精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁区2024-2025学年九年级上学期数学月考试题

保密★启用前 科中九年级第二次月考质量监测数据采集 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美．下列剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、； ③以点为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点； 正确的操作步骤是（ ） A. ②①③④ B. ②①④③ C. ①②④③ D. ①④②③ 6. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 7. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，若将沿轴向右平移，使得与轴相切，则向右平移的距离为（ ） A. 1 B. 5 C. 3 D. 1或5 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 9. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用. 如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 10. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ） A. 13 B. 14 C. 12 D. 28 二、填空题（共18分） 11. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离．则直线l与的位置关系是 ___________． 12. 如图，在中，若，则与的大小关系是： ___________．（填“>”，“＜”或“=”） 13. 如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 14. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是________． 15. 点是的外心，若，则_____°． 16. 如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______ 秒． 三、解答题（共52分） 17. 如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中．请你画出关于原点对称的，并写出其各顶点坐标； 19. 如图，与相切于点，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接．求证：是的切线； 20. 如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、． （1）求证：是的平分线； （2）若，，求的长． 21. 如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 23. 综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：． （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 科中九年级第二次月考质量监测数据采集 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 剪纸艺术是中国最具特色的民间艺术之一，其中蕴含着极致的数学美．下列剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再根据概念逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 已知点和点关于原点对称，则 （    ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，代数式求值．关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数． 根据点和点关于原点对称求出和，再代入中进行求解． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 3. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 4. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点、、； ③以点为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点； 正确的操作步骤是（ ） A. ②①③④ B. ②①④③ C. ①②④③ D. ①④②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题． 【详解】由题意可得，所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆， ∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴正确的操作步骤是②①④③ 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点． 6. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设（　　） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为2，点的坐标为，若将沿轴向右平移，使得与轴相切，则向右平移的距离为（ ） A. 1 B. 5 C. 3 D. 1或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论．分圆在轴的左侧与轴相切、圆在轴的右侧与轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答． 【详解】解：当圆在轴的左侧与轴相切时，平移的距离为， 当圆在轴的右侧与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向右平移的距离为1或5； 故选：D 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 9. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用. 如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，根据叶片每秒绕原点顺时针转动，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标与相同，且与点关于原点对称，即可求得点的对应点的坐标． 【详解】解：∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴点A的坐标以每6秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第时，点A的对应点的坐标与相同，且与点关于原点对称， 为． 故选：C． 10. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ） A. 13 B. 14 C. 12 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故选：D． 二、填空题（共18分） 11. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离．则直线l与的位置关系是 ___________． 【答案】相离 【解析】 【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的半径为一元二次方程的根， ∴， ∵， ∴直线l与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 12. 如图，在中，若，则与的大小关系是： ___________．（填“>”，“＜”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到．如图，连接、，根据题意知，，又由三角形三边关系得到得到：． 【详解】解：如图，连接、， 在中，若， ， 在中，． ． 故答案为：． 13. 如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴． 14. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是________． 【答案】##2厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， 由旋转的性质得：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为： 15. 点是的外心，若，则_____°． 【答案】或##140或40 【解析】 【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数． 【详解】如图所示： ∵是的外心，， ∴， ∴， ∴的度数为：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理以及圆内接四边形的性质是解题的关键． 16. 如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______ 秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系以及勾股定理，过点作，根据“所对的直角边等于斜边的一半”得出的长，再与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．掌握点与圆的位置关系及直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当火车到点时对处产生噪音影响，此时， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∵火车在铁路上沿方向以即的速度行驶， ∴影响时间应是：（秒）． 故答案为：． 三、解答题（共52分） 17. 如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：， ， ∴， ， ． 18. 如图，已知在平面直角坐标系中．请你画出关于原点对称的，并写出其各顶点坐标； 【答案】见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查了作图—中心对称变换，根据关于原点对称的性质作图图形，结合图形写出坐标即可，熟练掌握关于原点对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 由图可得，，． 19. 如图，与相切于点，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接．求证：是的切线； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，连接，，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，证明得出，即可得证． 【详解】证明：如图所示，连接，， 与相切于点B， ， ， ， 又， ， ， 是的半径， 是的切线． 20. 如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、． （1）求证：是的平分线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即是的平分线； （2）12 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可； （2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中，， 即， 解得，， 则． 21. 如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出； （2）由得：，再根据，，得，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键． 22. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）设点O为圆心，连接交于点M，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径； 【小问2详解】 解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴， 设是半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 所以杯口的直径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． 23. 综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：． （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________． 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45°；②；（2），见解析；（3）2.5 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得； ②证明，由全等三角形的性质得出； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图（1），延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ， ， ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转可得， ，，，， ， ，， ． ． ， ． 设，则． 在中， 解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $