7.1.1 条件概率（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第七章　随机变量及其分布 7．1　条件概率与全概率公式 课标要求 学法指导 1．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． 3．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率． 4．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 5．了解贝叶斯公式*. 1．通过一些简单的实例，理解条件概率的概念，注意P(A|B)与P(B|A)的区别． 2．结合必修第二册10.2节学习条件概率与独立性的关系，区别两种判断事件相互独立的方法． 3．本节内容与古典概型结合紧密，学习时注意体会． 4．贝叶斯公式用于求原因概率，全概率公式用于求结果概率，学习时注意对比记忆． 5．通过学习及应用条件概率和全概率公式，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 7.1.1　条件概率 问题导入 100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}． 问题1：试求P(A)，P(B)，P(AB)． 提示　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 问题2：任取一件产品，若产品长度合格(即A发生)，则它的质量也合格(即B发生)的概率等于P(B)吗？ 提示　不等于P(B)． 微梳理 要点一　条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 思考：P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？ 提示　不相同，P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不相同． 要点二　条件概率与事件相互独立性的关系 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B). 证明：若事件A与B相互独立，即P(AB)＝P(A)P(B)，且P(A)>0，则P(B|A)＝＝＝P(B)；若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则P(B)＝⇒P(AB)＝P(A)P(B)，即事件A与B相互独立． 要点三　条件概率的性质 1．概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A). 2．设P(A)>0，样本空间为Ω，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)甲、乙两人投篮的命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中是条件概率．(　　) (2)甲、乙两人投篮的命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中是条件概率．(　　) (3)P(A∩B)＝P(AB)．(　　) (4)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (5)P(AB)＝P(A)P(A|B)．(　　) 解析　(1)错误．不满足条件概率的定义． (2)正确．满足条件概率的定义． (3)正确．事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积)，记作A∩B(或AB)，所以P(A∩B)＝P(AB)． (4)错误．若事件A，B互斥，则事件A∩B是不可能事件，即P(A∩B)＝0，所以P(B|A)＝0. (5)错误．P(AB)＝P(A)P(B|A)． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 探究一　条件概率的计算 【例题1】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目．在卡片上写下6个节目的名称，并不放回地依次抽取2张卡片，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解析　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，根据分步乘法计数原理，第1次抽到舞蹈节目的事件数为n(A)＝AA＝20，所以第1次抽到舞蹈节目的概率为P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝. 规律总结 计算条件概率的两种方法 (1)公式法 ①用字母表示事件； ②求P(A)，P(AB)； ③利用条件概率公式P(B|A)＝求概率． (2)缩减样本空间法 ①原来的样本空间Ω缩小为事件A； ②原来的事件B缩小为A与B同时发生的事件AB； ③利用古典概型概率公式P(B|A)＝求概率． 【变式1】 (1)在某电视台有一闯关节目，该节目设置有两关，闯关规则是：当第一关闯关成功后，方可进入第二关．为了调查闯关的难度，该电视台调查了参加过此节目的100名选手的闯关情况，第一关闯关成功的选手有80人，第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有72人，以闯关成功的频率近似作为闯关成功的概率，已知某个选手第一关闯关成功，则该选手第二关闯关成功的概率为______. (2)有圆形零件100个，其中有98个直径合格，有96个光洁度合格，两个指标都合格的有94个，从这100个零件中，任意抽取1个． ①如果此零件光洁度合格，求直径也合格的概率(结果保留三位小数)； ②如果此零件直径合格，求光洁度也合格的概率(结果保留三位小数)． 解析　(1)记事件A为“某个选手第一关闯关成功”，事件B为“某个选手第二关闯关成功”，则事件AB为“某个选手第一关闯关成功且第二关闯关也成功”，则P(B|A)＝＝＝. 答案　 (2)设事件A为“直径合格”，事件B为“光洁度合格”，则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. ①此零件在光洁度合格的条件下，直径也合格的概率是P(A|B)＝＝＝≈0.979. ②此零件在直径合格的条件下，光洁度也合格的概率是P(B|A)＝＝＝≈0.959. 探究二　概率的乘法公式及其应用 【例题2】 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设“该地区每年七月份刮台风”为事件A，“该地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题意得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式可得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝.故选B项． 规律总结 应用概率的乘法公式解应用题的一般步骤 (1)首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P(A)>0. (2)根据已知条件表示出各事件的概率． (3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)，求出所求事件的概率． 【变式2】 (1)已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝(　　) A． B． C． D． (2)有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为______. 解析　(1)因为P(B|A)＝，P(A)＝，所以由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝.故选B项． (2)设事件A为“种子发芽成功”，事件B为“种子能成长为幼苗”．根据题意知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.7，故由P(B|A)＝知P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.8×0.7＝0.56.又A∩B＝B，故P(B)＝P(A∩B)＝0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56. 答案　(1)B　(2)0.56 探究三　条件概率性质的应用 【例题3】 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率． 解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C且B与C互斥， 所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝， 故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 规律总结 较复杂事件概率的求法 (1)把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率． (2)再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立． 【变式3】 在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，则在摸出的第一个球是红球的条件下，摸出的第二个球是黄球或黑球的概率为______. 解析　方法一　设“摸出的第一个球是红球”是事件A，“摸出的第二个球是黄球”是事件B，“摸出的第二个球是黑球”是事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的概率为. 方法二　因为n(A)＝1×C＝9，n[(B∪C)∩A]＝C＋C＝5，所以P(B∪C|A)＝＝.所以所求的概率为. 答案　 微专题 明易错·误区警示 混淆条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)致错 【例题】 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球(只有颜色不同)，不放回抽取，每次任取一球，取两次，求第二次才取到黄球的概率． [正解] 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球，C表示第二次才取到黄球，则P(C)＝P(AB)＝×＝. [易错探因] 求解本题时容易产生如下错误： 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球，C表示第二次才取到黄球，则P(C)＝P(B|A)＝＝. 产生错误的原因是不理解P(AB)与P(B|A)的含义，事实上，求P(B|A)时表示第一次抽取结果已知为抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的． [误区警示] 解题时，先要正确理解并能区分条件概率与积事件的概率，P(AB)表示事件A与B同时发生的概率，而P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，然后正确选择相应的计算公式求解即可． 【练习】 一个盒子中装有4件产品，其中3件一等品、1件二等品，从中取产品两次，每次任取1件，做不放回抽样，若第一次取到的是一等品，求第二次取到一等品的概率． 解析　设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则AB表示“第一次取到一等品，第二次也取到一等品”． 因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以在第一次取到一等品的情况下，第二次取到一等品的概率为P(B|A)＝＝＝. 1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由P(B|A)＝得P(A)＝＝＝.故选C项． 2．同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意得n(A)＝3×6＝18，n(AB)＝3，则P(B|A)＝＝＝.故选D项． 3．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1 000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1 000次的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意设事件A为“该充电宝循环充电超过500次”，事件B为“该充电宝循环充电超过1 000次”，则P(A)＝，P(B)＝，易知P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝×＝.故选B项． 4．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是______. 解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”， 则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 答案　0.665 学科网（北京）股份有限公司 $$