7.1.2 全概率公式（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

7.1.2　全概率公式 问题导入 甲、乙两人向同一飞机射击，设甲、乙射中的概率分别为0.4,0.5，又设若只有一人射中，飞机坠落的概率为0.2，若有两人射中，飞机必坠落．记事件A为“飞机坠落”，事件Bi为“i个人射中飞机”，i＝1,2. 问题1：一人射中飞机的概率是多少？ 提示　P(B1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5. 问题2：两人都射中飞机的概率是多少？ 提示　P(B2)＝0.4×0.5＝0.2. 问题3：飞机坠落的概率等于P(B1)与P(B2)的和吗？ 提示　不等于． 微梳理 要点一　全概率公式的定义 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，称这个公式为全概率公式．全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式． 思考：计算P(B)时，如果事件B的表达式中有积又有和，是否就一定要用全概率公式？ 提示　不一定．这是对全概率公式形式上的认识，完全把它作为一个“公式”来理解是不正确的． 要点二　贝叶斯公式* 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥．(　　) (2)对任意事件B⊆Ω，全概率公式P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)都成立．(　　) (3)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai＝Ω.(　　) 解析　(1)错误．各个事件应两两互斥． (2)正确．根据全概率公式的定义可知说法正确． (3)错误．需满足的条件为AiAj＝∅(i≠j)，Ai＝Ω，且P(Ai)>0. 答案　(1)×　(2)√　(3)× 探究一　全概率公式的运用 【例题1】 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库中，假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率． 解析　设事件B为“从仓库中随机提出的一台产品是合格品”，事件Ai为“提出的一台产品是第i车间生产的”(i＝1,2)， 则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥， 由题意得P(A1)＝＝0.4，P(A2)＝＝0.6， P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88. 由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 规律总结 (1)运用全概率公式的一般步骤 ①求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； ②求P(Ai)(i＝1,2，…，n)； ③求P(B|Ai)(i＝1,2，…，n)； ④求目标事件的概率P(B)． (2)运用全概率公式的关键是寻找其中的完备事件组A1，A2，…，An，该完备事件组是为了计算P(B)而人为地引入的，选择适当的完备事件组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决． 【变式1】 某电器商店出售两家工厂生产的电视机，甲厂生产的电视机占该商店所售电视机总量的70%，乙厂生产的电视机占该商店所售电视机总量的30%，甲厂生产的电视机合格率为95%，乙厂生产的电视机合格率为80%，则该商店所售电视机的合格率是______. 解析　设事件A为“该商店所售电视机合格”，事件B为“该商店所售电视机是由甲厂生产的”，事件C为“该商店所售电视机是由乙厂生产的”． 由题知P(B)＝70%＝0.7，P(A|B)＝95%＝0.95， P(C)＝30%＝0.3，P(A|C)＝80%＝0.8， 所以P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905. 所以该商店所售电视机的合格率为90.5%. 答案　90.5% 探究二　贝叶斯公式的应用* 【例题2】 已知某工厂有两条生产线a和b，a生产线生产的产品占65%，b生产线生产的产品占35%，a生产线生产的产品的合格率为90%，b生产线生产的产品的合格率为85%.在此工厂生产的产品中随机抽取一件，已知抽到的是合格品，求此产品是a生产线生产的概率(精确到0.1)． 解析　由题意设D表示抽取的是合格品，A表示该产品由a生产线生产，B表示该产品由b生产线生产，则P(A)＝0.65，P(B)＝0.35，P(D|A)＝0.9，P(D|B)＝0.85， 由贝叶斯公式得，所求概率为 P(A|D)＝ ＝ ＝≈0.7. 规律总结 应用贝叶斯公式的前提 若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择相应的方法进行求解，保证解题正确、高效． 【变式2】 已知在所有男子中有5%患有色盲症，所有女子中有0.25%患有色盲症．随机抽一人发现患有色盲症，问其为男子的概率是多少(设男子和女子的人数相等，保留两位有效数字)? 解析　设A表示抽到的为男子，B表示抽到的为女子，C表示抽到的人患有色盲症． 由题意得P(A)＝P(B)＝0.5， P(C|A)＝0.05， P(C|B)＝0.002 5， 由贝叶斯公式有 P(A|C)＝ ＝≈0.95， 即随机抽一人发现患有色盲症且为男子的概率是0.95. 1．两台机床加工同样的零件，它们出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，那么第一台机床加工的零件所占的比例是，第二台机床加工的零件所占的比例是，则任取一个零件是不合格品的概率为×0.03＋×0.02＝，故任取一个零件是合格品的概率为1－＝.故选C项． 2．盒中有2个红球，3个黑球，现随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设事件A为“第一次抽出的是黑球”，事件B为“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B.由题意得P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，P()＝＝，P(B|)＝＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故选A项． 3．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A|B)＝0.95，P(|)＝0.95.现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(B|A)约为(　　) A．0.25 B．0.092 C．0.087 D．0.4 答案　C 解析　P(A|)＝1－P(|)＝1－0.95＝0.05.被试验的人患有癌症的概率为0.005，就相当于P(B)＝0.005，因此P(B|A)＝≈0.087.故选C项． 4．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是工厂A的产品的概率． 解析　设事件A为“抽取的产品是工厂A生产的”，事件B为“抽取的产品是工厂B生产的”，事件C为“抽取的是次品”，则有P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.01，P(C|B)＝0.02， 根据全概率公式得，P(C)＝0.6×0.01＋0.4×0.02＝0.014，P(AC)＝P(A)P(C|A)＝0.6×0.01＝0.006，故P(A|C)＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$