7.4.2 超几何分布（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

7.4.2　超几何分布 ,) 问题导入 已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件． 问题1：抽取的3件产品中有1件次品，该事件服从二项分布吗？其概率是多少？ 提示　不服从，概率P＝＝. 问题2：若用X表示取得的次品数，则X的可能取值是多少？P(X＝2)是多少？ 提示　X的可能取值是0,1,2,3，P(X＝2)＝＝. 微梳理 要点　超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值：若随机变量X服从超几何分布，则E(X)＝. 思考：不放回抽取和有放回抽取有何不同？ 提示　抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项分布． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布．(　　) (2)盒中有4个白球和3个黑球，不放回地摸取3个球，摸到黑球的个数X服从超几何分布．(　　) (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．(　　) (4)超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M.(　　) 解析　(1)错误．正面向上的次数X服从二项分布． (2)正确．由超几何分布的定义知，摸到黑球的个数X服从超几何分布． (3)错误．命中目标的次数X服从二项分布． (4)错误．当抽取的产品的件数n不大于总体中的次品件数M时，k的最大值为n. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× ,) 探究一　超几何分布的概率 【例题1】 (1)盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 (2)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为，则7名学生中甲班学生人数为______. 解析　(1)对于A项，概率为＝；对于B项，概率为＝；对于C项，概率为＝；对于D项，包括没有坏的、恰有1个是坏的和恰有2个是坏的三种情况，根据A项，恰有1个是坏的概率是>，故D项不正确．故选C项． (2)设甲班学生人数为m，则＝＝，即m2－m－6＝0，解得m＝－2(舍)，m＝3. 答案　(1)C　(2)3 规律总结 (1)超几何分布的判定关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征： ①超几何分布的抽取是不放回的； ②超几何分布中随机变量X取某一个值的概率，本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与试验总次数的比． (2)超几何分布是随机变量的另一种分布形式．在这里，要特别注意公式中的各个字母的取值范围及其含义． 【变式1】 (1)在含有3件次品的8件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝______. (2)数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______. 解析　(1)X满足超几何分布，故P(X＝2)＝＝. (2)设X表示解答正确的题数，由超几何分布的概率公式，可得他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 答案　(1)　(2) 探究二　与超几何分布有关的分布列 【例题2】 箱中装有4个白球和m个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X为取出的3个球所得分数之和． (1)若P(X＝6)＝，求m的值； (2)当m＝3时，求X的分布列． 解析　(1)由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量X＝6， 所以P(X＝6)＝＝，即C＝10，所以m＝1. (2)由题意得，当m＝3时，X的可能取值为 3,4,5,6， 则 P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列如表所示. X 3 4 5 6 P 规律总结 关于超几何分布的分布列 (1)先确定随机变量的取值，再分别利用公式计算相应的概率，最后列出分布列． (2)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示． 【变式2】 袋中装有3个白棋子，2个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得3分，取到一个黑棋子得1分，现从袋中任取2个棋子． (1)求得分X的分布列； (2)求得分大于2的概率． 解析　(1)由题意知，设取到的白棋子的个数为Y，则Y的可能取值为0,1,2，对应的得分X为2,4,6.由Y服从超几何分布及X与Y的对应关系知，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝6)＝＝. 故X的分布列如表所示. X 2 4 6 P (2)根据(1)中的分布列，可知得分大于2的概率为P(X>2)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＋＝. 探究三　与超几何分布有关的均值 【例题3】 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值和方差． 解析　(1)由题意可知ξ的可能取值为0,1,2， 则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 2 P (2)由(1)可得E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝， D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝. 规律总结 求超几何分布的均值的步骤 (1)先判断随机变量服从超几何分布，找出参数N，M，n的取值． (2)利用公式P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，m＝min{M，n}求出分布列． (3)利用均值定义求出均值E(X)，也可直接根据公式E(X)＝求解． 【变式3】 不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱．某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序地发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2024年“十一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如表所示. 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15 品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5 (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望． 解析　 (1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件A，“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件B， 所以选出的4间均为普通型民宿的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝. (2)这10家民宿中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，则随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4， 则P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝， 分布列如表所示. X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.6. 微专题 明易错·误区警示 辨明二项分布与超几何分布 【例题】 在10件产品中有2件次品，连续抽取3次，每次抽取1件． (1)求不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值； (2)求放回抽样时，抽取次品数η的均值． [解析] (1)方法一　由题意可知ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以随机变量ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 方法二　由题意知P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)，所以随机变量ξ服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，所以 E(ξ)＝＝＝. (2)由题意知抽取1次取到次品的概率为＝，则随机变量η服从二项分布B，所以E(η)＝3×＝. [名师点评] 区别二项分布与超几何分布的方法：一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立重复试验”，对于抽样，则是有放回抽样．当产品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布，解题时应从本质上给予区分，切忌混淆． 【练习】 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列． 解析　由题意得X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝×＝， P(X＝2)＝××＝，P(X＝3)＝×××＝. 因此随机变量X的分布列如表所示. X 0 1 2 3 P ,) 1．(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是(　　) A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以有两类或三类物品 C．超几何分布中的参数是N，M，n D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 答案　ACD 解析　由超几何分布的定义可知A，C，D项均正确，因为超几何分布的总体里只有两类物品，故B项错误．故选ACD项． 2．一批产品共15件，有2件次品，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A. B． C． D． 答案　B 解析　由题意知15件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.故选B项． 3．在100件产品中有4件次品，任意抽取5件，则抽到次品个数的均值是______. 解析　设抽到次品的个数为ξ，则ξ服从超几何分布，所以E(ξ)＝＝＝. 答案　 4．从18名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求“所选3人中女生人数ξ不大于1”的概率． 解析　(1)由题意得ξ的可能取值为0,1,2，服从超几何分布，则P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2. 所以ξ的分布列如表所示. ξ 0 1 2 P (2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ不大于1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$