点为，则可以看成向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， 由平移的性质可得，即， 点即为所求． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 3．（21-22七年级下·江西南昌·期中）利用直尺画图 (1)利用图（1）中的网格，过 点画直线 的平行线和垂线． (2)把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段、、首尾顺次相接组成一个三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，垂线的作法，以及线段的平移，掌握网格结构的特点并熟练应用是解题的关键． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点以及垂直的格点作出图形即可； （2）根据网格结构的特点，过点E找出与位置相同的线段，过点找出与位置相同的线段，作出图形即可． 【详解】（1）解：作图如下： ，即为所求； （2）解：如图所示： 或都是所求作的三角形． 4．（21-22七年级下·江西赣州·期中）如图，在7×7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺在所给的网格中画图，保留画图过程的痕迹． (1)在如图1中找一格点C，画一条线段AB的平行线段CD； (2)在图2中找一格点E，画出三角形ABE，使得S△ABE＝4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质画出图形即可； （2）利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，线段CD即为所求； （2）如图，△ABE即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 5．（21-22七年级下·江西宜春·期末）如图，在方格纸中，的三个顶点和点、点都在格点上，平移，使它的顶点都落在格点上并满足下列条件． (1)使点、一点落在平移后的三角形内部，另一点落在平移后的三角形的边上，在图1中画出示意图； (2)使点、两点都落在平移后的三角形的边上，在图2中画出示意图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求利用平移变换的性质作出图形即可； （2）根据要求利用平移变换的性质作出图形即可； 【详解】（1）图形如下图所示（答案不唯一）； （2）图形如下图所示（答案不唯一）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型． 6．（20-21七年级下·江西赣州·期中）如图所示，正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，将向上平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到． （1）画出平移后的． （2）求的面积． （3）若，求的边上的高的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据平移方式，找到各顶点平移后的对应点，再依次连接即可； （2）利用割补法计算即可； （3）根据（2）中结果，结合AC=5，利用三角形面积公式计算． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所画； （2）△ABC的面积==； （3）∵AC=5，△ABC的面积为， ∴△ABC中AC边上的高为=． 【点睛】本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 1．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点. (1)写出的度数_________； (2)试求的度数（用含的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴,， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）解：过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为15秒或45秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 故答案为：15秒或45秒或60秒． 3．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过E作，根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再结合角的和差关系可得答案． （3）如图，分别过作，的垂线，由（1）可得：，，证明，，，，可得，可得，过作的平行线，而，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 4．（20-21七年级下·江西九江·期中）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中）    (1)将三角尺如图1所示叠放在一起． ①与大小关系是________； ②与的数量关系是________． (2)小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况． ①求当时，如图4所示，的大小； ②直接写出的其余所有可能值． 【答案】(1)①相等；② (2)①；②或或或 【分析】（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案； ②根据，，即可得到； （2）①过点O作则AB∥CD∥OE，即可得到30°，45°即可得到答案； ②分情况讨论：当时；当时，当时，当时，分别根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：①与大小关系是相等； ∵，， ∴， 故答案为：相等； ②与的数量关系是：； ∵，， ∴； （2）解：①过点O作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当时，如图，则；    当时，如图，则；    当时，如图，则， ∴；    当时，则， ∴；    ∴综上所述：的其余可能值为或或或． 【点睛】本题考查了同角的余角相等，角的和差计算，平行线的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质，正确分类讨论． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01对顶角及邻补角 题型02垂线、垂线段及点到直线的距离 题型03同位角、内错角、同旁内角的判断 题型04平行公理的应用 题型05平行线的判定 题型06根据平行线的性质求角的度数 题型07根据平行线判定与性质求角度 题型08根据平行线判定与性质证明 题型09判断命题真假及命题的题设与结论 题型10平移及平移性质 题型11平移作图 对顶角及邻补角题型01 1．（22-23七年级下·江西上饶·期中）下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（22-23七年级下·江西吉安·期中）下列图形中与是对顶角的是（    ） A．  B．  C．   D．   3．（21-22七年级下·江西吉安·期中）如图，两条直线与相交于点O，是射线，则图中共有邻补角和对顶角的数量分别为（    ） A．6对，2对 B．4对，2对 C．8对，4对 D．4对，4对 4．（22-23七年级下·江西赣州·期中）如图，直线与相交于点，则的度数是 ．    5．（21-22七年级下·江西九江·期中）如图，过直线AB上一点O作射线，，平分，则的度数为 ． 6．（21-22七年级下·江西景德镇·期中）如图所示，AB，CD相交于点O，OC平分∠AOE，且，则∠AOE的度数为 ． 7．（23-24七年级下·江西九江·期中）如图，直线，，相交于点O．若，，求的度数． 8．（21-22七年级下·江西新余·期中）如图所示，直线，相交于点，射线平分，． (1)求的大小； (2)求，，的大小． 9．（22-23七年级下·江西抚州·期中）如图，直线、相交于点O，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 10．（22-23七年级下·江西上饶·期中）如图，两条直线、相交于一点，已知，求，，的度数．    垂线、垂线段及点到直线的距离题型02 1．（22-23七年级下·江西上饶·期中）如图，直线，相交于点，射线平分，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（18-19七年级下·江西南昌·期中）如图，因为直线于点，于点，所以直线和重合，则其中蕴含的数学原理是（    ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．垂线段最短 C．过一点只能作一条垂线 D．两点确定一条直线 3．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，小明在运动会上进行一次跳远比赛，测得AD=4.7m，BD=4.5m，则小明的跳远成绩应该是 m．    4．（18-19七年级下·江西宜春·期中）如图，表示点到直线的距离是线段 . 5．（21-22七年级下·江西上饶·期中）如图，，，是垂足，，那么的度数为 ； 6．（23-24七年级下·江西吉安·期中）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． (1)在图1中作直角ABC，使点C在格点上； (2)在图2中的线段上作点Q，使最短． 7．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，三条直线，，相交于点，且，平分．如果，求的度数． 同位角、内错角、同旁内角的判断题型03 1．（23-24七年级下·江西九江·期中）下图中，和是同位角的是（    ） A．B． C． D． 2．（21-22七年级下·江西南昌·期中）如图，若直线a，b被直线c所截，则的同位角是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21七年级下·江西景德镇·期中）如图，直线a，b被直线c所截，∠α同位角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 4．（19-20七年级·江西南昌·期中）如图，直线被直线c所截，则下列说法中不正确的是（    ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 5．（17-18七年级下·江西吉安·期中）如图所示，∠1和∠2不是内错角的是（   ） A．B．C． D． 平行公理的应用题型04 1．（22-23七年级下·江西南昌·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 2．（22-23七年级下·江西赣州·期中）下列命题中，真命题的个数有（　　） ①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③内错角相等． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（21-22七年级下·江西抚州·期中）下列说法正确的是（    ） A．同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行 D．一条直线有可能同时与两条相交的直线平行 4．（23-24七年级下·江西赣州·期中）下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②不带根号的数一定是有理数；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④内错角相等．真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（18-19七年级下·江西鹰潭·期中）下列说法中正确的个数有（    ） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③平行于同一直线的两条直线互相平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 平行线的判定题型05 1．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，下列条件中，能判断的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 3．（23-24七年级下·江西赣州·期中）如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·江西抚州·期中）如图，下列条件中，一定能判断的是（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·江西吉安·期中）如图，点E，F分别在线段和上，下列条件能判定的是（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，点B，A，D在同一条直线上，平分，下列不能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 7．（21-22七年级下·江西抚州·期中）如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定的条件有（    ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 根据平行线的性质求角的度数题型06 1．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）某数学兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则 ． 2．（23-24七年级下·江西萍乡·期中）如图，直线，平分，，则 ． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，是等腰直角三角形，直线，若，则的度数是 ． 4．（23-24七年级下·江西九江·期中）如图，一束光线从点C出发，经过平面镜反射后，反射光线，此时．若测得，则的度数为 ． 5．（22-23七年级下·江西抚州·期中）已知，点在的边上，，且的一边与平行，则的度数为 ． 6．（22-23七年级下·江西南昌·期中）在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，＝，＝，点是边上的固定点 （＜），请在上找－点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为 度 7．（21-22七年级下·江西上饶·期中）如图，的一边OA为平面镜，，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，此时，则的度数是 ． 8．（21-22七年级下·江西景德镇·期中）如图，已知，，，如果，则 ． 根据平行线判定与性质求角度题型07 1．（23-24七年级下·江西新余·期中）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ， （    ）（平行于同一条直线的两条直线平行） （______）（______）， ， （    ）， （辅助线作法）， ∴（______）， ， （    ）． 2．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点. (1)写出的度数_________； (2)试求的度数（用含的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图，已知，，，求的度数．    阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：（已知）， （_____）； ，（已知）， ________（等式的性质）， （_____）， （_____）， ________（两直线平行，同位角相等）， ． 4．（23-24七年级下·江西赣州·期中）如图，已知，，，求的度数． 5．（21-22七年级下·江西鹰潭·期中）如图，已知直线，被直线所截平分，，求的度数．    解：因为（已知）， 所以　　． 所以　　． 因为（邻补角的定义）， 所以　　． 因为平分（已知）， 所以　　　　， 所以　　， 所以． 6．（22-23七年级下·江西赣州·期中）填空或填括号： 如图，已知，，，将求的过程填写完整．    因为，所以 ； 又因为，所以   ； 所以 （依据 ）； 所以 ； 因为，所以 ． 根据平行线判定与性质证明题型08 1．（21-22七年级下·江西景德镇·期中）如图，已知，． 求证：． 证明：∵ ( 已知  )， ∴ （ ） ∴（ ） 又∵（已知 ）， ∴ ( )   ∴（ ） ∴（ ） 2．（22-23七年级下·江西宜春·期中）如图，已知，．求证：．请完善证明过程，并在括号内填上相应依据． 证明：∵（已知）， ∴ （ ）． 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 3．（23-24七年级下·江西赣州·期中）完成下面推理过程： 已知：如图，，． 求证：． 证明：，，（已知） ． ．（__________） 又，（已知） ______．（__________） ．（__________） 4．（23-24七年级上·江西九江·期中）已知：如图，．求证：． 5．（22-23七年级下·江西宜春·期中）如图，在中，平分交于点D，点E在的延长线上，点G在线段上，与相交于点F，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)点H在的延长线上，若，，求的度数． 6．（23-24七年级下·江西上饶·期中）如图，D，E，G分别是边上的点，． (1)求证：； (2)请说明的理由； (3)若平分，判断与的位置关系，并说明理由． 7．（23-24七年级下·江西上饶·期中）已知：点在线段，间（如图1）．连接，，． (1)求证：； (2)如图2，点在点右侧，连接、，求证：； (3)如图2，若平分，平分，，求的大小． 判断命题真假及命题的题设与结论题型09 1．（22-23七年级下·江西宜春·期中）下列命题中，属于真命题的是（　　） A．内错角相等 B．在同一平面内，垂直与同一条直线的两条直线平行 C．同位角互补，两直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（23-24七年级下·江西宜春·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．同旁内角互补 C．如果两个角的和为，那么这两个角是邻补角 D．两点之间，直线最短 3．（22-23七年级下·江西赣州·期中）下面的语句是假命题的是（     ） A．直角的补角是直角 B．钝角的补角是锐角 C．垂线段最短 D．同旁内角互补 4．（22-23七年级下·江西南昌·期中）下列命题中，其中真命题的个数是（    ） ①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应； ②内错角相等； ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ④直线外一点到直线的距离是垂线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（17-18七年级下·江西宜春·期中）下列命题中：①若|a|=|b|，则a=b；②两直线平行，同位角相等：③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行,是真命题的是 (填写所有真命题的序号) 6．（22-23七年级下·江西南昌·期中）把下列命题改写成“如果…，那么……”的形式：等角的余角相等 ． 7．（21-22七年级下·江西上饶·期中）把下列命题写成“如果那么”的形式：不能被整除的数是奇数： ． 8．（20-21七年级下·江西赣州·期中）把命题“两个锐角的和是锐角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 平移及平移性质题型10 1．（22-23七年级下·江西宜春·期中）如图，通过平移左图可以得到的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江西赣州·期中）下列选项图案中，可以由左边赣州经济技术开发区融媒体中心的标志平移得到的是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．（23-24七年级下·江西赣州·期中）如图，将直角沿方向平移得到直角，其中，，，则阴影部分的面积是 ． 4．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，是一块长方形的场地，长，宽．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ．    5．（23-24七年级下·江西上饶·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 6．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)写出与的位置关系：__________．与的数量关系：___________． (2)若，当时，求的长． 7．（22-23七年级下·江西赣州·期中）如图所示，将三角形向右平移到三角形的位置，若，指出A，B，C平移后的对应点，并求的长． 平移作图题型11 1．（23-24七年级下·江西南昌·期中）在正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上（网格线的交点）．现将三角形平移，点平移到格点的位置，点，平移后的对应点分别是，，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)画出平移后的三角形； (2)过格点作线段，使且． 2．（22-23七年级下·江西上饶·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，连接，．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中过点作直线． (2)如图2，在线段上找一点，连接，使直线． 3．（21-22七年级下·江西南昌·期中）利用直尺画图 (1)利用图（1）中的网格，过 点画直线 的平行线和垂线． (2)把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段、、首尾顺次相接组成一个三角形． 4．（21-22七年级下·江西赣州·期中）如图，在7×7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺在所给的网格中画图，保留画图过程的痕迹． (1)在如图1中找一格点C，画一条线段AB的平行线段CD； (2)在图2中找一格点E，画出三角形ABE，使得S△ABE＝4． 5．（21-22七年级下·江西宜春·期末）如图，在方格纸中，的三个顶点和点、点都在格点上，平移，使它的顶点都落在格点上并满足下列条件． (1)使点、一点落在平移后的三角形内部，另一点落在平移后的三角形的边上，在图1中画出示意图； (2)使点、两点都落在平移后的三角形的边上，在图2中画出示意图． 6．（20-21七年级下·江西赣州·期中）如图所示，正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度，将向上平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到． （1）画出平移后的． （2）求的面积． （3）若，求的边上的高的长度． 1．（23-24七年级下·江西新余·期中）如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点. (1)写出的度数_________； (2)试求的度数（用含的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 2．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 3．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 4．（20-21七年级下·江西九江·期中）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中）    (1)将三角尺如图1所示叠放在一起． ①与大小关系是________； ②与的数量关系是________． (2)小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况． ①求当时，如图4所示，的大小； ②直接写出的其余所有可能值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$