二次函数中矩形的存在性问题2025年中考数学复习专项

二次函数中矩形的存在性问题

2025年中考数学复习专项

 

 

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为．

(1)求：抛物线所对应的函数表达式．

(2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值．

(3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点．

(1)求抛物线的解析式与顶点坐标；

(2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值．

3．如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点．

(1)求二次函数的解析式．

(2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及

点Q的坐标．

(3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积；

(3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

5．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，．经过点O，A的抛物线L：交AB于点C，点C的横坐标为1．点P在线段AB上，当点P与点C不重合时，过点P作轴，与抛物线交于点Q.以PQ为边向右侧作矩形，且．设点P的横坐标为m时，解答下列问题．

(1)求此抛物线L的解析式；

(2)当抛物线的顶点落在边上时，求m的值；

(3)矩形为正方形时，直接写出m的值．

6．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E．

  

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点

H，求周长的最大值及F点坐标；

(3)点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标．

7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；

(2)设线段的长度为，请用含有的代数式表示；

(3)如图，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称，点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，求出满足条件的点的坐标．

8．二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；

(3)拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于D，交抛物线于E．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，作轴，交直线于点F，四边形为矩形，当矩形的周长为9时，求m的值；