精品解析： 上海市虹口区2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

2024学年第二学期第一次初三数学学科学情调研 （满分150分，时间：100分钟）2025.3 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，在答题纸相应题号选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 截止至2025年3月9日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房已超过148亿元，“148亿”用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将“148亿”写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：148亿， 故选：C． 2. 上海轨道交通市域铁路机场联络线于2024年12月27日开通，它是中国国内首条与国铁网络互通互联的市域铁路示范线．随着各地地铁路网越来越密集，不同城市都有属于这个城市的地铁独有的标志．在下列四个标志中，是中心对称图形的是（ ） A 上海市域铁路 B. 上海地铁 C. 南京地铁 D. 杭州地铁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念和各图的特点求解． 【详解】解：A、该图形中心对称图形，符合题意； B、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意． 故选：A． 3. 小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是华氏度（）我国常用的摄氏温标．和华氏温标满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿（ ） A. 春季服装 B. 夏季服装 C. 秋季服装 D. 冬季服装 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，代入，，求得抵达目的地时的摄氏温度范围是解题的关键． 【详解】解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 即：抵达目的地时的摄氏温度范围是. 这个温度范围比较低，属于冬季的温度范围，所以小王应建议妈妈抵达目的地时穿冬季服装， 故选：D． 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5. 下列事件中，属于确定事件是（ ） A. 郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖 B. 胡老师打开微信时恰好有一条未读信息 C. 小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进 D. 小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了随机事件以及确定事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用随机事件以及确定事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A．郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖，随机事件，故A不符合题意； B．胡老师打开微信时恰好有一条未读信息，是随机事件，故B不符合题意； C．小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进，是随机事件，故C不符合题意； D．小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球，是不可能事件，即是确定事件，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图，在矩形中，，，点P在对角线上，以点A为圆心，2为半径长作，以点P为圆心作，如果点C在内而点D在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和点和圆的位置关系，过点作，解题关键是求出、的长，再确定的半径的取值范围即可． 【详解】解：矩形中，，，则，， 由勾股定理可得：， 过点作，则，， 即，， ∴，， 令与交于点，设，则，，， ，， ∴， ∵点C在内而点D在外，并且与外切， ∴，即， ∴， 即的半径的取值范围为：， 故，四个选项中，只有4.5在该范围内， 故答案为：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方公式和幂的乘方公式计算即可． 【详解】解：=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了积的乘方公式和幂的乘方，解题的关键是理解积的乘方和幂的乘方的运算法则． 8. 分解因式：______． 【答案】(1+2a)(1-2a) 【解析】 【分析】运用平方差公式分解即可． 【详解】解：1−4a2=(1+2a)(1-2a)． 故答案为：(1+2a)(1-2a)． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键． 9. 函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数定义域，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解得，即可得到函数的定义域 【详解】解：根据题意得， 解得， 函数的定义域是， 故答案为：． 10. 计算：_______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 故答案为：1． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数；（3）＜0⇔方程没有实数根． 12. 在不透明盒子中装有个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，如果从中摸出一个球是白球的概率是，那么这个盒子里一共有_______个球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，根据摸出一个球是白球的概率是，可知白球占小球总数的，可求盒子里小球的总数． 【详解】解：摸出一个球是白球的概率是， 白球占小球总数的， 这个盒子里一共有个小球． 故答案为： ． 13. 如图，已知．，如果，，那么的大小是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质可得，进而利用平角定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键；设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得方程，然后进行求解即可． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，由题意可得： ， 解得：（舍去）； ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是； 故答案为． 15. 如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查正多边形内角与中心角，根据正边形的中心角的度数为，内角和为，列出方程即可，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角． 【详解】解：正边形的中心角的度数为，内角和为， 由题意可得：， 解得：，（负值舍去）， 故：，经检验，符合题意， 故答案为：8． 16. 如图，在梯形中，，，，已知，，那么用向量、表示_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，向量的表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取，连接，先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，推出，那么 ，借助，那么有，表示出． 【详解】解：取，连接，如图所示： 四边形是平行四边形 ，，， ， 是等边三角形 ，， 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，点P为边上一点，将沿翻折，使得的对应边交对角线于点F，延长交延长线于点G，连接并延长交边于点Q，如果，那么的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、折叠的性质、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、折叠的性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有，，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理及相似三角形的性质可进行求解． 详解】解：由题意可得如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 设，则有， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 18. 定义：我们把一个函数图像上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如点是反比例函数图像的一个“2阶方点”；点是正比例函数图像的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数、不等式组，根据是一次函数的“2阶方点”，得关于的不等式组，解不等式组即可求解，理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵点是一次函数的“2阶方点”， ∴，即：， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，计算乘方、特殊角的三角函数值、化简二次根式后，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 20. 下面是小明解不等式的过程． 解：去分母得： ① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边同除以得：．⑤ （1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是_______； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）①⑤ （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向． （1）运用不等式性质、去括号法则、移项法则，合并同类项法则逐步检查，发现错误； （2）据解一元一次不等式的一般步骤和相关法则求解． 【小问1详解】 解：第①步给两边乘以6时，不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误； 第⑤步两边同除以时，不等号的方向没有改变，所以第⑤步也错误； 故答案为：①⑤； 【小问2详解】 ， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边同除以得：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴，连接． （1）求直线的表达式； （2）连接，如果，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次根式的计算等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据函数值的值，可得自变量，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）延长交轴于点，作轴于点，轴于点，由求得，，，设，得，求得：或（不符合题意，舍去），可求，，证明，得，求出进而可求． 【小问1详解】 解：轴，点的坐标为， 点的纵坐标为， 点在函数的图像上， ， ， ， 设直线的表达式为， 把代入，得， ， 直线的表达式为； 小问2详解】 解：如图，延长交轴于点，作轴于点，轴于点， ，， ， ， 轴，， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ，， ， ， 轴， ， ， ， ． 22. 如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点G，点F在线段上，且，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，可知，进而可得，证得，可知，得，即可证明结论； （2）连接交于点，由平行四边形的性质可知，再证，得，即，由，即，可得，结合等腰三角形的性质可知，可知四边形是菱形，即可证得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：连接交于点 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴，则， 即：， ∴四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 23. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？ 在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究． 【提出问题】 在与中，，，，判断与是否全等？ 【探究1】 填空：如图，如果，那么与_______（填“一定”、“不一定”或“一定不”）全等，理由是：_______． 【探究2】 如图，如果，那么与是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例． 【探究3】 如图，已知， ①如果，那么这时与不一定全等，请利用尺规及图中给定的长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹） ②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果与一定全等，那么t的取值范围是_______． 【答案】[探究1] 一定，；[探究2]，证明见解析；[探究3]①见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法及性质，尺规作图作线段等知识点，理解并掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． [探究1]根据判断全等即可； [探究2]过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，先证，再证，得，进而可证明结论； [探究3]①根据作线段等于已知线段的步骤作图即可； ②结合①，找到临界位置：当，时；当以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，此时画出的三角形是唯一确定的；根据对应的值，即可求解． 【详解】解：[探究1]如果，那么与一定全等，理由是：． 故答案为：一定，； [探究2] ， 证明：如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； [探究3]①如图所示，即为所求， ②当，，时，显然由可知，， ∵，， ∴，即：此时； 以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，此时画出的三角形是唯一确定的， 此时，， 所以，此时， 当时，显然作出的三角形也是唯一确定的，那么与一定全等， 综上，当或时，与一定全等， 故答案为：或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知． （1）求b、c的值； （2）将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意得，，根据，可知，，再利用待定系数法即可求解； （2）①设平移后的解析式为，且经过，可得；由题意可知，其在轴负半轴，则，可得，，平移后的对称轴为直线，根据切线的性质可知，求出，即可求解； ②连接交轴于，由（1）可知原抛物线的解析式为，根据，结合解直角三角形求得，即，进而求得，直线的解析式为，可得，过点作，则轴，结合解直角三角形可知，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即，新抛物线解析式为：，由题意知，代入解析式求得的值，即可求得解析式，进而可得顶点坐标． 【小问1详解】 解：令时，，即， ∴， ∵， ∴，， 将，代入， 得：，解得：， 即：，； 【小问2详解】 ①设平移后的解析式为，且经过， ∴，即：； 令，则，即：， 又∵在轴负半轴，则，即， ∴，， 平移后的对称轴为直线 ∵它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切， ∴，即， 解得：，则， ∴平移后新抛物线的解析式； ②连接交轴于， 由（1）可知原抛物线的解析式为， ∵， ∴，则， ∵，则， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， 可得：，解得：或， ∴， 过点作，则轴， ∴， 设，则， ∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 即，新抛物线解析式为：， 又∵， ∴，则， 解得：，（舍去）， ∴平移后的新抛物线解析式为：， ∴新抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析，二次函数的平移问题，解直角三角形，切线的性质，理解题意，作出草图，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． 25. 在中，，点P是边上一点，连接． （1）如图1，如果，求证：； （2）以点A为圆心，长度为半径作，交线段于点G． ①如图2，如果点G是的重心，求的值； ②如图3，连接并延长，交边于点D，如果平分，，，求的半径长． 【答案】（1）见详解 （2）①；②的半径长为 【解析】 【分析】（1）过点C作于点D，由题意易证，则有，然后可由进行求证即可； （2）①过点A作于点E，由题意易得，，，则可设，则有，，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； ②由题意易得，则有，过点G作于点Q，连接，然后可得，则有，，进而可得，最后根据相似三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 证明：过点C作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：①过点A作于点E，如图所示： ∴， ∵点G是的重心， ∴是的中线，且， ∴，， 设，则有，， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴； ②∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作于点Q，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， 即的半径长为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、垂径定理、勾股定理、三角函数及三角形的重心，熟练掌握相似三角形的性质与判定、垂径定理、勾股定理、三角函数及三角形的重心是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期第一次初三数学学科学情调研 （满分150分，时间：100分钟）2025.3 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，在答题纸相应题号选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 截止至2025年3月9日，我国国产动画电影《哪吒2之魔童闹海》在全球总票房已超过148亿元，“148亿”用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 2. 上海轨道交通市域铁路机场联络线于2024年12月27日开通，它是中国国内首条与国铁网络互通互联的市域铁路示范线．随着各地地铁路网越来越密集，不同城市都有属于这个城市的地铁独有的标志．在下列四个标志中，是中心对称图形的是（ ） A. 上海市域铁路 B. 上海地铁 C. 南京地铁 D. 杭州地铁 3. 小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是华氏度（）我国常用的摄氏温标．和华氏温标满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿（ ） A. 春季服装 B. 夏季服装 C. 秋季服装 D. 冬季服装 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 下列事件中，属于确定事件是（ ） A. 郭老师在彩票站买了一张彩票恰好中大奖 B. 胡老师打开微信时恰好有一条未读信息 C. 小张同学在篮球比赛时第一次投篮刚好打进 D. 小杨同学从装满红球的袋子里随机摸出一个球恰好是黄球 6. 如图，在矩形中，，，点P在对角线上，以点A为圆心，2为半径长作，以点P为圆心作，如果点C在内而点D在外，并且与外切，那么可以作为半径长的值是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算：=______． 8. 分解因式：______． 9. 函数的定义域是_______． 10. 计算：_______． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是______ ． 12. 在不透明盒子中装有个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，如果从中摸出一个球是白球的概率是，那么这个盒子里一共有_______个球． 13. 如图，已知．，如果，，那么的大小是_______． 14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是_______． 15. 如果一个正n边形中心角大小是它内角和的，那么n的值是_______． 16. 如图，在梯形中，，，，已知，，那么用向量、表示_______． 17. 如图，在正方形中，点P为边上一点，将沿翻折，使得的对应边交对角线于点F，延长交延长线于点G，连接并延长交边于点Q，如果，那么的值是_______． 18. 定义：我们把一个函数图像上到两条坐标轴距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如点是反比例函数图像的一个“2阶方点”；点是正比例函数图像的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么a的取值范围是_______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 20. 下面是小明解不等式的过程． 解：去分母得： ① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边同除以得：．⑤ （1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是_______； （2）请你写出正确的解答过程． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（其中），射线与函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴，连接． （1）求直线的表达式； （2）连接，如果，求的面积． 22. 如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点G，点F在线段上，且，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：． 23. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？ 在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究． 【提出问题】 在与中，，，，判断与否全等？ 【探究1】 填空：如图，如果，那么与_______（填“一定”、“不一定”或“一定不”）全等，理由是：_______． 【探究2】 如图，如果，那么与是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例． 【探究3】 如图，已知， ①如果，那么这时与不一定全等，请利用尺规及图中给定长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹） ②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果与一定全等，那么t的取值范围是_______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知． （1）求b、c的值； （2）将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 25. 在中，，点P是边上一点，连接． （1）如图1，如果，求证：； （2）以点A为圆心，长度为半径作，交线段于点G． ①如图2，如果点G是的重心，求的值； ②如图3，连接并延长，交边于点D，如果平分，，，求的半径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$