7.3.2 离散型随机变量的方差（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

7．3.2　离散型随机变量的方差 问题导入 A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如表所示． A机床 次品数 X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数 X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 问题1：试求E(X1)，E(X2)． 提示　E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. 问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？ 提示　不能，因为E(X1)＝E(X2)． 问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？ 提示　样本方差． 微梳理 要点　离散型随机变量的方差 1．定义：如果离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).在方差的计算中，利用结论D(X)＝经常可以使计算简化． 2．意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 3．性质：D(aX＋b)＝a2D(X)，D(C)＝0(C是常数)． 思考：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？ 提示　离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的．(　　) (3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(　　) (4)若随机变量X的方差D(X)＝，则D(2X＋1)＝2×＝.(　　) 解析　(1)错误．离散型随机变量的方差越小，随机变量越稳定． (2)错误．单位不同，方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与随机变量本身有相同的单位． (3)正确．由方差的意义可知说法正确． (4)错误．由方差的性质得D(2X＋1)＝22D(X)＝. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　离散型随机变量方差的公式与性质 【例题1】 已知η的分布列如表所示. η 0 10 20 50 60 P (1)求方差及标准差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)． 解析　(1)因为E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，所以D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，所以＝8. (2)因为Y＝2η－E(η)，所以D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536. 规律总结 关于方差性质的四点说明 (1)当a＝0时，D(aX＋b)＝D(b)＝0，即常数的方差等于0. (2)当a＝1时，D(X＋b)＝D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身． (3)当b＝0时，D(aX)＝a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积． (4)当a，b均为非零常数时，随机变量η＝aX＋b的方差D(η)＝D(aX＋b)＝a2D(X)． 【变式1】 (1)设0＜a＜1，已知随机变量X的分布列如表所示． X 0 a 1 P 若D(X)＝，则a＝(　　) A． B． C． D． (2)已知随机变量X的分布列如表所示. X 0 1 2 P 设随机变量Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　) A． B． C． D． 解析　(1)E(X)＝0×＋a×＋1×＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2]＝(a2－a＋1)＝，所以4a2－4a＋4＝3，即(2a－1)2＝0，解得a＝.故选A项． (2)因为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，所以D(X)＝xpi－(E(X))2＝02×＋12×＋22×－12＝.所以D(Y)＝D(2X＋3)＝22D(X)＝.故选A项． 答案　(1)A　(2)A 探究二　离散型随机变量的方差 【例题2】 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球，则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值和方差． 解析　由题意得，ξ可能的取值为1,2,3,4,5，则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝××＝，P(ξ＝4)＝×××＝，P(ξ＝5)＝××××1＝，故ξ的分布列如表所示. ξ 1 2 3 4 5 P 由离散型随机变量的均值与方差的定义知E(ξ)＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，D(ξ)＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝2. 规律总结 求离散型随机变量方差的步骤 (1)明确随机变量的可能取值及每一个值的试验结果； (2)求出随机变量各取值对应的概率； (3)写出随机变量的分布列； (4)求出随机变量的均值； (5)代入随机变量方差的公式求出方差． 【变式2】 已知袋中有20个大小相同的球，其中标数字0的有10个，标数字n(n＝1,2,3,4)的有n个，现从袋中任取一球，随机变量X表示所取球上标的数字，求X的方差和标准差． 解析　由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝，所以X的分布列如表所示. X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，所以D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝.所以σ(X)＝＝＝. 探究三　方差的实际应用 【例题3】 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研． 项目A：通信设备，根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a. 项目B：新能源汽车，根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c. 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等． (1)求a，b，c的值； (2)若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解析　(1)依题意得＋＋a＝1，所以a＝.设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1和X2的分布列分别如表所示. X1 0.4x －0.2x 0 P X2 0.3x －0.1x P b c 由分布列得E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2.又b＋c＝1，解得b＝，c＝.所以a＝，b＝，c＝. (2)选择项目B.理由如下：当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＞D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 规律总结 利用均值和方差的意义分析解决 实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据方差的意义作出结论． 【变式3】 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如表所示． 甲保护区： X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区： Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平． 解析　甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定，故乙保护区的管理水平较高． 微专题 求创新·拓展探究 【例题】 随机变量X的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝3p－1，P(X＝3)＝1－p，则D(X)的最大值为(　　) A． B． C． D．1 [解析] 因为随机变量X的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝3p－1，P(X＝3)＝1－p，所以P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝1)＝1－2p，由可得≤p≤，E(X)＝1×(3p－1)＋2×(1－2p)＋3×(1－p)＝4－4p，D(X)＝(1－4＋4p)2×(3p－1)＋(2－4＋4p)2×(1－2p)＋(3－4＋4p)2×(1－p)＝－16p2＋18p－4＝－162＋，≤p≤，易知当p＝时，D(X)取得最大值，最大值为1.故选D项． [答案] D [名师点评] 与方差有关的计算中，常涉及求概率、求参数的值或取值范围(最值)、求方差或取值范围(最值)等问题，这就需要结合有关概念、公式建立关于变量的方程(组)或函数，结合函数与方程思想，求解变量的值或取值范围(最值)． 【练习】 若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为(　　) A． B． C．3 D． 答案　C 解析　由题意得E(X)＝x1＋x2＝，D(X)＝2＋2＝，解得x1＝1，x2＝2或x1＝，x2＝(不合题意，舍)，所以x1＋x2＝3.故选C项. 1．已知随机变量X的分布列如表所示，则X的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 x A．3.56 B． C．3.2 D． 答案　D 解析　易知0.4＋0.1＋x＝1，解得x＝0.5，所以E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，所以D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，所以X的标准差为＝.故选D项． 2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　) A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝，D(X)＝ C．E(X)＝0，D(X)＝ D．E(X)＝，D(X)＝1 答案　A 解析　抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的分布列如表所示， X 1 －1 P 0.5 0.5 所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.故选A项． 3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，则自动包装机______的质量较好(填“甲”或“乙”)． 解析　在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好． 答案　乙 4．已知随机变量ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 x P p 若E(ξ)＝. (1)求D(ξ)的值； (2)若η＝3ξ－2，求D(η)的值． 解析　由分布列的性质得＋＋p＝1，解得p＝，因为E(ξ)＝0×＋1×＋x＝，所以x＝2. (1)D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝. (2)因为η＝3ξ－2， 所以D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $$