8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

8.6.2　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的判定 [学习目标] 1.了解直线与平面垂直的定义和直线与平面所成的角的概念.2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直(重点).3.能解决简单的线面角问题(难点).4.发展数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养． 要点一　直线与平面垂直的定义 1．自然语言：一般地，如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都__垂直__，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作__l⊥α__.直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的__垂面__.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做__垂足__. 2．图形语言：如图所示． 画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． 3．符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a ⇒__l⊥α__. 4．点到平面的距离：过一点作__垂直于__已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的__垂线段__，__垂线段__的长度叫做这个点到该平面的距离． 注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． 要点二　直线与平面垂直的判定定理 1．自然语言：如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与此平面垂直． 2．图形语言：如图所示． 3．符号语言：__a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b__⇒l⊥α. 4．与线面垂直有关的结论 (1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 要点三　直线与平面所成的角 1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的__射影__所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，__∠PAO__就是斜线AP与平面α所成的角． 2．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是__0°__.直线与平面所成的角θ的取值范围是__0°≤θ≤90°__. 思考：在直线和平面所成角的定义中，点P是 唯一的点吗？斜线在平面内的射影是一条直线吗？ 提示　点P具有任意性，它是斜线上异于斜足A的任意点．斜线在平面α上的射影是一条直线，它是过斜足和垂足的一条直线． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(　　) (2)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(　　) (3)一条直线与两个平行平面所成的角相等．(　　) (4)两个平面与一条直线所成的角相等，则这两个平面平行．(　　) 解析　(1)错误，不可能平行． (2)错误，当平面α内的这两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α垂直；当平面α内的这两条直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交． (3)正确，如图，根据直线与平面所成的角的定义知，一条直线与两个平行平面所成的角相等． (4)错误，如图，两个平面与一条直线所成的角相等，这两个平面不一定平行． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　直线与平面垂直的判定 答题模板　 利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使它和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论． 例题1】 (1)如图，已知PA⊥底面ABC，其中∠ABC＝90°.求证：BC⊥平面PAB. (2)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．求证：B1C⊥AB. 证明　(1)因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为∠ABC＝90°，所以AB⊥BC． 又AB∩PA＝A，且AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB. (2)如图，连接BC1，依题意得O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1. 又AO⊥平面BB1C1C， 所以B1C⊥AO. 因为BC1∩AO＝O，所以B1C⊥平面ABO. 由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB. 【变式1】 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM. 证明　因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM. 因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M， 所以AN⊥平面PBM. 探究二　直线与平面所成的角 答题模板　 求直线与平面所成的角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 【例题2】 如图，已知正四面体A－BCD的棱长为a，E为AD的中点，连接CE. (1)求AD与平面BCD所成角的余弦值； (2)求CE与平面BCD所成角的正弦值． 解析　(1)如图，过点A作AO⊥底面BCD，垂足为点O，连接OB，OC，OD，则OB，OC，OD分别是AB，AC，AD在平面BCD内的射影，所以∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角． 因为AB＝AC＝AD， 所以OB＝OC＝OD， 所以O为△BCD的外心． 因为△BCD为正三角形，且正四面体的边长为a， 所以OD＝a×＝a， 所以cos∠ADO＝＝， 所以AD与平面BCD所成角的余弦值为. (2)取OD的中点F，连接EF，CF. 因为E，F分别为△DAO的边AD，OD的中点， 所以EF为△DAO的中位线，所以EF∥AO. 又AO⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD， 所以FC为EC在平面BCD内的射影， 所以∠ECF为EC与平面BCD所成的角． 因为EF＝AO， 而AO＝＝＝a， 所以EF＝a. 因为E为AD的中点，所以CE＝AD＝a， 所以sin∠ECF＝＝＝， 所以CE与平面BCD所成角的正弦值为. 【变式2】 (1)(2024·新课标Ⅱ)已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． B．1 C．2 D．3 (2)如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成角的大小． 解析　(1)方法一　分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝，可知S△ABC＝×6×3＝9，S△A1B1C1＝×2×＝，设正三棱台ABC－A1B1C1的高为h，则VABC－A1B1C1＝(9＋＋)h＝，解得h＝，如图，分别过A1，D1作底面垂线，垂足为M，N，设AM＝x，则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x，可得DD1＝＝，结合四边形BCC1B1是等腰梯形得BB＝2＋DD，即x2＋＝(2－x)2＋＋4，解得x＝，所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD＝＝1.故选B项． 方法二　将正三棱台ABC－A1B1C1补成正三棱锥P－ABC，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为＝＝，则＝，可知VABC－A1B1C1＝VP－ABC＝，则VP－ABC＝18，设正三棱锥P－ABC的高为d，则VP－ABC＝d××6×6×＝18，解得d＝2，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO＝2，所以PA与平面ABC所成角的正切值为tan∠PAO＝＝1.故选B项． 答案　B (2)因为OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，所以△AOB，△AOC为正三角形． 所以AB＝AC＝a. 又BC＝a，所以AB2＋AC2＝BC2， 所以△ABC为等腰直角三角形． 同理，△BOC也为等腰直角三角形． 取BC的中点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，OH⊥BC，且AH＝OH＝BC＝a. 又OA＝a，所以AH2＋OH2＝OA2， 所以AH⊥OH. 又OH∩BC＝H，所以AH⊥平面α. 所以∠AOH为OA与平面α所成的角． 在Rt△AOH中，sin∠AOH＝＝， 所以∠AOH＝45°，即OA与平面α所成角的大小为45°. 1．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 答案　C 解析　因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC．因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．故选C项． 2．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的有(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案　A 解析　三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边、正六边形的两边不一定相交，所以能保证直线与平面垂直的有①③.故选A项． 3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C B．平面A1DB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 答案　B 解析　因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.故选B项． 4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则PC与平面ABCD所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　如图，连接PC，AC，因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AC＝.在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，所以∠PCA＝60°.故选C项． 学科网（北京）股份有限公司 $$