7.1条件概率与全概率公式（六个重难点突破）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

7.1条件概率与全概率公式 一、条件概率的求法（公式法） 四、条件概率的性质及应用 二、条件概率的求法（缩小样本空间） 五、全概率公式的应用 三、乘法公式的应用 六、贝叶斯公式的应用 知识点1条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 重难点一、条件概率的求法（公式法） 【例1】某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 【例2】某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件：甲答对，事件：乙答对， 则有：，， 所以． 故选：D. 【变式1-1】现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 【变式1-2】甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 【变式1-3】已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为 . 【答案】 【详解】设“第一次取到的是正品”，“第二次取到的是次品”， 因为，， 所以. 故答案为：. 重难点二、条件概率的求法（缩小样本空间） 【例3】某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从名男生和名女生共人中选人分别到甲、乙两地，总的选派方法数为种. 派往甲地是男生的情况：先从名男生中选人派往甲地，有种选法；再从剩下的人中选人派往乙地，有种选法. 根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生的选派方法数为种.所以. 派往甲地是男生且派往乙地是女生的情况：先从名男生中选人派往甲地，有种选法；再从名女生中选人派往乙地，有种选法. 根据分步乘法计数原理，派往甲地是男生且派往乙地是女生的选派方法数为种.所以. 根据条件概率公式，将，代入可得：. 在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是， 故选：B. 【例4】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 【变式2-1】某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为“选到的是团员”，事件为“选到的是男生”， 由题意可得：，， 所以． 故选：B． 【变式2-2】公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，， 所以， 故选：C. 【变式2-3】将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为 . 【答案】 【详解】甲分得2张电影券连号的情况有4种，甲分得2张电影券的情况有种， 在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为. 故答案为：. 重难点三、乘法公式的应用 【例5】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 【例6】一个盒子中有个白球、个黑球，从中不放回地每次任取个，连取次．求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：记事件第一次取得白球，事件第二次取得白球，则. （2）解：由题可知，则. 【变式3-1】核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（    ） A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995% 【答案】A 【详解】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为， 故选：A 【变式3-2】已知某品牌的手机从 l m 高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.4，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.2．则这样的手机从 l m 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为 ． 【答案】0.08/ 【详解】若表示第一次未碎掉，表示第二次未碎掉，则，， 所以掉落两次后屏幕未碎掉的概率. 故答案为： 【变式3-3】已知某学校中，经常参加体育锻炼的学生占，而且在经常参加体育锻炼的学生中，喜欢篮球的占．从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到的学生经常参加体育锻炼而且喜欢篮球的概率是多少？ 【答案】 【详解】设事件“抽到经常参加体育锻炼的学生”， 设事件“抽到喜欢篮球的学生”， 则， 所以 所以抽到的学生经常参加体育锻炼而且喜欢篮球的概率是 重难点四、条件概率的性质及应用 【例7】（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若事件A，B互斥，，，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BC 【详解】 ，∴，A错. ，B对. 令，，，∴， ，∴， ，∴，C对. ，D错， 故选：BC. 【例8】已知事件A和B是互斥事件，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，， 则． 故答案为：． 【变式4-1】已知随机事件A，B，，，，则 . 【答案】 【详解】依题意得，所以 故，所以. 故答案为：. 【变式4-2】已知，，，则 ， ． 【答案】 【详解】因为， 所以，因为，， 所以， 所以， ， 从而． 故答案为：；. 【变式4-3】已知，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以事件A与事件B相互独立， 则事件与事件也相互独立， 则. 故答案为：. 知识点2全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 重难点五、全概率公式的应用 【例9】某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，设王同学第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 第一天去餐厅为事件，第二天去餐厅为事件， 则，， 则根据全概率公式，. 故选：C. 【例10】某工厂甲、乙车间次品率分别为和，产品占比为.随机抽取一件，求是次品的概率. 【答案】 【详解】设事件为“取到的产品来自甲车间”，事件为“取到的产品来自乙车间”， 事件为“取到的产品为次品”， 则，，， 所以. 【变式5-1】现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【答案】 【详解】设抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，，． 由全概率公式得． 故答案为：. 【变式5-2】某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【答案】/0.6875 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 【变式5-3】某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件表示“甲第一次从A箱中抽到代数题”，事件表示“甲第二次从A箱中抽到几何题”， 则． 在发生的条件下，A箱中还剩下3道代数题和2道几何题，所以． 故． （2）设事件为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出2道代数题”， 事件为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”， 事件为“乙从A箱中取出2道几何题”， 则． 当发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，； 当发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，； 当发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，． 由全概率公式可得． 知识点3贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 重难点六、贝叶斯公式的应用 【例11】有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的， 事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品， 则，，， ，，， 由贝叶斯公式可得. 因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为. 故选：C. 【例12】某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 【答案】 【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试， 则有，，，， 由全概率公式可得： ； 由贝叶斯公式可得： . 故答案为：； 【变式6-1】某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为×=， 市民开私家车出行迟到的概率为×=， 市民骑行或步行出行迟到的概率为×=， 则这名市民迟到的概率为×+×+×=， 故所求的概率为. 故选：C. 【变式6-2】设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 【变式6-3】把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ； （2）（i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ， 分别记、、为、、， 则 . 一、单选题 1．设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 又， 所以， 所以，即， 即，于是. 故选：B. 2．某高校两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6门选修课程中任选3门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了2门相同课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法1：记“这两名学生所选课程中有相同课程”为事件A，“这两名学生恰好选择了2门相同课程”为事件B．由题意知，所求事件的概率为． 这两名学生从6门课程中任选3门的不同方法有（种）， 其中这两名学生所选课程中有相同课程的不同方法有（种）． 故事件A的概率为． 事件AB对应的不同方法数有（种）， 故事件AB的概率为． 由条件概率公式可得． 方法2：压缩基本事件空间  依题意，这两名学生所选课程中有相同课程的方法种数为， 这两名学生恰好选择了2门相同课程的方法种数为． 所以所求概率． 故选:C． 3．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球， 由题意可知，，， 所以， 故选：B 4．设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．若，则A与B相互独立 【答案】C 【详解】对于A选项，，若，则，不符合题意，故A选项不正确； 对于B选项，，若， 则，所以，即不符合题意.故B选项不正确； 对于C选项，因为A与B互斥，所以，又，， 所以，，所以，故，故C选项正确； 对于D选项，，不能说明成立，故D选项不正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：理解独立事件的判断方法，以及条件概率的计算公式是解决这类问题的基础. 5．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在到中与互质的有1,5,7,11,13,17,19，即； 由二次剩余的定义，假设是的二次非剩余，则整数的整数不存在， 当时，，当时，， 当时，不存在， 即， 由事件中有种情况，事件有种情况， 所以. 故选：C. 6．甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 二、多选题 7．一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、设第一摸出黄球求事件，第二次摸出红球为事件， 由前面的计算可得， 由条件概率公式，所以选项D正确. 故选：ABD. 8．已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（    ） A．与相互独立 B．与互为对立 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，，，，，则，互为对立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．在10道试题中有6道代数题和4道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是 【答案】 【详解】设事件为“第1次抽到几何题”，事件为“第2次抽到代数题”， 则“第1次抽到几何题且第2次抽到代数题”就是事件， 其中，， 利用条件概率公式，得． 故答案为：. 10．在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个．要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束．若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品．若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为 ． 【答案】 【详解】设，分别表示第一次抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件， 设表示第二次抽到的小球的颜色是红的事件， 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲获得奖品的概率为： . 故答案为： 11．已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0分的概率是 . 【答案】 0.24/ 0.36/ 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以，即此题得满分的概率是0.24； 所以，即此题得满分的概率是0.36. 故答案为：0.24；0.36. 四、解答题 12．已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意共有30个学生，喜欢长跑的有18人， 设“所抽到的学生喜欢长跑”为事件，则. 故所抽到的学生喜欢长跑的概率为 （2）设“所抽到的学生为男生”为事件，则由题意，, 故， 即已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率为 13．某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设此人得到的卡片中红色的有张，蓝色的有张，则，， ， 即此人至少得到一张红色卡片的概率为. （2）由题可得 ， 即若已知此人至少有一张红色卡片，则此人至少有一张蓝色卡片的概率为. 14．电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设甲平台向该用户推送为事件，推送为事件，则甲平台没有向该用户推送为事件，由题设可知： ，，，， 又，所以， （2）设平台向该用户推送为事件， 则这两个平台向该用户至少推送A、B、C中的一种的概率为：， 因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以， 因为，所以， 即， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1条件概率与全概率公式 一、条件概率的求法（公式法） 四、条件概率的性质及应用 二、条件概率的求法（缩小样本空间） 五、全概率公式的应用 三、乘法公式的应用 六、贝叶斯公式的应用 知识点1条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 重难点一、条件概率的求法（公式法） 【例1】某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【例2】某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为，两人都答对的概率为，则甲答对的前提下乙也答对的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知在10件产品中有2件次品，现从中任取两次，每次取一件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概率为 . 重难点二、条件概率的求法（缩小样本空间） 【例3】某医学院计划从4名男生和3名女生中选派2人分别到甲、乙两地参加义诊活动，则在派往甲地是男生的条件下，派往乙地是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【例4】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为 . 重难点三、乘法公式的应用 【例5】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6】一个盒子中有个白球、个黑球，从中不放回地每次任取个，连取次．求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一、第二次都取得白球的概率； 【变式3-1】核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（    ） A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995% 【变式3-2】已知某品牌的手机从 l m 高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.4，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.2．则这样的手机从 l m 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为 ． 【变式3-3】已知某学校中，经常参加体育锻炼的学生占，而且在经常参加体育锻炼的学生中，喜欢篮球的占．从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到的学生经常参加体育锻炼而且喜欢篮球的概率是多少？ 重难点四、条件概率的性质及应用 【例7】（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ） A．若事件A，B互斥，，，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【例8】已知事件A和B是互斥事件，，，，则 ． 【变式4-1】已知随机事件A，B，，，，则 . 【变式4-2】已知，，，则 ， ． 【变式4-3】已知，则 . 知识点2全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 重难点五、全概率公式的应用 【例9】某学校有两家餐厅，王同学第一天去两个餐厅的概率分别是和，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则王同学第二天去餐厅的概率为（    ） A． B． C． D． 【例10】某工厂甲、乙车间次品率分别为和，产品占比为.随机抽取一件，求是次品的概率. 【变式5-1】现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【变式5-2】某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【变式5-3】某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答． (1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率； (2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率． 知识点3贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 重难点六、贝叶斯公式的应用 【例11】有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【例12】某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 【变式6-1】某城市交通部门对市民上班的出行方式进行了一项调查，调查结果显示，有的市民乘坐公共交通工具（如公交、地铁），有的市民开私家车，有的市民选择骑行（如自行车，电动车）或步行．进一步的数据显示，在乘坐公共交通工具出行的市民中，有的人迟到，在开私家车出行的市民中，有的人迟到，在骑行或步行出行的市民中，有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【变式6-3】把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 一、单选题 1．设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．某高校两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6门选修课程中任选3门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了2门相同课程的概率为（    ） A． B． C． D． 3．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若A与B互斥，则 D．若，则A与B相互独立 5．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则（    ） A． B． C． D． 6．甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回则下列说法正确的是（   ） A．第二次摸出红球的概率为 B．第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C．第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D．已知第二次摸出红球，则第一次摸出黄球的概率为 8．已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（    ） A．与相互独立 B．与互为对立 C． D． 三、填空题 9．在10道试题中有6道代数题和4道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到几何题的条件下，第2次抽到代数题的概率是 10．在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个．要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束．若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品．若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为 ． 11．已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0分的概率是 . 四、解答题 12．已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人.现从这个班级中随机抽出一名学生，思考如下问题： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率. 13．某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 14．电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和，在乙电商平台推广新品．已知甲平台向一用户推送的概率为0.7，推送的概率为0.5，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送的概率为0.6，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响． (1)在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送的概率； (2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C中的一种的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$