2.5.3利用数量积计算长度与角度限时练-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第2章 平面向量及其应用（40分钟限时练） 2.5.3利用数量积计算长度与角度 一、选择题 1．向量，，则( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2．中, ,则该三角形为(   ) A.锐角三角形     B.直角三角形     C.钝角三角形     D.不能确定 3．已知平面向量,的夹角为,且,,则( ) A.1 B. C.2 D. 4．若，，，则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 5．已知平面向量a与b的夹角为，，，则( ) A. B. C.13 D. 6．一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．已知，，，若为直角三角形，则k的可能取值为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 8．设向量，，则下列说法错误的是( ) A.若，则a与b的夹角为钝角 B.的最小值为2 C.与b共线的单位向量只有一个，为 D.若，则或 三、填空题 9．已知向量，，其中＝，＝2，且，则向量和的夹角是_______. 10．已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围为___________. 四、解答题 11．已知，. （1）求证：与互相垂直； （2）若与的模相等（其中k为非零实数），求的值. 第2章 平面向量及其应用（参考答案） 2.5.3利用数量积计算长度与角度 1．答案：C 解析：，， ， . 故选：C. 2．答案：C 解析：由知, 为锐角;由知为钝角,故选C. 3．答案：A 解析：平面向量,的夹角为,且,, 不妨设,, 则, 故 故选：A． 4．答案：A 解析：由，，，则，而，即得，所以，又，所以.故选：A. 5．答案：D 解析：由题意，得，则，所以. 6．答案：A 解析：设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 7．答案：ACD 解析：由题意，得，，.由为直角三角形，可分三种情况讨论：①，则，，解得；②，则，，解得；③，则，，解得.故选ACD. 8．答案：CD 解析：对于A，若a与b的夹角为钝角，则且a与b不共线，则，解得且，A说法正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，B说法正确；对于C，，与b共线的单位向量为，即与b共线的单位向量为或，C说法错误；对于D，，即，解得，D说法错误.故选CD. 9．答案： 解析：由题意知：， 设向量和的夹角为， 有，解得， ，. 故答案为：. 10．答案： 解析：解：与的夹角为钝角，所以且与不共线， 由得，由与不共线，得，， 所以的取值范围为：. 故答案为：. 11．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：，， ，， ， . （2） ， . 同理. 又， ， . ，，. 又，，. ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$