6.3.2 二项式系数的性质（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

6.3.2　二项式系数的性质 问题导入 (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n分别取1,2,3,4,5,6时可以表示成如下形式： (a＋b)11　1 (a＋b)21　2　1 (a＋b)31　3　3　1 (a＋b)41　4　6　4　1 (a＋b)51　5　10　10　5　1 (a＋b)61　6　15　20　15　6　1 问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 提示　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 提示　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. 问题3：二项式系数的最大值有何规律？ 提示　n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大． 微梳理 要点一　二项式系数的性质 性质 内容 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性 当k<时，C随k的增加而增大； 当k>时，C随k的增加而减小 最大值 当n是偶数时，中间的一项取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值 各二项式 系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 要点二　杨辉三角 1．概念 在探究(a＋b)n的展开式的二项式系数性质时，我们曾把系数写成一张表(图1)，借助它发现了系数的一些规律．事实上，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表．所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示(图2)的．我们称这个表为杨辉三角． 2．特点 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C. 思考：系数最大的项一定是二项式系数最大的项吗？ 提示　系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．(　　) (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　　) (3)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　) (4)杨辉三角中每行(除第一行外)两端的数都是1.(　　) 解析　(1)错误．二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项的其他数字因数的大小有关． (2)错误．在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和． (3)错误．二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关． (4)正确．根据杨辉三角的特点可知说法正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　二项展开式中系数的最值问题 【例题1】 已知二项式8. (1)求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)求展开式中系数最大的项． 解析　(1)二项式8的展开式中第5项的二项式系数最大，因此由T5＝C4·24·x4＝x4，可知此项的系数为. (2)由题意设二项展开式的第r＋1项的系数最大，则解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项，即T8＝C1·27x7＝28x7，T9＝C0·28x8＝28x8. 规律总结 求二项展开式系数最大的项的方法 (1)求二项式系数最大的项：若n是偶数，则中间一项，即第项的二项式系数最大，即最大值是；若n是奇数，则中间两项，即第项与第项的二项式系数相等且最大，即且最大． (2)求展开式中系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第(r＋1)项系数最大，应用解出r，即得系数最大的项． [注意] 二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数是组合数，仅与二项式的指数及项数有关，一定为正，而项的系数与二项式的指数、项数及字母的系数均有关，可正可负． 【变式1】 (1)在(2－3x)15的展开式中，二项式系数的最大值为(　　) A．C B．C C．－C D．－C (2)10的展开式中，系数最大的项为(　　) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 解析　(1)(2－3x)15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为C＝C.故选B项． (2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝C·x55＝－C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝Cx6·4＝Cx2，T7＝Cx4·6＝Cx－2，且C＝C.所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D项． 答案　(1)B　(2)D 探究二　二项展开式的系数和 【例题2】 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 解析　(1)令x＝0，得a0＝2100. (2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，① 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.② 由①－②得a1＋a3＋…＋a99＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]×[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)×(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100) ＝[(2－)×(2＋)]100＝1100＝1. (5)因为Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr， 所以a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N)． 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100. 规律总结 用赋值法求二项展开式系数的和 赋值法即对字母作特殊赋值，可达到求和目的．赋值时可视所求和式子的结构特点而定． (1)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则有a0＝f(0)；a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)；a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝f(－1)；a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋…＝；a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＝. (2)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 【变式2】 (1)若(5x＋4)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，则(a0＋a2)－(a1＋a3)＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 (2)(mx＋)n(n∈N*)的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数的和为243，则展开式中x3的系数为(　　) A．40 B．30 C．20 D．10 解析　(1)(5x＋4)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，所以令x＝－1，得(－1)3＝a0－a1＋a2－a3＝(a0＋a2)－(a1＋a3)＝－1.故选A项． (2)(mx＋)n的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，所以n＝5.令x＝1，可得各项系数的和为(m＋1)5＝243＝35，所以m＝2，所以(mx＋)n＝(2x＋)5，其展开式的通项为Tr＋1＝C·25－r·x，令5－＝3，可得r＝4，故展开式中x3的系数为C×2＝10.故选D项． 答案　(1)A　(2)D 探究三　与杨辉三角有关的问题 【例题3】 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n∈N*，n≥2)，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第10行的第4个数(从左往右数)为__________. 　　 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　 … 解析　将杨辉三角中的每一个数C都换成分数即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中第10行的第4个数为C＝84，所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行的第4个数为＝. 答案　 规律总结 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 【变式3】 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______. 第1行　1　　1 第2行　1　　0　　1 第3行　1　　1　　1　　1 第4行　1　　0　　0　　0　　1 第5行　1　　1　　0　　0　　1　　1 第6行　1　　0　　1　　0　　1　　0　　1 第7行　1　　1　　1　　1　　1　　1　　1　　1 　… 解析　观察可得第1行，第3行，第7行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行．当n＝6时，26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1. 答案　2n－1　32 1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) 1 1　　2　　1 1　　3　　3　　1 1　　4　　a　　4　　1 1　　5　　10　　10　　5　　1 A．8 B．6 C．4 D．2 答案　B 解析　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，解得a＝6.故选B项． 2．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第＋1项 B．第n项 C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 答案　C 解析　由于第r＋1项的系数为C，故当r＝n时，系数最大，即第n＋1项的系数最大．故选C项． 3．若(2－3x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＋a2＋a3＋…＋a6＝(　　) A．－4 B．4 C．－64 D．－63 答案　D 解析　由题意可令x＝0，得(2－3×0)6＝a0＋a1×0＋a2×0＋…＋a6×0，即a0＝64，再令x＝1，可得64＋a1＋a2＋a3＋…＋a6＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a6＝－63.故选D项． 4．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项． 解析　由已知得C＋C＋C＝121，则n(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或n＝－16(舍去)，所以展开式中二项式系数最大的项是T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8. 学科网（北京）股份有限公司 $$