专题02 一元二次函数、方程和不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

专题02 一元二次函数、方程和不等式 一、学习目标（100%） 1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质； 2、掌握基本不等式（）； 3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题； 4、会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的根的关系； 5、了解一元二次不等式的意义，会求一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 二、课前热身（20%） 1. 已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2. 已知，则的最小值是 . 3. 当时，函数的最小值为 . 4. 不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 5. 若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、知识梳理 考点一：等式性质与不等式性质 1、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 2、实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 【即时演练】（30%） 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 3. 已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（    ） A． B． C． D． 4. 设，，则有 ．（请填“”、“”、“”，“”，“”） 考点二：基本不等式 4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 5、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 6、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 【即时演练】（45%） 1. 如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2. 设，且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 3. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 4. 若，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．1 D．2 5. 已知，且，则的最大值为 ． 7、二次函数 （1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 8、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 9.或型不等式的解集 不等式 解集 10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 【即时演练】（60%） 11. 一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 12. 若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 13. 已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 15. 设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 四、综合检验（70%） 21. （多选）对于任意的实数，下列命题错误的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 22. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 23. 已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 24. 关于的不等式： 的解集为或， 则关于的不等式的解集为（    ） A． B．C． D． 25. 已知，，，则的最大值是（   ） A． B． C． D．1 26. 已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 27. 某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 五、课后作业（80%） 1. 已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2. 不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3. 下列命题中，正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4. 已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 5. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为 . 6. (多选) 已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7. 已知，求的最小值 六、巩固复习第一轮（85%） 11. 若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 12. 英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，则下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 13. 已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．6 14. 已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 15. 已知，，且满足，则的最大值是 . 16. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    七、巩固复习第二轮（90%） 21. 若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 22. 已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23. 设，，则以下不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 24. 不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 25. 已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 26. 已知一元二次不等式的解集为，则 . 27. 某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 八、错题回顾（95%） 页码+题号： 九、巩固复习第三轮（100%） 31. 若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 32. 下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 33. 已知，且，，则的最小值是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 34. 已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 35. 记函数的两个零点为，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 36. 已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 37. 已知函数满足：① ；② . （1）求，的值； （2）若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围. 【课后作业答案】1C 2D 3C 4B 5 6AC 7时取到最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $$