8.1 基本立体图形（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第八章　立体几何初步 8.1　基本立体图形 [学习目标] 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.3.发展数学抽象和直观想象的核心素养． 要点一　空间几何体 1．空间几何体的定义 空间中的物体，如果只考虑这些物体的__形状__和__大小__，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__空间图形__就叫做空间几何体． 2．空间几何体的分类 分类 概念 图形 空间几何体 多面体 (1)定义：一般地，由若干个__平面多边形__围成的几何体叫做多面体 (2)相关概念：①面是指围成多面体的各个__多边形__； ②棱是指两个面的__公共边__； ③顶点是指__棱与棱__的公共点 旋转体 (3)定义：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条__定直线__旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 (4)相关概念：轴是指形成旋转体所绕的__定直线__ 练习：如图，下列判断正确的是(　　) A．①是多面体，②是旋转体 B．①是旋转体，②是多面体 C．①②都是多面体 D．①②都是旋转体 答案　A 解析　根据多面体和旋转体的概念可知，①是多面体，②是旋转体．故选A项． 要点二　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 名称 概念 图形及表示 棱柱 (1)定义：一般地，有两个面互相__平行__，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相__平行__，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 (2)相关概念：在棱柱中，两个互相__平行__的面叫做棱柱的底面，它们是全等的__多边形__；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是__平行四边形__；相邻侧面的__公共边__叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的__公共顶点__叫做棱柱的顶点．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体 如图，可记作 棱柱 ABCDEF－ A′B′C′D′E′F′ (续表) 名称 概念 图形及表示 棱锥 (3)定义：一般地，有一个面是__多边形__，其余各面都是有一个__公共顶点__的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 (4)相关概念：多边形面叫做棱锥的__底面__；有__公共顶点__的各个三角形面叫做棱锥的__侧面__；相邻侧面的__公共边__叫做棱锥的侧棱；各__侧面__的__公共顶点__叫做棱锥的顶点．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 如图，可记 作棱锥 S－ABCD 棱台 (5)定义：用一个__平行__于棱锥底面的平面去截棱锥，__底面和截面__之间的那部分多面体叫做棱台 (6)相关概念：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的__下底面__和__上底面__；其他各面叫做棱台的__侧面__；相邻侧面的__公共边__叫做棱台的侧棱；底面与__侧棱__的公共顶点叫做棱台的顶点 如图，可记作 棱台ABCD－ A′B′C′D′　 要点三　圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 名称 概念 图形及表示 圆柱 (1)定义：以__矩形的一边__所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的__旋转体__叫做圆柱 (2)相关概念：旋转轴叫做圆柱的__轴__；垂直于轴的边旋转而成的__圆面__叫做圆柱的底面；__平行__于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，__平行__于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 如图，可记 作圆柱OO′ 圆锥 (3)定义：以直角三角形的__一条直角边__所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 (4)相关概念：如右图所示，轴为__SO__，底面为__⊙O__，SA为母线；另外，S叫做圆锥的__顶点__，OA(或OB)叫做底面⊙O的__半径__ 如图，可记 作圆锥SO 圆台 (5)定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与__截面__之间的部分叫做圆台 (6)相关概念：原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的__下__底面和__上__底面，与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、__侧面__、母线，如右图所示，轴为__O′O__，AA′为母线 如图，可记 作圆台OO′ 球 (7)定义：半圆以它的__直径__所在直线为旋转轴，旋转__一周__形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 (8)相关概念：半圆的__圆心__叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 如图，可记 作球O 要点四　简单组合体 1．概念 由__简单几何体__组合而成的几何体称作简单组合体． 2．构成形式 有两种基本形式：一种是由简单几何体__拼接__而成的；一种是由简单几何体__截去或挖去__一部分而成的． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台．(　　) (2)棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面．(　　) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱．(　　) (4)棱台的侧棱延长后必交于一点．(　　) 解析　(1)错误，应该是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥． (2)错误，如图，前后两个面平行，但不是棱柱的底面． (3)错误，截面垂直于轴才是圆柱． (4)正确，因为棱台是截棱锥所得． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　空间几何体概念的理解及应用 规律总结　 概念辨析的常用方法 (1)利用常见几何体举反例． (2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断． 【例题1】 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称． (1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形； (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体； (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体； (4)一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面围成的几何体． 解析　(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，并且每相邻两个矩形的公共边都相互平行，故该几何体是正六棱柱，如图1. (2)等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台，如图2. (3)可以将梯形ABCD分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB，绕CD所在的直线旋转一周形成一个组合体，它是由一个圆锥和一个圆柱组成的，如图3. (4)如图4是一个球． 　 【变式1】 判断下列说法是否正确． (1)台体上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1； (2)矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱； (3)棱台的侧面是全等的梯形，侧棱长一定相等； (4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形． 解析　(1)正确．台体是由锥体截得的，截面是其上底面，其面积小于下底面的面积． (2)错误．例如矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱． (3)错误．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，棱台的各侧棱延长后交于一点，但是棱台的各侧棱长不一定相等．比如，以菱形(非正方形)为底面的四棱锥截得的四棱台，其侧面全等，但侧棱长不相等． (4)正确．根据圆锥和圆台的结构特征可知说法正确． 探究二　空间几何体的表面展开图 解题技巧　(1)解答空间几何体的表面展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．在给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面． (2)求几何体表面上两点间的最小距离的步骤：①将几何体沿着某条棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；②将所求曲线问题转化为平面上的线段问题． 【例题2】 (1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是(　　) A．3 B．1 C．快 D．乐 (2)圆锥底面半径为1，高为2，轴截面为△PAb.如图，从点A拉一绳子绕圆锥侧面一周回到点A，则最短绳长为________. 解析　(1)由题意，将正方体的展开图还原成正方体如图所示，3与乐相对，2与1相对，0与快相对，所以下面是1.故选B项． (2)如图，将圆锥的侧面展开，则最短绳长为展开的扇形中AA′的长度．因为OA＝1，PO＝2，所以PA′＝PA＝3，底面圆的周长＝2OA·π＝2π，所以∠APA′＝＝，作PD⊥AA′，则∠APD＝，则AA′＝2AD＝2×3×sin＝3，所以最短绳长为3. 答案　(1)B　(2)3 【变式2】 (1)如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是(　　) 　 A　　　　B　　　　　C　　　 　D (2)如图，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40 cm，B1Q＝30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从点P爬到点Q，则蚂蚁爬过的最短路径长是________cm. 解析　(1)将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻平面中的三条线段是平行线，排除A，C项；相邻平面只有两个是空白面，排除D项．故选B项． (2)将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示的矩形．依题意得A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)． 过点Q作QS⊥AA1于点S，在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm)． 所以PQ＝＝10(cm)． 故蚂蚁爬过的最短路径长是10 cm. 答案　(1)B　(2)10 探究三　简单组合体的结构特征 规律总结　 解答组合体问题时应先看图形结构，再与柱、锥、台、球的基本结构相联系．组合体是由简单几何体拼接或截去(挖掉)一部分而成．解决这类判断实物图是由哪些简单几何体所组成的图形的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“拆分”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力． 【例题3】 (多选)如图所示的平面图形，若将其绕轴l旋转180°后形成一个组合体，则下列说法正确的是(　　) A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B．该组合体仍然关于轴l对称 C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D．该组合体中的球和半球只有一个公共点 答案　BCD 解析　平面图形绕轴l旋转180°后形成一个组合体，自左至右可分解为一个圆锥、一个球、一个半球、一个圆柱、一个圆台，故A项错误；由组合体的特征知组合体关于旋转轴对称，故B项正确；由圆锥和球的特征以及图形可知圆锥和球、球和半球都只有一个公共点，故C，D项正确．故选BCD项． 【变式3】 数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，将被授予如图所示的奖杯，那么请问你所获得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？ 解析　奖杯最上部是球体，中间是四棱柱，最下部是四棱台，共三部分拼接而成． 1．下列说法正确的是(　　) A．圆锥的母线长等于底面圆直径 B．圆柱的母线与轴垂直 C．圆台的母线与轴平行 D．球的直径必过球心 答案　D 解析　圆锥的母线长与底面直径无联系，圆柱的母线与轴平行，圆台的母线与轴不平行，只有D项正确．故选D项． 2．下列几何体中棱柱有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 答案　D 解析　由棱柱定义知①③为棱柱．故选D项． 3．下列图形中，不是正方体的展开图的是(　　) 答案　B 解析　根据题意得到A，C，D项折起后均能构成正方体，而B项第一行的两个小正方形不能构成正方体的上、下底面，折起后是缺少一个底面的正方体，且多出一个小正方形．故选B项． 4．已知四边形ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD，且AB>CD，绕AB所在直线旋转一周，所形成的几何体是由________和________构成的组合体． 解析　根据题意可先画一个等腰梯形ABCD，然后以较长底边AB为轴旋转，不难得到几何体应为两个圆锥和一个圆柱所构成的组合体． 答案　两个圆锥　一个圆柱 学科网（北京）股份有限公司 $$