7.1.2 复数的几何意义（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

7.1.2　复数的几何意义 [学习目标] 1.了解复平面的概念，掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等相关概念(重点).2.理解复数的几何意义(重点).3.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 要点一　复数的几何意义 1．复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做__复平面__，x轴叫做__实轴__，y轴叫做__虚轴__.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点__Z(a，b)__； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量　　. 要点二　复数的模和共轭复数 1．复数的模 (1)定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或__绝对值__，记作|z|或　|a＋bi|　，即|z|＝|a＋bi|＝　　. (2)几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 2．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__共轭虚数__. (3)复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__. 思考：互为共轭复数的两复数的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ 提示　互为共轭复数的两复数的模相等，在复平面内它们对应的点关于实轴对称． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在复平面内，原点是实轴和虚轴的交点．(　　) (2)复数的模一定是正实数．(　　) (3)在复平面内，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．(　　) (4)若两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．(　　) 解析　(1)正确，根据复平面的相关概念可知正确． (2)错误，复数的模可能是0. (3)错误，虚轴上的原点不表示纯虚数． (4)正确，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，因此|z|＝||＝. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　复平面与复数的几何意义 规律总结　 根据复数的定义，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，而每一个有序实数对(a，b)在平面直角坐标系中又唯一确定一个点Z(a，b)(或一个向量)，这就是说，每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量)也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们通过有序实数对，可以建立复数 z＝a＋bi(a，b∈R)和点Z(a，b)(或向量)之间的一一对应关系．点Z和向量是复数z的几何表示，如图所示． 【例题1】 (1)当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于下列位置？ ①x轴正半轴上； ②y轴负半轴上； ③第四象限的平分线上． (2)在复平面内画出下列复数对应的向量． 1，－＋i，－－i. 解析　(1)因为k为实数，所以k2－3k－4，k2－5k－6都是实数，所以复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)． ①由题意得解得所以k＝6.所以当k＝6时，复数z对应的点位于x轴正半轴上． ②由题意得解得所以k＝4.所以当k＝4时，复数z对应的点位于y轴负半轴上． ③由题意得 解得所以k＝5. 所以当k＝5时，复数z对应的点位于第四象限的平分线上． (2)如图，在复平面内画出各复数对应的向量． 显然复数1，－＋i，－－i对应的向量分别为，，. 【变式1】 (1)在复平面内，向量对应的复数为2－i，将向量向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量对应的复数是________． (2)当实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点位于下列位置？ ①第二象限； ②直线y＝x上． 解析　(1)向量平移时向量的坐标表示不变，则向量对应的复数也不变，所以向量对应的复数是2－i. 答案　2－i (2)根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)． ①由点Z位于第二象限，得解得－2＜a＜1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)． ②由点Z位于直线y＝x上，得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1. 探究二　 复数的模 规律总结　 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 【例题2】 求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小． 解析　因为z1＝6＋8i，z2＝－－i， 所以|z1|＝＝10， |z2|＝＝， 所以|z1|＞|z2|. 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z的模． 解析　因为z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数， 所以解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3. 探究三　复数的模的几何意义 规律总结　 解决复数的模的几何意义的问题应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． 【例题3】 已知复数z满足条件|z|2－|z|－6＝0，且复数z在复平面内对应的点为Z，则点Z的集合是什么图形？ 解析　因为|z|2－|z|－6＝0， 所以(|z|－3)(|z|＋2)＝0. 因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3， 所以复数z在复平面内对应的点Z的集合表示的图形是以原点为圆心，3为半径的圆． 【变式3】 如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，那么复数z在复平面内对应的点的集合表示的平面图形是什么？ 解析　因为|z|≤1，所以z在复平面内对应的点组成的图形是一个以原点为圆心，以1为半径的圆面(包括边界)．因为z的虚部的绝对值不小于，所以复数z在复平面内对应的点的集合表示的图形如图中阴影部分(包括边界)所示． 1．复数z＝1＋2i，则复数＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 答案　B 解析　由共轭复数的定义知＝1－2i.故选B项． 2．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　实部为－2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为(－2,1)，位于复平面的第二象限．故选B项． 3．已知i为虚数单位，与x轴同方向的单位向量e1和与y轴同方向的单位向量e2对应的复数分别是(　　) A．1，i B．i，－i C．1，－i D．1或－1，i或－i 答案　A 解析　由题意知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，故对应的复数分别为1，i.故选A项． 4．已知复数z满足z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A． B． C．3 D．4 答案　A 解析　因为复数z＝＝－＋i，所以|z|＝＝.故选A项． 学科网（北京）股份有限公司 $$