精品解析：陕西省榆林市府谷县府谷中学2024-2025学年高一下学期第一次质量调研检测数学试题

府谷中学2025年春高一年级第一次质量调研检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得的虚部，即可判断；由复数模的运算即可判断；由共轭复数的定义即可判断；虚部不为0的复数不能比较大小，即可判断. 【详解】由已知可得的虚部为，故错误； ，故错误； ，故正确； 虚部不为0的复数不能比较大小，故错误. 故选：C. 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念及加法运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 3. 已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由处于静止状态可知三个力合成为，由此得出的坐标. 【详解】因为该物体静止，即受力平衡，三个力的合力为，即， 所以. 故选：A. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值. 【详解】由，且，则， 所以. 故选：D 5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 设的夹角为， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 6. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的夹角为钝角等价于且不共线，即可计算出答案. 【详解】依题可得，且不共线，即 解得且. 故选: 【点睛】本题考查向量的坐标运算.属于基础题.解本题时需要注意的是与的夹角为钝角等价于且不共线，不共线是非常容易遗忘的. 7. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理化简求解即可. 【详解】由及正弦定理、余弦定理得， 所以，所以. 故选：A. 8. 在中，点满足，点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得点为的中点，再应用向量加法几何意义及共线向量定义，利用基本不等式求数量积的范围. 【详解】由，得，所以，点为的中点， 所以， 当且仅当点为中点时取等号，且， 故的取值范围是. 故选：D 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示，结合基底的定义依次求解即可. 【详解】对于A，零向量与任意向量共线，则向量与共线，不能作为基底，A不是； 对于B，由，得与不共线，能作为基底，B是； 对于C，由，得与不共线，能作为基底，C是； D：由，得与不共线，能作为基底，D是. 故选：BCD 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 【答案】AB 【解析】 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对向量新定义运算的理解，结合向量的数量积公式、三角函数关系以及向量模的计算公式来逐一分析各个选项. 【详解】对于A，由，得，而，因此， 又，则或，所以，A正确； 对于B，，当时，， 当时，，B错误； 对于C，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，C正确； 对于D，由，得，由，得， 两式平方相加得，则， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则与方向相同的单位向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量的定义写出与方向相同的单位向量. 【详解】因为，所以，则， 所以与方向相同的单位向量为. 故答案为： 13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得. 【详解】记与交于点O，， 由题知，①， 在中，由余弦定理有②， 联立①②解得， 所以， 因为，所以. 所以， 以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为______. 【答案】． 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，由锐角三角形得出角范围，从而得的范围，由正弦定理得，再化为的三角函数，由的范围得出结论． 【详解】由已知，由正弦定理得， 所以，，则， 是锐角三角形， 所以，，所以，， 所以． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知是虚数单位，复数（）． （1）若为纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解出的值，可得出复数，再利用共轭复数的定义可得出复数； （2）根据复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：若为纯虚数， 则，解得，则， 所以. 【小问2详解】 解：若在复平面内对应的点在第四象限， 则，解得. 即实数的范围为. 16. 已知不共线的向量满足. （1）若，求； （2）若，求向量夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解即可； （2）利用向量数量积的运算律及垂直的向量表示，向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，整理得， 所以，即， 设与的夹角为，则. 17. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角； （2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 故的周长为12. 18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以. 【小问2详解】 设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 19. 如图，某开发区有一边长为的正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路. （1）若小路，求小路的长； （2）现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积. 【答案】（1）150m （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，结合余弦定理求出的长度，在用的长减去的长度， （2）根据健身区的面积占整个场地面积的求出的长度，再求出的长度，再结合相似求出的长度，从而求出的面积. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得， 即， 整理得， 解得（负值舍去）， 所以. 故小路的长为. 【小问2详解】 由题知，的面积为， 又，所以，所以， 由是中位线易得，所以， 带入解得， 所以. 故休闲区的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学2025年春高一年级第一次质量调研检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章第1节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点满足，点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角所对的边分别为，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的形状能唯一确定 11. 已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则与方向相同的单位向量是__________. 13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________. 14. 已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知是虚数单位，复数（）． （1）若为纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 16. 已知不共线的向量满足. （1）若，求； （2）若，求向量夹角的余弦值. 17. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 19. 如图，某开发区有一边长为的正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路. （1）若小路，求小路的长； （2）现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区.若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $