第19讲 二次根式的定义和性质（4个知识点+7类题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第19讲 二次根式的定义和性质4个知识点+7类题型 课程标准 学习目标 1. 二次根式的定义； 2. 二次根式的性质； 1.掌握二次根式的定义，理解二次根式有意义的条件； 2.理解二次根式的双重非负性，并能综合运用 知识点1：二次根式的定义 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。其中叫做二次根号，叫做被开方数。被开方数可以是数，也可以是式子，但必须是非负的。 【即学即练】 1．（2024春•张湾区期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•东坡区校级期末）在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点2：二次根式有意义的条件 当被开方数时，有意义 当被开方数时，无意义 【即学即练】 3．（2024秋•威宁县期末）若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4 4．（2025•南岗区校级开学）使式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2 5．（2024秋•肥乡区期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 知识点3：的双重非负性 ① ②0 【即学即练】 6．（2024秋•揭阳期中）点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或y轴的正半轴 D．第一象限或第二象限 7．（2024春•夏津县期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．8 8．（2024秋•金沙县期末）若，则（x+y）2022等于（　　） A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1 9．（2024春•大丰区校级期末）若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝　 　． 知识点4：的应用 【即学即练】 10．（2024春•新市区校级月考）下列关于“a”的说法正确的是（　　） A．a是正数 B．a＝0 C．a可以是负数 D．a是非负数 11．（2024秋•沛县期末）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D．（）3＝7 12．（2024春•孝南区期中）等式成立的条件是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1 13．（2024秋•河源期末）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：（　　） A．0 B．﹣2b C．2a D．﹣2a﹣2b 【类型一：二次根式的定义】 1．（2024•沂源县二模）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•宁津县期中）下列各式中，二次根式的个数为（　　） ，，，，，（a≥0），（a） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【类型二：有意义的条件】 3．（2024秋•巴中期末）使式子有意义的x的取值范围是　 ． 4．（2024春•桃源县期末）若有意义，则x的取值范围为　 　． 【类型三：的双重非负性】 5．（2024秋•大祥区期末）已知，则的值为（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 6．（2024秋•丰城市校级期中）若，则　 　． 【类型四：的应用】 7．（2024秋•昌黎县期末）若，则a的值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 8．（2024秋•黔江区期末）若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（　　） A．﹣2m B．2n C．2m D．﹣2n 9．（2024秋•东坡区期末）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简的结果为 　　． 10．（2024春•开州区期中）阅读下列解题过程 例：若代数式 的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3| 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得 a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得 a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤3时，化简， 　　． （2）若等式 成立，则a的取值范围是 　 　． （3）若 ，求a的取值． 【类型五：与二次根式有关的创新题】 11．（2024秋•綦江区期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式a+b+1中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数a，b在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①a+[b+1]＝a﹣b﹣1； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 12．（2024•沙坪坝区校级开学）在平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2）定义： （1）A，B两点的水平距离l（A，B）＝|x1﹣x2|； （2）A，B两点的垂直距离h（A，B）＝|y1﹣y2|； （3）A，B两点的绝对距离d（A，B）＝l（A，B）+h（A，B）． 则下列说法正确的个数是（　　） ①若A（3，﹣4），B（﹣5，2），则l（A，B）＝8，h（A，B）＝6； ②若A（a，2），B（b，6），d（A，B）＝6，a+b＝4，则a＝1或3； ③若A（a，5），B（3，b），P（a，b），a，b均为整数，当代数式||取得最大值时，且|c﹣3|+d（A，B）＝7时，则所有符合条件的点P共有26种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【类型六：与二次根式有关的探究题】 13．（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 14．（2024•定海区三模）已知，，，…，，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+•••+Tn，则S2024值是（　　） A． B． C． D． 15．（2025•阜平县校级一模）小明做数学题时，发现规律： ； ； ； ； … （1）第5个等式为　 ； （2）若（a，b为正整数），则a•b＝　 　． 16．（2022秋•市中区期末）观察下列各式： 11 11 11 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）　1　 （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　1　； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程） 17．（2022秋•鼓楼区校级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝　 ，b＝　 ； （2）若，且e、f均为正整数，试化简：； （3）化简：． 18．（2024春•建瓯市校级月考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么． 如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为 　 　，点的“横负纵变点”为 　 　； （2）化简：； （3）已知a为常数（1≤a＜2），点，且，点M'是点M的“横负纵变点”，则点M′的坐标是 　 　． 19．（2024秋•市南区校级期中）综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，是Rt△A1A2O的面积）；，是Rt△A2A3O的面积）；，（S3是Rt△A3A4O 的面积）；… （1）请你直接写出 　　，S8＝ 　　； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空： 　　，Sn＝ 　 　； （3）在线段OA1、OA2，OA3、…、OA2023中，长度为正整数的线段共有 　 　条； （4）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【类型七：利用二次根式求最值】 20．（2023秋•鄞州区期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以a+b﹣20，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取到等号）特别地，a2（当且仅当a＝1时取到等号），因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数y＝2﹣x（x＞0）的最大值为 　 　． （2）求函数y＝4x（x＞1）的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的a+b≥2提出猜想：a+b+c≥3（当且仅当a＝b＝c时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是非负实数，求的最小值． 21．（2024春•江岸区校级月考）（1）①若有意义，则化简　 　； ②化简　 　； （2）已知，求（n﹣m）2024． （3）直接写出的最小值 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第19讲 二次根式的定义和性质4个知识点+7类题型 课程标准 学习目标 1. 二次根式的定义； 2. 二次根式的性质； 1.掌握二次根式的定义，理解二次根式有意义的条件； 2.理解二次根式的双重非负性，并能综合运用 知识点1：二次根式的定义 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式。其中叫做二次根号，叫做被开方数。被开方数可以是数，也可以是式子，但必须是非负的。 【即学即练】 1．（2024春•张湾区期中）下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：A、，根号下不能是负数，故不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，故此选项正确，符合题意； C、是立方根，故不是二次根式，不符合题意； D、，根号下不能是负数，故不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（2024秋•东坡区校级期末）在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：，，是二次根式，共3个． 故选：B． 知识点2：二次根式有意义的条件 当被开方数时，有意义 当被开方数时，无意义 【即学即练】 3．（2024秋•威宁县期末）若式子有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣4≥0， 解得：x≥4， 故选：C． 4．（2025•南岗区校级开学）使式子有意义的x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2 【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可． 【解答】解：由条件可知3﹣x≥0，且2+x≠0， 解得：x≤3且x≠﹣2， 故选：B． 5．（2024秋•肥乡区期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解． 【解答】解：由题意可得：3﹣x＞0， 解得x＜3， 故选：C． 知识点3：的双重非负性 ① ② 【即学即练】 6．（2024秋•揭阳期中）点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或y轴的正半轴 D．第一象限或第二象限 【分析】根据a2≥0判断出的符号即可得到答案． 【解答】解：由条件可知：a2+1≥1， ∴点第一象限， 故选：A． 7．（2024春•夏津县期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．8 【分析】根据是整数，即可求解． 【解答】解：∵， ∴当n＝2时，4，是整数， 故正整数n的最小值为2． 故选：C． 8．（2024秋•金沙县期末）若，则（x+y）2022等于（　　） A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1 【分析】根据二次根式有意义的条件得x＝2，从而求得y＝﹣3，进而解决此题． 【解答】解：∵， ∴x﹣2≥0且2﹣x≥0． ∴x＝2． ∴0+0﹣3＝﹣3． ∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1． 故选：A． 9．（2024春•大丰区校级期末）若|2017﹣m|m，则m﹣20172＝　2018　． 【分析】根据二次根式的性质求出m≥2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案． 【解答】解：∵|2017﹣m|m， ∴m﹣2018≥0， m≥2018， 由题意，得m﹣2017m． 化简，得2017， 平方，得m﹣2018＝20172， m﹣20172＝2018． 故答案为：2018． 知识点4：的应用 【即学即练】 10．（2024春•新市区校级月考）下列关于“a”的说法正确的是（　　） A．a是正数 B．a＝0 C．a可以是负数 D．a是非负数 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解． 【解答】解：∵， ∴a是非负数． 故选：D． 11．（2024秋•沛县期末）下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D．（）3＝7 【分析】分别根据二次根式的性质进行化简，立方根的定义计算即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 12．（2024春•孝南区期中）等式成立的条件是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1 【分析】由已知等式左边可化简为，右边1﹣a应该大于或等于0，列不等式求解． 【解答】解：由题意得：， ∴1﹣a≥0， 解得a≤1， 故选：B． 13．（2024秋•河源期末）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：（　　） A．0 B．﹣2b C．2a D．﹣2a﹣2b 【分析】由数轴得到a＜0＜b，a﹣b＜0，再化简绝对值后利用整式的加减计算法则求解即可． 【解答】解：由数轴可知a＜0＜b， ∴a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a﹣b+（a﹣b） ＝﹣a﹣b+a﹣b ＝﹣2b， 故选：B． 【类型一：二次根式的定义】 1．（2024•沂源县二模）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解答】解：∵x2≥0， ∴x2+2≥2， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：C． 2．（2024春•宁津县期中）下列各式中，二次根式的个数为（　　） ，，，，，（a≥0），（a） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据二次根式的定义得到在所给的式子中二次根式有，，（a≥0）． 【解答】解：在，，，，，（a≥0），（a）中，为二次根式的是，，（a≥0）． 故选：A． 【类型二：有意义的条件】 3．（2024秋•巴中期末）使式子有意义的x的取值范围是　x＞﹣2　． 【分析】直接利用二次根式被开方数非负、分式分母不为0分析得出答案． 【解答】解：∵有意义， ∴x+2＞0，解得x＞﹣2， ∴使式子有意义的x的取值范围是x＞﹣2． 故答案为：x＞﹣2． 4．（2024春•桃源县期末）若有意义，则x的取值范围为　x≥0且x≠6　． 【分析】应从两方面考虑x的取值范围：分母不为0和二次根式有意义． 【解答】解：由有意义，则6﹣|x|≠0且4x≥0， 解得x≥0且x≠6． 【类型三：的双重非负性】 5．（2024秋•大祥区期末）已知，则的值为（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，即可求得x的值，进而得到y的值，然后代入代数式即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 解得：x＝1． 则y＝﹣1． 则3． 故选：B． 6．（2024秋•丰城市校级期中）若，则　　． 【分析】根据被开方数大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解． 【解答】解：根据题意得，a﹣2007≥0， 解得a≥2007， ∴原式可化为：a﹣2006a， 即2006， 两边平方得，a﹣2007＝20062， ∴． .故答案为：． 【类型四：的应用】 7．（2024秋•昌黎县期末）若，则a的值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 【分析】根据二次根式的性质判断出a+1的符号，求出a的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：∵， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1， ∴a的值可以是﹣2． 故选：D． 8．（2024秋•黔江区期末）若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（　　） A．﹣2m B．2n C．2m D．﹣2n 【分析】根据数轴可知，n＜0，m＜0，|m|＜|n|，再根据二次根式的性质及绝对值的性质即可解答． 【解答】解：由数轴可知，n＜0，m＜0，|m|＜|n|， ∴ ＝|m+n|﹣|m﹣n| ＝﹣（m+n）﹣（m﹣n） ＝﹣m﹣n﹣m+n ＝﹣2m， 故选：A． 9．（2024秋•东坡区期末）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简的结果为 　a　． 【分析】利用数轴确定出a，a+c，c﹣b，b﹣a的符号，再利用绝对值的意义化简运算即可． 【解答】解：由题意得：c＜a＜0＜b， ∴a+c＜0，c﹣b＜0，b﹣a＞0， ∴ ＝﹣a+a+c+b﹣c﹣（b﹣a） ＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b+a ＝a． 故答案为：a． 10．（2024春•开州区期中）阅读下列解题过程 例：若代数式 的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3| 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得 a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得 a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤3时，化简， 　3　． （2）若等式 成立，则a的取值范围是 　3≤a≤7　． （3）若 ，求a的取值． 【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； 【解答】解：（1）∵2≤a≤3， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5） ＝3， 故答案为：3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3，符合题意； 当3＜a＜7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7符合题意； 当a≥7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7，符合题意； 综上所述，3≤a≤7， 故答案为：3≤a≤7； （3）原方程可化为：|a+11+|a﹣5|＝8， 当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0， .原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8， ∴a＝﹣2，符合题意； 当﹣1＜a＜5 时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8， .此方程无解，故﹣1＜a＜5 不符合题意； 当a≥5时， ∴a+1＞0，a﹣5≥0， ∴a+1+a﹣5＝8， ∴a＝6，符合题意； 综上所述，a＝﹣2 或a＝6． 【类型五：与二次根式有关的创新题】 11．（2024秋•綦江区期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式a+b+1中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数a，b在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①a+[b+1]＝a﹣b﹣1； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据数轴可知﹣3＜b＜﹣2，0＜a＜1，则有﹣2＜b+1＜﹣1，结合“新运算操作”可得a+[b+1]＝a﹣b﹣1，即可判断说法①；结合1＞0可得，即可判断说法②；推导﹣3＜a+b+1＜﹣1，易得[a+b+1]＝﹣（a+b+1），可知[a+b+1]+（a+b+1）＝0，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【解答】解：∵﹣3＜b＜﹣2， ∴﹣2＜b+1＜﹣1， ∴a+[b+1]＝aa+[﹣（b+1）]＝a﹣b﹣1，①正确； ∵1＞0， ∴a+b+[1]＝a+ba+b+1，②错误； ∵﹣3＜b＜﹣2，0＜a＜1， ∴﹣3＜a+b＜﹣1， ∴﹣2＜a+b+1＜0， ∴[a+b+1]＝﹣（a+b+1）， ∴[a+b+1]+（a+b+1）＝﹣（a+b+1）+（a+b+1）＝0， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，③错误； 可能的“新运算操作”有， [a]+b+1＝a+b+1， a+[b]+1＝a﹣b+1， a+b+[1]＝a+b+1， [a+b]+1＝﹣a﹣b+1， a+[b+1]＝a﹣b﹣1， [a+b+1]＝﹣a﹣b﹣1， ∴所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，④错误． 所以正确的个数有1个， 故选：D． 12．（2024•沙坪坝区校级开学）在平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2）定义： （1）A，B两点的水平距离l（A，B）＝|x1﹣x2|； （2）A，B两点的垂直距离h（A，B）＝|y1﹣y2|； （3）A，B两点的绝对距离d（A，B）＝l（A，B）+h（A，B）． 则下列说法正确的个数是（　　） ①若A（3，﹣4），B（﹣5，2），则l（A，B）＝8，h（A，B）＝6； ②若A（a，2），B（b，6），d（A，B）＝6，a+b＝4，则a＝1或3； ③若A（a，5），B（3，b），P（a，b），a，b均为整数，当代数式||取得最大值时，且|c﹣3|+d（A，B）＝7时，则所有符合条件的点P共有26种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据阅读资料将每一个说法进行验证，推理出最后结果，进行总结即可． 【解答】解：①∵A（3，﹣4），B（﹣5，2），∴A，B两点的水平距离l（A，B）＝|3﹣（﹣5）|＝8，A，B两点的垂直距离h（A，B）＝|﹣4﹣2|＝6，故此说法正确； ②∵A（a，2），B（b，6）， ∴A，B两点的水平距离l（A，B）＝|a﹣b|，A，B两点的垂直距离h（A，B）＝|2﹣6|＝4， ∴d（A，B）＝6， ∴|a﹣b|+4＝6， ∴|a﹣b|＝2， a﹣b＝±2， ∵a+b＝4， ∴或， 解得：a＝1或3， 故②说法正确； ③∵A（a，5），B（3，b）， ∴A，B两点的水平距离l（A，B）＝|a﹣3|，A，B两点的垂直距离h（A，B）＝|5﹣b|， ∵0，0， ∴ ， 设M点坐标为（3，2），N点坐标为（2，4），C点坐标为（c，0）， 当M、N、C三点共线时，最大． 设MN的解析式为：y＝kx+b， ∴，解得：， ∴y＝﹣2x+8， 当y＝0时，x＝4， 则C点坐标是（4，0）， ∴c＝4 ∵|c﹣3|+d（A，B）＝7， ∴|4﹣3|+d（A，B）＝7， ∴d（A，B）＝6 当d（A，B）＝6时， ∴|a﹣3|+|b﹣5|＝6 ∵a，b为整数， ， ， ， ， ∴P（a，b）有24种． ∴无论c取何值P（a，b）都没有26种的时候， 故③说法错误； 故选C． 【类型六：与二次根式有关的探究题】 13．（2023秋•萧县期末）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（　　） A． B． C． D． 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n﹣1行的数字个数，再加上从左向右的第n﹣3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1）， 所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是 n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3， 所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是． 故选：C． 14．（2024•定海区三模）已知，，，…，，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+•••+Tn，则S2024值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【解答】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴S2024＝T1+T2+T3+⋯+T2024 ． 故选：A． 15．（2025•阜平县校级一模）小明做数学题时，发现规律： ； ； ； ； … （1）第5个等式为　　； （2）若（a，b为正整数），则a•b＝　520　． 【分析】（1）找出一系列等式的规律为的正整数），即可计算； （2）根据（1）设n＝8求出a与b的值，即可求得a•b的值． 【解答】解：（1）， ， ， ， 第5个等式为． 故答案为：； （2）根据题中的规律得：的正整数）， ∵， ∴a＝8，b＝82+1＝65， 则a•b＝8×65＝520． 故答案为：520． 16．（2022秋•市中区期末）观察下列各式： 11 11 11 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）　1　 （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　1　； （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程） 【分析】（1）根据提供的信息，即可解答； （2）根据规律，写出等式； （3）根据（2）的规律，即可解答． 【解答】解：（1）11；故答案为：1； （2）11；故答案为：1； （3）． 17．（2022秋•鼓楼区校级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝　c2+3d2　，b＝　2cd　； （2）若，且e、f均为正整数，试化简：； （3）化简：． 【分析】（1）先计算（c+d）2，根据得结论； （2）仿照例题，把7写成两个数的和的形式，利用完全平方公式； （3）多次利用完全平方公式得结论． 【解答】解：（1）∵（c+d）2＝c2+2cd+3d2＝（c2+3d2）+2cd， 又∵， ∴a＝c2+3d2，b＝2cd． 故答案为：c2+3d2，2cd． （2）7﹣422﹣2×22＝（2）2； （3）∵2121﹣2 ＝20﹣21 ＝（1）2 ＝（21）2， ∴21． ∴77+21＝6+2． ∵6+25+21 ＝（1）2， ∴（1）． ∴1． 18．（2024春•建瓯市校级月考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么． 如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为 　（，）　，点的“横负纵变点”为 　（﹣3，2）　； （2）化简：； （3）已知a为常数（1≤a＜2），点，且，点M'是点M的“横负纵变点”，则点M′的坐标是 　（，）　． 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义解答； （2）根据材料一，模仿解答； （3）先化简m得到点M的坐标，再根据点M'是点M的“横负纵变点”，求出点M′的坐标． 【解答】解：（1）∵0， ∴点的“横负纵变点”为（，）； ∵﹣30， ∴点的“横负纵变点”为（﹣3，2）； 故答案为：（，）；（﹣3，2）． （2） ＝|| ； （3）∵1≤a≤2， ∴0≤a﹣1≤1， ∴01， ∴1≤0． ∴m （||+||） （） ， ∴M（，）， ∵0， ∴M′（，）． 故答案为：（，）． 19．（2024秋•市南区校级期中）综合运用：细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，是Rt△A1A2O的面积）；，是Rt△A2A3O的面积）；，（S3是Rt△A3A4O 的面积）；… （1）请你直接写出 　8　，S8＝ 　　； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空： 　n　，Sn＝ 　　； （3）在线段OA1、OA2，OA3、…、OA2023中，长度为正整数的线段共有 　44　条； （4）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【分析】（1）根据已有的等式，直接写出结果即可； （2）根据已有的等式，抽象出相应的数字规律即可； （3）根据边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数，分析2023最接近哪个正整数的平方即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【解答】解：（1）根据已有的等式，可得：（）2+1＝8，S8； 故答案为：8，； （2）根据已有的等式，得：（）2+1＝n，Sn； 故答案为：n，； （3）线段OA1、OA2、OA3、……、OA2023的长度分别是，长度为正整数的数字分别为1，2，3，4⋯a， ∵442＝1936，452＝2025， ∴a＝44； 故在线段OA1、OA2，OA3、…、OA2023中，长度为正整数的线段共有44条； 故答案为：44； （4） ． 故的值为． 【类型七：利用二次根式求最值】 20．（2023秋•鄞州区期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以a+b﹣20，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取到等号）特别地，a2（当且仅当a＝1时取到等号），因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数y＝2﹣x（x＞0）的最大值为 　﹣4　． （2）求函数y＝4x（x＞1）的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的a+b≥2提出猜想：a+b+c≥3（当且仅当a＝b＝c时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是非负实数，求的最小值． 【分析】（1）变形得，则有，即可求解； （2）变形得，则有，即可求解； （3）变形得，则有，即，即可求解． 【解答】解：（1）∵， 又， ∴y有最大值＝2﹣6＝﹣4； （2）∵， 又， 当4（x﹣1）时，即x（舍去）或时，y有最小值＝4+4＝8； ∵x＞1 （3）∵， ∵a，b，c是非负实数， ∴， ∴， ∴的最小值为2， ∴的最小值为2． 21．（2024春•江岸区校级月考）（1）①若有意义，则化简　2x﹣9　； ②化简　　； （2）已知，求（n﹣m）2024． （3）直接写出的最小值 　　． 【分析】（1）①先根据二次根式有意义的条件得到x≥5，则9﹣2x＜0，据此化简二次根式即可；②先求出a＜0，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先求出m≥4，则7﹣9m＜0，据此化简绝对值得到，由此根据非负数的性质求出m、n的值即可得到答案； （3）在坐标系中可以表示x轴上一点（x，0）到点（0，1）和到点（3，﹣2）的距离之和，则当这三点共线时，x轴上一点到点（0，1）和到点（3，﹣2）的距离之和有最小值，最小值即点（0，1）和点（3，﹣2）的距离，据此利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）①∵有意义， ∴x﹣5≥0， ∴x≥5， ∴9﹣2x＜0， ∴， 故答案为：2x﹣9； ②∵有有意义， ∴， ∴a＜0， ∴， 故答案为：； （2）∵有意义， ∴m﹣4≥0， ∴m≥4， ∴7﹣9m＜0， ∵， ∴， ∴， ∴n﹣3＝0，m﹣4＝0， ∴m＝4，n＝3， ∴（n﹣m）2024＝（3﹣4）2024＝（﹣1）2024＝1， 故答案为：1； （3）∵在坐标系中可以表示x轴上一点（x，0）到点（0，1）和到点（3，﹣2）的距离之和， ∴当这三点共线时，x轴上一点到点（0，1）和到点（3，﹣2）的距离之和有最小值，最小值即点（0，1）和点（3，﹣2）的距离， ∴的最小值， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$