7.2.2 复数的乘、除运算（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

7.2.2　复数的乘、除运算 [学习目标] 1.掌握复数代数表示式的乘法和除法的运算法则(重点).2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 要点一　复数的乘法 1．运算法则 　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__. 2．运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝__z2z1__ 结合律 (z1z2)z3＝__z1(z2z3)__ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__ 思考：复数的乘法运算与多项式乘法运算类似吗？ 提示　类似，多项式乘法的运算律在复数乘法中也成立，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)． 要点二　复数的除法 1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，则＝＝　＋i　. 2．复数的除法运算 复数除法运算的实质是分母“实数化”(分子、分母同乘分母的“实数化因式”，即分母的共轭复数)，将复数的除法运算转化为复数的乘法运算进行求解． 3．复数代数运算中的常用结论 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)3＝1. (3)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　) (2)两个共轭复数的和与积都是实数．(　　) (3)若ω＝(i为虚数单位)，则ω3＝1.(　　) (4)若z为纯虚数，则z2≥0.(　　) 解析　(1)正确，加减乘除的混合运算法则都是先乘除，后加减． (2)正确，若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以z＋＝2a，z＝a2＋b2,2a与a2＋b2都是实数． (3)错误，ω3＝3＝ ＝＝－i. (4)错误，i是纯虚数，i2＝－1<0. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 探究一　复数的乘法 解题技巧　复数的乘法运算技巧 (1)复数乘法的运算法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．(2)复数乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律． (3)i的幂的周期性：如果n∈N，则有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 【例题1】 计算下列各式的值． (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)(1＋3i)(4－i)； (3)(2＋i)(1－i)(3＋4i)． 解析　(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2＋(－1＋i)＝1＋i. (2)(1＋3i)(4－i)＝4－i＋12i－3i2＝7＋11i. (3)(2＋i)(1－i)(3＋4i)＝(2－2i＋i－i2)(3＋4i)＝(3－i)·(3＋4i)＝9＋12i－3i－4i2＝13＋9i. 【变式1】 设ω＝－＋i，求证：(1)1＋ω＋ω2＝0；(2)ω3＝1. 证明　(1)因为ω2＝2 ＝－i－＝－－i， 所以1＋ω＋ω2＝1＋＋＝0. (2)ω3＝ω·ω2＝＝2－2＝＋＝1. 【例题2】 当z＝－(i为虚数单位)时，z100＋z50＋1＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案　D 解析　因为z2＝2＝＝－i，所以z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i.故选D项． 【变式2】 计算1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 答案　D 解析　因为ik＋ik＋1＋ik＋2＋ik＋3＝ik(1＋i＋i2＋i3)＝ik(1＋i－1－i)＝0(k∈Z)，所以1＋i＋i2＋…＋i100＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i97＋i98＋i99＋i100)＝1＋0＋0＋…＋0＝1.故选D项． 探究二　复数的除法 规律总结　 两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数，在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成(c＋di≠0)的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简后可得结果．这与无理根式的除法运算是类似的，在无理根式的除法运算中，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．在这里分子、分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”． 【例题3】 计算下列各式的值． (1)； (2)； (3). 解析　(1)＝＝ ＝－－i. (2)＝ ＝＝＝＝＋i. (3)＝＝ ＝＝－－i. 【变式3】 计算下列各式的值． (1)＋； (2). 解析　(1)因为＝＝＝－i，＝＝＝i－1，所以原式＝(i－1)＋(－i)＝i－1－i＝－1. (2)＝ ＝＝＝ ＝＝1－i. 探究三　在复数范围内解方程 规律总结　 (1)在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为： ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. (2)在复数范围内，实系数一元二次方程总有两个根．当Δ≥0时，有两个实数根；当Δ＜0时，有两个虚数根，且它们互为共轭复数． 【例题4】 在复数范围内解方程． (1)x2＋4x＋5＝0； (2)2x2－3x＋4＝0. 解析　(1)因为Δ＝42－4×1×5＝－4＜0，所以方程 x2＋4x＋5＝0的根为x＝，即x＝－2±i. (2)因为Δ＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，所以方程2x2－3x＋4＝0的根为x＝，即x＝. 【变式4】 (1)已知1＋i是关于x的方程ax2＋bx＋2＝0(a，b∈R)的一个根，则a＋b＝(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 (2)已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，则实数k的值为________. 解析　(1)当a＝0时，解得b∉R，不符合题意，所以原方程为一元二次方程．因为实系数一元二次方程的虚根成对(互为共轭复数)，所以1±i为方程的两根，所以可得解得故a＋b＝－1.故选A项． (2)由题意得Δ＝k2－4(k2－2k)＝－3k2＋8k＜0，所以 k＜0或k＞，设两根为z1，z2，则z2＝1，|z2|＝|z1|＝1，所以z1·z2＝k2－2k＝1，解得k1＝1－，k2＝1＋(不合题意，舍去)．所以实数k的值为1－. 答案　(1)A　(2)1－ 1．(2024·北京)已知＝i－1，则z＝(　　) A．1－i B．－i C．－1－i D．1 答案　C 解析　由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.故选C项． 2．(2022·全国甲)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 答案　D 解析　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝＝2.故选D项． 3．复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　因为＝＝＝，所以该复数对应的点为，即该点在第一象限．故选A项． 4．已知复数z＝1－2i. (1)若zz0＝2z＋z0，求复数z0的共轭复数； (2)若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，求实数m的值． 解析　(1)因为zz0＝2z＋z0，所以z0＝＝＝2＋i.所以复数z0的共轭复数为2－i. (2)方法一　因为z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，所以(1－2i)2－m(1－2i)＋5＝0，即(2－m)＋(2m－4)i＝0.又因为m是实数，所以2－m＝0，且2m－4＝0，所以m的值为2. 方法二　因为实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，所以1±2i为方程的两根，所以m＝(1＋2i)＋(1－2i)＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$