8.6.1 直线与直线垂直（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 [学习目标] 1.了解异面直线所成的角和异面直线互相垂直的概念.2.会求任意两条直线所成的角(重难点).3.发展逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养． 要点一　两条直线所成的角 1．平面内两条直线所成的角 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)． 2．异面直线所成的角 (1)定义：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：异面直线所成的角α的取值范围是__0°<α≤90°__. (3)求法：求异面直线所成的角，一般利用平移法求解．过某一点找或作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求角的度数． 3．空间两条直线所成的角 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成的角α的取值范围是__0°≤α≤90°__. 要点二　异面直线互相垂直 1．定义：如果两条异面直线所成的角是__直角__，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． 2．表示：直线a与直线b垂直，记作__a⊥b__. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，a′与b′所成的角的大小与点O的选择有关．(　　) (2)设异面直线a，b所成的角与异面直线c，b所成的角相等，则直线a，c平行．(　　) (3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直．(　　) (4)如果两条直线垂直，则这两条直线相交或异面．(　　) 解析　(1)错误，由等角定理知，a′与b′所成的角的大小只由a，b的相互位置来确定，与点O的选择无关． (2)错误，结合长方体分析知，a，c可能平行，可能相交也可能异面． (3)正确，根据直线所成的角的定义与平行线的性质，可得两条平行线与同一条直线所成的角相等，因此两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直． (4)正确，两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 探究一　异面直线所成的角 答题模板　 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)作角：根据两条异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角． (2)证明：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行． (3)计算：求角的值，常在三角形中求解． 【例题1】 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，求异面直线AD与BC1所成角的大小． 解析　如图，取AC的中点E，连接C1E，BE. 因为C1D綊AE，所以四边形AEC1D为平行四边形， 所以C1E∥AD， 所以∠BC1E(或其补角)为异面直线AD与BC1所成的角． 在Rt△ABC中，AC＝＝2，所以BE＝EC＝. 在Rt△C1CE中，EC1＝＝. 又BC1＝2，所以在△BC1E中，BC＝BE2＋EC， 所以∠BEC1＝90°. 所以sin∠BC1E＝＝＝， 所以∠BC1E＝30°，即异面直线AD与BC1所成的角为30°. 【变式1】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC．若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________． 解析　连接A1B，由题意得B1C1∥BC，则∠A1CB(或其补角)就是异面直线A1C与B1C1所成的角．在△A1BC中，BC＝，A1B＝＝，A1C＝＝，即△A1BC为等边三角形，则∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 答案　60° 探究二　直线与直线的垂直 规律总结 证明两条直线互相垂直，应先构造这两条直线所成的角，若能证明这个角是直角，便可得出这两条直线互相垂直． 【例题2】 如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB＝BB′＝2，求证：BD⊥AC′. 证明　如图，取CC′的中点E，连接BE，DE. 因为D为AC的中点，所以DE綊AC′，所以∠BDE(或其补角)就是异面直线BD与AC′所成的角． 因为在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝BB′＝2， 所以BD＝×2＝，AC′＝2，BE＝＝， DE＝，所以BD2＋DE2＝BE2，所以∠BDE＝90°，即BD⊥DE，所以BD⊥AC′. 【变式2】 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长度． 解析　连接CD1，AC，由题意得A1D1∥BC，A1D1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1， 所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角， 因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°， 所以∠AD1C＝90°，所以△AD1C是等腰直角三角形． 所以AD1＝AC． 又底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°， 所以AC＝2×sin 60°×2＝6， 所以AD1＝AC＝3， 所以AA1＝ ＝＝. 1．垂直于同一条直线的两条直线一定(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 答案　D 解析　垂直于同一条直线的两条直线有如图所示的几种位置关系．故选D项． 2．下列三个说法： ①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ②若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ③若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中正确的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　C 解析　①错误，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c异面、平行、相交都有可能；②正确，根据平行线的性质和直线所成的角的定义知②正确；③错误，若a⊥b，b⊥c，则a，c异面、平行、相交都有可能．故选C项． 3．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线中与A1B异面且所成的角为60° 的直线有(　　) A．AC B．AD1 C．B1C D．B1D 答案　ABC 解析　由题意，作出几何图形，如图所示． 连接A1C1，BC1，则三角形A1BC1为正三角形，所以A1C1，BC1与A1B所成的角均为60°，又易知A1C1∥AC，BC1∥AD1，且AC，AD1均与A1B异面，所以AC，AD1符合题意，同理可得B1C也符合题意，而B1D不符合题意．故选ABC项． 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 证明　如图，连接A1C1，B1D1. 设A1C1和B1D1相交于点O，取DD1的中点G， 连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1. 所以∠GOA1(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角． 因为GA1＝GC1，O为A1C1的中点， 所以GO⊥A1C1. 所以异面直线DB1与EF所成的角为90°，所以DB1⊥EF. 学科网（北京）股份有限公司 $$