6.3.2二项式系数的性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2 二项式系数的性质 第 六 章 计 数 原 理 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 二项式定理 . 对于，，，，等代数式， 数学上统称为二项式， 其一般形式为（*） 叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数：叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项， 用表示，即通项为展开式的第项： 前情回顾 0 二项展开式的特点： . (1)项数特征：展开式共有项； (2)次数特征：中的指数和均为 (3)通项公式： 1 2 3 章节导读 0 6.1分类加法、分步乘法 6.2排列与组合 6.3二项式定理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 二项式定理 二项式系数的性质 排列数 组合 组合数 排列 学习目标 1 2 3 理解二项式系数的性质，能记住二项式系数的性质． 会用“赋值法”求展开式系数的和． 会用二项式定理及其性质解决有关的简单问题． 0 新课引入 0 我们学习了二项式定理，本节 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右. 读教材 0 阅读课本P31-P34，5分钟后完成下列问题： 1.填写P31的表格，说说你发现了二项式系数的哪些规律？ 我们一起来探究“二项式系数的性质”吧！ 2.二项式系数的最大值的项与什么有关？ 01 03 02 目录 1 二项式系数的性质 学习过程 2 题型训练 1 探究1：归纳猜想二项式有什么规律？ 新知探究 填入下表中. 的展开式的二项式系数 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 通过计算，填表，你发现了什么规律？ 1 探究1：归纳猜想二项式有什么规律？ 新知探究 观察右侧二项式系数， 你能发现什么规律？ 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 系数呈对称分布；与首末两端“等距离”的两个系数相等：； 同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大. 2 设表中任一不为1的数为，那么它肩上的2个数分别为和 新知探究 1 思考： 对于的展开式的二项式系数，，，，，还可以从函数的角度分析.可看成以为自变量的函数，其定义域是 对于确定的，我们还可以画出它的图象. 函数 的图象是＋1个离散点. 例如，当时， 函数 的图象是右图中的7个孤立点． 新知探究 1 思考： 对于的展开式的二项式系数，，，，，还可以从函数的角度分析.可看成以为自变量的函数，其定义域是 当为奇数时,中间两项的二项式系数和相等，且同时取得最大值； 二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的：在中间项取得最大值. 当为偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值，是第＋1项； 1 新知1－－二项式系数的性质 二项式系数的性质 1.对称性：函数的图象关于直线对称； 2.增减性与最大值： 因为，即， 所以，当，即时，随的增加而增大； 由对称性知，当时，随的增加而减小. 当是偶数时，中间的一项取得最大值，是第； 当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值， 是第和第. 1 新知1－－二项式定理 . (1). (2)令，， . 因此，， 1 2 的展开式的各二项式系数的和等于. 的各二项式系数的奇数项和等于偶数项和都等于. 学以致用 例1 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则等于( ) A.11 B.10 C.9 D.8 解：由二次项系数的对称性得： 当是偶数时，中间的一项取得最大值，是第；当是奇数时， 中间的两项与相等，且同时取得最大值，是第和第. 所以只有第5项的二项式系数最大说明 D 学以致用 例2 的展开式中二项展系数最大的项是第 _____ 项. 解：由二次项系数的对称性得： 当是偶数时，中间的一项取得最大值，是第；当是奇数时， 中间的两项与相等，且同时取得最大值，是第和第. 所以最大项为第4，5项。 4,5 学以致用 例3 的展开式中，二项式系数的和为32，则n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解：各二项式系数的和等于 A 学以致用 例4 在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是( ) A.第n－k项 B.第n－k－1项 C.第n－k＋1项 D.第n－k＋2项 D 故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同. 思路点拨 常见二次项系数问题： 二项展开式中的通项：；第； 二项式系数的最大值：将二项式展开，， 当 二项式系数相等项：第，与与无关， ，所以第＋1项=第＋1项（和为＋2）。 01 03 02 目录 学习过程 2 题型训练 1 二项式系数的性质 2 例1 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则二项式系数最大的项为( ) A.第5项 B.第6项或第7项 C.第6项 D.第7项 解：，，. 所以的展开式中，二项式系数最大的项为第5项. 题型1－－二项式系数的应用 A 2 例2 的展开式中，系数最大的项为( ) A.第6项 B.第3项 C.第3项或第6项 D.第5项或第7项 解：由题可知：通项为 二项式系数与对应的项的系数的奇数项相等，偶数项互为相反数，由于二项式系数的最大项为，，此时系数最小；而，，且所以系数最大的项为第5项和第7项。 D 题型1－－二项式系数的应用 2 例3 已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项 的二项式系数之和为（ ） A.212 B.211 C.210 D.29 D 题型1－－二项式系数的应用 解：∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，项，∴n＝10， ∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和:= 2 例4 若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式 系数的和，则n的值为_____. 解：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为：； 令(x＋3y)n中x＝y＝1， 则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5. 题型2－－赋值法的应用 5 2 例5 设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6， 则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于( ) A.4 B.－71 C.64 D.199 解：∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6， 令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64. 题型2－－赋值法的应用 C 2 例6 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为（ ） A.2n＋1 B.2n－1 C.2n＋1－1 D.2n＋1－2 解：令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2. 题型2－－赋值法的应用 D 2 例7 (2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； 解：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1; (2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. (2x－1)5的通项公式为：=； 知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. 题型2－－赋值法的应用 2 例8 已知展开式中前三项的二项式系数和为79，求展开式中系数最大的项？ 解：由题意知解得或(舍去). ，设展开式中第项的系数最大， 则解得.， ∴，∴系数最大的项为第11项。 题型2－－赋值法的应用 思路点拨 二项展开式的系数最大项问题： 二项展开式中的通项：； (1)求的展开式系数最大的项：一般是采用待定系数法， 设展开式各项系数分别为，，，，设第项系数最大， 解出，即得系数最大项. (2)二项式系数的最大值：将二项式展开，， 当 课堂小结 二项式系数的性质 1.对称性：函数的图象关于直线对称； 2.增减性与最大值： 因为，即， 所以，当，即时，随的增加而增大； 由对称性知，当时，随的增加而减小. 当是偶数时，中间的一项取得最大值，是第； 当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值， 是第和第. 课堂小结 . (1). (2)令，， . 因此，， 1 2 的展开式的各二项式系数的和等于. 的各二项式系数的奇数项和等于偶数项和都等于. 解:第k项的二项式系数是C， 由于C＝C， $$