7.1.1 数系的扩充和复数的概念（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第七章　复　数 7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 [学习目标] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.通过方程的解，认识复数并了解复数的相关概念.3.理解复数的代数表示和两个复数相等的含义(重点).4.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 要点一　复数的有关概念 1．复数 (1)定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈　R　，i叫做__虚数单位__，a叫做复数的__实部__，b叫做复数的__虚部__. (2)表示方法：复数通常用字母__z__表示，即　z＝a＋bi　(a，b∈R)． 2．复数集 (1)定义：__全体复数__所构成的集合{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母　C　表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 要点二　复数的分类 1．复数的分类 复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示 思考：(1)数系的扩充脉络是什么？ (2)0是复数吗？ 提示　(1)自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集． (2)0既是实数也是复数，可写成a＋bi(a，b∈R)的形式为0＋0i，即0的实部和虚部都是0. 要点三　复数相等的充要条件 　设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　) (3)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为0，那么这两个复数相等．(　　) 解析　(1)错误，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为b. (2)错误，虚数不可以比较大小． (3)错误，方程x2＋x＋1＝0无实数解，但有虚数解． (4)正确，实部和虚部的差都为0表示这两个复数的实部和虚部相等，所以这两个复数相等． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　复数的概念 误区防错　在复数z＝a＋bi(a，b∈R)中应注意的两点： (1)a，b∈R，这是确定z的实部、虚部的前提，并可进一步判定z是实数、虚数还是纯虚数． (2)设复数z时，要注明a，b的范围，如果z是纯虚数，可设z＝bi(b∈R且b≠0)；如果z是虚数，可设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)．形如bi的数不一定是纯虚数，只有b∈R且b≠0时，bi才是纯虚数． 【例题1】 下列命题中，真命题的个数是(　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　①因为x，y∈C，当x＝i，y＝－i时，x＋yi＝1＋i，所以①是假命题；②因为两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．故真命题的个数是0.故选A项． 【变式1】 (多选)下列命题中正确的是(　　) A．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 B．两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等 C．1－ai(a∈R)是一个复数 D．i2(i是虚数单位)是虚数 答案　ABC 解析　对于A项，两个复数相等可以推出它们的实部相等，故A项正确；对于B项，两个复数的虚部不相等可以推出这两个复数不相等，故B项正确；对于C项，1－ai(a∈R)可能是实数，也可能是虚数，实数和虚数都属于复数，故C项正确；对于D项，i2＝－1是实数，故D项错误．故选ABC项． 探究二　 复数的分类 解题技巧　求解复数的分类问题的关键 (1)要判定一个复数是什么类型的数，首先要分清复数的实部和虚部及它们对复数的分类的影响，然后结合定义求解． (2)依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. 【例题2】 当实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋5m＋6)i是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 解析　由已知得复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6. (1)复数z是实数的充要条件是解得m＝－2，所以当m＝－2时，复数z是实数． (2)复数z是虚数的充要条件是解得m≠－3且m≠－2，所以当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数． (3)复数z是纯虚数的充要条件是解得m＝3，所以当m＝3时，复数z是纯虚数． 【变式2】 设复数z＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m取何值时，z是下列数？ (1)实数； (2)纯虚数． 解析　(1)由m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或－2，所以当m＝－1或－2时，z是实数． (2)由解得m＝3，所以当m＝3时，z是纯虚数． 探究三　 复数相等的充要条件 解题技巧　已知两个复数相等，可根据复数相等的充要条件将其转化为方程(组)来求解，体现了化归与转化的思想．当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等、虚部与虚部相等． 【例题3】 已知(x－3y－2)＋(5x＋3y＋4)i＝－4＋12i，求实数x，y的值. 解析　依题意得解得所以实数x，y的值分别为1和1. 【变式3】 (1)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值． (2)已知(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，求实数m的值． 解析　(1)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得消去m，得a＝±，所以实数a的值为或－. (2)由题意得解得m＝2，所以实数m的值为2. 1．复数z＝2 024－2 024i的虚部是(　　) A．－2 024 B．2 024 C．2 024i D．－2 024i 答案　A 解析　由z＝2 024－2 024i，得复数z的虚部是－2 024.故选A项． 2．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数是i，(1－)i，共2个．故选C项. 3．若复数z＝m－1＋(m＋1)i(i为虚数单位)是实数，则实数m的值为(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．－3 答案　B 解析　因为z是实数，所以m＋1＝0，所以m＝－1.故选B项． 4．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________. 解析　由(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i可以得到解得 答案　　 学科网（北京）股份有限公司 $$