精品解析：广东省揭阳第一中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段考试数学试卷

2024—2025学年度揭阳第一中学高二第二学期第一次阶段考试 数学科试卷 一､单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合，结合，可判断每个选项的正误. 【详解】因为，所以或， 又因为，所以，故A错误；，故B错误； ，故C正确，，故D错误. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过求解即可； 【详解】解法一：， 解法二：因为，所以， 故选：A. 3. 若双曲线实轴长为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，解方程即可. 【详解】因为双曲线的实轴长为4， 所以，解得. 故选：A. 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设，可得，解得或. 当时，，此时，当时，，此时， 所以“”不能推出“”；“”能推出“”， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 36 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等比数列通项公式求出，进而得到的值，也就得到的值，再根据等差数列的性质及前项和公式求出. 【详解】已知数列为等比数列，设公比为， 已知，，那么. 又因为，所以. 对两边同时开平方，得到，即.  由，已知，，所以. 因为，所以.  在等差数列中，. 又因为，所以.  故选：C. 6. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可 【详解】由题,, 因为,则若函数在区间存在单调递减区间, 即在上有解, 即存在,使得成立, 设,则, 当时,, 所以即, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想 7. 设双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线C的离心率为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】取M为的中点，为右焦点，根据条件得，由在上的投影向量的模为得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】取M为的中点，为右焦点，∵, ∴，∴，∵在上的投影为，∴, ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 故选：C 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线的离心率问题往往需根据题目条件建立关于的一个等量关系或不等关系，结合离心率定义得解. 8. 棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 动点的轨迹的长度为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【答案】C 【解析】 【分析】取，的中点，连接，可得为动点的轨迹，计算可判断A；当为的中点时，，求解可判断B；由，可得在处时，体积最小，求解可判断C；外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D. 【详解】对于A，取，的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，又， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为动点的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A正确； 对于B，又易得，所以为的中点时，， 此时，所以的最小值为，故B正确； 对于C，，其中为到的距离， 所以最小时，最小，显然在处时，最小， 此时，故C错误； 对于D，因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为，由，可得， 所以，解得， 所以，所以外接球的表面积为，故D正确. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知是数列的前项和，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据代入得，再代入求得，即可判断选项A；根据与可得数列是首项为1，公比为4的等比数列，即可判断选项B；由选项B可求出数列的通项公式，根据与即可求出数列的通项公式，进而判断选项C；根据数列的通项公式可得数列是首项为0，公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断选项D. 【详解】因为，所以当时，； 当时，.故选项A正确. 因为，即，所以. 因为，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列.故选项B正确. 由选项B知，，所以，即当时，. 当时，不满足上式，所以，故选项C错误. 由知，所以数列是首项为0，公差为1的等差数列， 所以数列的前项和为，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的导函数为（ ） A. 若有三个零点，则 B. C. 是的极小值点 D. 当时，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数判断出单调性并求出、，结合零点定义逐项判断可得答案. 【详解】因为函数，所以， 令，解得，或， 当，或，，当，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， ，， 对于A，由得， 即，， 因为在上单调递减，所以在上只有一个零点， 因为，在上单调递增， 可得在上只有一个零点， 因为，在上单调递增， 可得上只有一个零点， 综上，有三个零点，故A正确； 对于B，， ， 所以，故B正确； 对于C，是的极大值点，故C错误； 对于D，当时，则， 解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得,故，即B正确； 对于C， 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点, 由解得，由解得，, 即得, 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为， 于是,由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题. 解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用极限运算法则与导数的定义可求得. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 13. 某商场进行“福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，可获奖.则获奖概率是__________. 【答案】# 【解析】 【分析】根据古典概型结合组合数计算获奖的概率． 【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以， 故答案为：. 14. 已知正项数列中，，且，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分析可得，利用裂项相消法可得，进而求的取值范围即可得解. 【详解】因为，则， 且，可得，即， 则， 又因为，即，且， 可得，即，故， 若，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两次余弦定理即可. （2）利用，得出，，然后结合两角和差公式即可. 【小问1详解】 在中， 又因为 由余弦定理可得. 【小问2详解】 由（1）可得， 从而，. 故 16. 已知函数的图象在点处的切线经过点. （1）证明：数列是等差数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出切线方程，然后将代入，得到的通项公式，然后利用等差数列的定义证明即可； （2）由（1）得到，所以，然后利用错位相减法即可求出答案. 【小问1详解】 ， 所以切线的斜率为， 又，所以直线的方程为， 代入得， 所以，所以， 所以为以为首项，为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， ， ， 两式相减得 ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点是的中点，点在底面上的射影为点，点在棱上，且四棱锥的体积为． （Ⅰ）若点是的中点，求证：平面平面； （Ⅱ）若，且二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意结合体积公式可得．据此可知证得，同理可得．结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明题中的结论即可； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，由结合点的坐标可得，据此可得平面的一个，平面的一个法向量为，据此得到关于的方程，解方程即可确定的值. 【详解】（Ⅰ）因为点在底面上的射影为点，所以平面， 又四边形是边长为的正方形，且四棱锥的体积为， 所以，即，所以． 又，点是的中点，所以，同理可得． 又，所以平面， 又平面，所以平面平面． （Ⅱ）如图，连接，易得，，互相垂直，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，， 因为，点在棱上，所以， 又，所以，所以， 设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，可得，所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为，二面角的余弦值为， 所以，即， 解得（负值舍去）． 【点睛】本题考查了立体几何中面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18. 如图，已知：椭圆，椭圆的左、右焦点为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， （1）求双曲线的标准方程； （2）过椭圆左焦点作圆的切线，求切线方程． （3）设为（1）中双曲线上异于顶点的任一点，直线和，与椭圆的交点分别为和．是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设双曲线方程为（），根据题意，可求得m的值，即可得双曲线方程； （2）讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，当切线斜率存在时，设切线方程为，利用圆心到切线的距离对于半径，求出斜率，即可得到切线方程． （3）设的方程为，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得的表达式，同理可得的表达式，再可得，从而化简可解. 【小问1详解】 由题意设等轴双曲线的标准方程为， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 又椭圆，则椭圆的左、右焦点为， 所以， 因此双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 所以直线不是切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离为， 化简得，解得， 所以切线方程. 【小问3详解】 设， 设直线的方程为， 由，得， 显然，可得， 由韦达定理得， ∴， 同理可得，则 设．则， ∵点在双曲线上，所以， ∴， ∴， 故， 因此存在，使恒成立． 【点睛】关键点点睛：设，则，，由点在双曲线上，得从而. 19. 已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数可确定单调性，由极值定义可求得结果； （2）利用导数可确定的单调性；当时，可知，解不等式可知无满足题意的值；当时，根据，分别在，和三种情况下，根据在有唯一零点可构造不等式求得结果； （3）将恒成立不等式化为，令得，令可确定，使得，由此可得，进而得到的范围，从而得到. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ①当时，在上单调递增，若在上有唯一零点，则， 即，解得：（舍）； ②当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，即时，，则在上无零点，不合题意； 当，即时，在上有唯一零点，满足题意； 当，即时，由得：， 在上有唯一零点，此时需，即； 综上所述：当或时，在上有唯一零点， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 若对恒成立，即对恒成立，则， 令，则， 令，则，在上单调递增， ，，，使得， 即， 则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ， ，，， ，整数的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解本题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系比较问题，即若恒成立，则；若恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度揭阳第一中学高二第二学期第一次阶段考试 数学科试卷 一､单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A 10 B. C. 5 D. 3. 若双曲线的实轴长为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列为等比数列，且，设等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. 36 D. 18 6. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 设双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线C的离心率为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 动点的轨迹的长度为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知是数列的前项和，若，则下列结论中正确的有（ ） A B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和为 10. 已知函数的导函数为（ ） A. 若有三个零点，则 B. C. 是的极小值点 D. 当时，则 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数满足，则__________. 13. 某商场进行“福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，可获奖.则获奖概率是__________. 14. 已知正项数列中，，且，若，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为.已知，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数的图象在点处的切线经过点. （1）证明：数列是等差数列. （2）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点是的中点，点在底面上的射影为点，点在棱上，且四棱锥的体积为． （Ⅰ）若点是的中点，求证：平面平面； （Ⅱ）若，且二面角余弦值为，求的值． 18. 如图，已知：椭圆，椭圆的左、右焦点为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， （1）求双曲线的标准方程； （2）过椭圆左焦点作圆的切线，求切线方程． （3）设为（1）中双曲线上异于顶点的任一点，直线和，与椭圆的交点分别为和．是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围； （3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$