精品解析：江苏省南京市江宁区南京东山外国语学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024－2025学年度第二学期第一次调研测试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 5. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 若从甲、乙、丙、丁、戊五位老师中任选两位一起帮图书馆整理书籍，所需的时间如下表：如果选一个人单独去整理，花时间最少的是 合作方式 甲、乙 乙、丙 丙、丁 丁、戊 戊、甲 所需时间（h） 13 9 10 12 8 A. 甲 B. 戊 C. 丁 D. 丙 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 分解因式：_____． 8. 太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为________． 9. 已知3＋是关于x的方程x2－6x＋m＝0的一个根，则m＝_____． 10. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______． 11. 若△ABC的三边长为3、4、5，则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为___． 12. 当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为__． 13. 一个扇形的面积为，半径为6，则此扇形的圆心角是_____度． 14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米． 15. 如图，二次函数的图像交轴于两点（在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图像交于点，则点坐标为______． 16. 如图，已知正方形的对角线交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 先化简，再求值：(a+2﹣)÷，其中a＝﹣． 18. 解不等式组： 并写出该不等式组的最小整数解． 19. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果是的中点，且，求的长． 20. 如图，在中，，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，过点C且与相切；（作出一个即可） （2）在图②中，为上一定点，过点且与相切． 21. 已知函数与（a为常数，且）． （1）若，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点； （2）若，当时，比较与的大小，并说明理由； （3）当时，，直接写出a的取值范围． 22. 如图，在矩形中，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点A停止．在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿运动．当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）用含t的代数式表示线段的长． （2）以为边作矩形，使点M与点A在所在直线的两侧，且． ①当点Q在边上，且点M落在上时，求t的值． ②当点M在矩形内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围． （3）当Q在边上时，有一点E在边上，且．若在线段上只存在一点F，使，直接写出符合要求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期第一次调研测试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解． 【详解】-4的相反数是4， 故选：C． 【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出不等式，求出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义，则， 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是正确掌握二次根式的定义． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项以及幂的乘方运算法则进行判断即可． 【详解】A. 与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，故本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查幂的混合运算，合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律探索、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理，求出，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，求出，，，，，，，，…，由此可得，次一循环，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图，连接， ， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形依此方式， ∴相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，，…， 由此可得，次一循环， ∵， ∴点的坐标为， 故选：B． 6. 若从甲、乙、丙、丁、戊五位老师中任选两位一起帮图书馆整理书籍，所需的时间如下表：如果选一个人单独去整理，花时间最少的是 合作方式 甲、乙 乙、丙 丙、丁 丁、戊 戊、甲 所需时间（h） 13 9 10 12 8 A. 甲 B. 戊 C. 丁 D. 丙 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题的最值，解题时，利用了对比的方法进行解答．根据图中的数据通过两两对比进行分析解答． 【详解】解：根据甲、乙与乙、丙合作所需时间进行对比知，所需的时间是甲丙； 根据丙、丁与乙、丙合作所需时间进行对比知，所需的时间是丁乙； 根据丙、丁与丁、戊合作所需时间进行对比知，所需的时间是戊丙； 根据戊、甲与丁、戊合作所需时间进行对比知，所需的时间是丁甲； 根据甲、乙与戊、甲合作所需时间进行对比知，所需的时间是乙戊； 综上所述，所需时间的大小关系为：丁甲乙戊丙． 所以，花时间最少的是丙． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 8. 太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】用科学记数法可以表示为． 故答案为：． 9. 已知3＋是关于x的方程x2－6x＋m＝0的一个根，则m＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】将3＋代入方程x2－6x＋m＝0得到一个关于m的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：将3＋代入方程x2－6x＋m＝0得： （3＋）2－6（3＋）＋m＝0，解得：m=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键在于理解方程的解一定满足该方程． 10. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题-增长率问题，由第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，设月平均增长率为，得到第二个月和第三个月进馆人次，求和即可得到方程．掌握增长率问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，进馆人次的月平均增长率为， 第二个月进馆人次；第三个月进馆人次； 由到第三个月末累计进馆1456人次可得方程， 故答案为：． 11. 若△ABC的三边长为3、4、5，则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为___． 【答案】 【解析】 【分析】先证明△ABC为直角三角形，然后可知外接圆的半径为斜边的一半，然后求出内切圆的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图所示：连接DF，EF． ∵32+42=52， ∴△ABC为直角三角形． ∴它的外接圆的半径为：． ∵AB是圆的切线，DF是圆的半径， ∴DF⊥AB． 同理EF⊥BC． ∴∠FDB=∠DBE=∠BEF=90°． ∴四边形DBEF是矩形． ∵DF=EF， ∴四边形DBEF是正方形． ∴DB=BE． 设圆F的半径为r，则4-r+3-r=5． 解得：r=1． ∴它的内切圆的半径为1． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆，利用切线长定理列出方程是解题的关键． 12. 当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为__． 【答案】3 【解析】 【分析】根据当和时，二次函数的函数值相等，得出以m、n为横坐标的点关于直线对称，得出，求出，然后将，代入函数解析式，得出即可． 【详解】解：∵当和时，二次函数的函数值相等， ∴以m、n为横坐标的点关于直线对称，则 ， ∴， ∵， ∴，函数． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称． 13. 一个扇形的面积为，半径为6，则此扇形的圆心角是_____度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积以及圆心角问题．设扇形的圆心角为度，根据扇形面积公式 列出方程求解． 【详解】解：由扇形面积公式得， 化简得， 两边同时除以得，即， 解得． 故答案为：120． 14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米． 【答案】2.6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 为2.6米， 故答案为：2.6． 15. 如图，二次函数的图像交轴于两点（在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图像交于点，则点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的直角，勾股定理，过点作于，过点作于，于，连接，设直线与轴相交于点，利用解直角三角形求出点的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，再联立函数解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，于，连接，设直线与轴相交于点，则四边形为矩形， ∴，，， ∵二次函数， ∴， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式得，， 解得或， ∴点坐标为， 故答案为：． 16. 如图，已知正方形的对角线交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，且交于点，证明四边形为平行四边形，得出，由正方形的性质得出，则可得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】正方形 取的中点，连接，且交于点 为的中点 四边形为平行四边形 四边形是正方形 关于对称 ，即与重合时，最小，最小值为的长 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、三角形中位线以及勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长来表示是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 先化简，再求值：(a+2﹣)÷，其中a＝﹣． 【答案】，. 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可． 【详解】原式＝ ＝ ＝， 当a＝﹣时，原式＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键． 18. 解不等式组： 并写出该不等式组的最小整数解． 【答案】，不等式组的最小整数解为0 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，运用解一元一次不等式组的一般步骤求出解集，再求最小整数解即可． 【详解】解∶ 解不等式， 得∶ ， 解不等式 得∶， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的最小整数解为0． 19. 如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如果是的中点，且，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：如图所示， ∵平分 ∴ 又∵， 则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，根据，得出，则可得，根据已知，得出，即可得证； （2）根据角平分线的定义得出，又，根据三角形内角和定理得出，由是的直径，即可得证； （3）取的中点，连接，证明，由是的中点，是的中点，得出，进而得出，设，则，勾股定理得出，,证明得出，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，取的中点，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图，在中，，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图①中，过点C且与相切；（作出一个即可） （2）在图②中，为上一定点，过点且与相切． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、尺规作图—复杂作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （）以为圆心，为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点，交于，以为圆心，为半径画圆，即为所求；作图中先由确定点，再作的垂直平分线交于，通过证，得，即，又为半径，根据切线判定定理，可证是的切线，且过点，故作图正确． （）作的垂直平分线交于，以为圆心，为半径画弧交于点，以为圆心，为半径画弧交于点，过点作垂线交垂直平分线于点，以为圆心，为半径画圆，即为所求．先作的垂直平分线，保证圆心在这条线上，从而有，使圆过两点；再通过尺规截取线段，构造出点，过作的垂线与垂直平分线交于，得到；结合作图中保证的，根据切线判定定理，可证是的切线，因此该作图满足所有条件，过程正确． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵以为圆心，为半径画弧交于， ∴ ∵分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点与点，交于， ∴是的角平分线 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∵以为圆心，为半径画圆， ∴ ∴是的半径，且 ∴是的切线，且过点，满足题目要求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 设的垂直平分线为，则圆心在上， ∴，满足圆过两点的条件 ∵以为圆心、为半径画弧交于，再以为圆心、为半径画弧交于， ∴， ∵过作的垂线，与的垂直平分线交于点 ∴， ∵由作图可知，和均为的半 径， ∴ ∵且是半径， ∴根据切线判定定理，直线与相切， ∴满足过点(因)，与相切(因且为半径) 因此，该作图过程是正确的． 21. 已知函数与（a为常数，且）． （1）若，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点； （2）若，当时，比较与的大小，并说明理由； （3）当时，，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）当时，；理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及不等式，二次函数与一元二次方程的关系等知识， （1）令，得，证明，即可得与的函数图象总有两个公共点； （2）设，可得图象的对称轴为直线，故y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，而当时，，当时，，即可知； （3）由（2）知的图象的对称轴为直线，根据当时，，可知当时，y的最大值为负数，分两种情况：当时，在时取最大值，有，当时，在顶点处，即时取最大值，有，解不等式可得答案； 解题的关键是掌握二次函数的性质． 【小问1详解】 令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即与的函数图象总有两个公共点； 【小问2详解】 设， ∵函数的图象的对称轴为直线， ∴函数的图象在时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， 当时，， ∵， ∴，即时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，当时，； 【小问3详解】 由（2）知的图象的对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，y的最大值为负数， 当时， ∵， ∴在时取最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，在顶点处，即时取最大值， ∴，解得， ∴， 综上所述，a的范围是或． 22. 如图，在矩形中，．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点A停止．在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿运动．当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）用含t的代数式表示线段的长． （2）以为边作矩形，使点M与点A在所在直线的两侧，且． ①当点Q在边上，且点M落在上时，求t的值． ②当点M在矩形内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围． （3）当Q在边上时，有一点E在边上，且．若在线段上只存在一点F，使，直接写出符合要求t的取值范围． 【答案】（1）或； （2）①；②t的取值范围为或； （3）t的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，即可分别表示出； （2）①根据矩形的性质可证得，根据相似三角形的性质，列出方程，解方程即可求解；②分两种情况，画出图形，即可求解； （2）分二种情况，画出图形，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 答：或； 【小问2详解】 解：①当点Q在边上，且点M落在上时，如图①， 四边形、都是矩形， ，， ，， ， ， ， 即，解得； ②如图②，此时， 当点Q、M都在边上，点P、N都在边上时，，， 此时四边形是矩形，， 即， 解得， 如图③，此时， 综上，当点M在矩形内部时，t的取值范围为或； ； 【小问3详解】 解：如图④，当点P在点E的左侧时，以为直径的圆与只有一个交点，此交点即为点F，此时， 当时，，解得， 此时t的取值范围为：， 如图⑤，当以为直径的圆与相切时， ，，， ， 以为直径的圆与相切， ， ， ，， ， ， ， ， 解得或(舍去)， 此时； 综上，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查了动点问题，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $