2.3 解二元一次方程组（第一课时 讲练）（9大题型52题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

消元 思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.（“消元”的实质：减少未知数的个 数，使受元一次方程组最终化为元一次才程。） 代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为 (或)的形式 选系数简单，易变形的方程 代入 把 (或) 代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 不能代入变形前的方程 求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不要漏乘，移项时要变号 回代 把求得的未知数的值代入“变形”步骤中变形后的方程 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“”将未知数 的值联立起来 三种形式的代入消元法 直接代入 直接代入的条件是有一个方程为一个未知数关于另一个未知数的表达式. 变形后代入 变形后再代人一般是将某一个方程变成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式. 整体代入 整体代人的条件是方程组中同一未知数的系数成倍数关系. 提示：(1)通常应选择比较简单、容易变形的一个方程进行变形； (2)“变形”后一定要注意将所得的代数式代入另一个方程. 简记：变形→代入→求解一回代→写出解. 【基础练习】 【练习1-1】下列各组数值中，是二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【练习1-2】用代入法解方程组 【练习1-3】阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为x+y＝7，然后把第二个方程中的x+y换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． （1）请按照小强的解法解出这个方程组； （2）用整体代入法解方程组． 【典例】用“代入法”将方程组中的未知数消去后，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】对于二元一次方程组，将上面的方程①代入下面的方程②，消去y可以得到（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】用代入法解方程组时，将方程将①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A．3x＋4x－6＝8 B．3x－4x＋6＝8 C．3x＋2y－3＝8 D．3x－2y－6＝8 【典例】方程组的解满足x＋y＋a＝0，则a的值是( ) A．5 B．－5 C．3 D．－3 【变式2-1】以方程组的解为坐标的点（x，y）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】方程组的解是(    )． A．无解 B．无数解 C． D． 【典例】已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】用代入法解下列方程组： （1）； （2）. 【变式3-2】二元一次方程组的解为 ． 易错警示：循环代入导致错误 在利用代入法解二元一次方程组时，注意不要将变形后的方程代入到变形前的方程中，否则会出现“走回头路”的错误.如解方程组,由得③，不要将③再代入变形前的①中，否则就会出现，即-1=-1的现象. 规律总结：用代入消元法解二元一次方程组，当方程组中含有未知数的项的系数为1或-1的方程时，可 以选择该方程进行变形；当方程组中所有方程中的未知数的系数都不是1或-1时，将系数的绝对值较小的未知数用含另一个未知数的式子来表示较简便. 【典例】解二元一次方程组用代入消元法整体消去得到的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为 请你模仿小强同学的“整体代换”法解方程组 【变式4-2】用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______． 方法技巧：整体代入法 整体代入消元是解二元一次方程组的一种特殊方法，本题是将有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，整体代入消元简化了计算过程. 【典例】若单项式2x2ya﹣b与是同类项，则a，b的值分别为（　　） A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣1 【变式5-1】已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：_______，_________，________； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【变式5-2】若|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2019等于　 　． 【典例】已知方程组中的，互为相反数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【变式6-2】若关于x和y的二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解；求的值． 【典例】在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 【变式7-1】用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是(　　) (1)由①得x=③； (2)把③代入②得3×-5y=5； (3)去分母得24-9y-10y=5； (4)解之得y=1，再由③得x=2.5． A． B． C． D． 【变式7-2】嘉嘉用代入法解二元一次方程组的步骤如下，其中开始出现错误的是（    ） 第一步：将方程①变形，得③； 第二步：将方程③代入方程①，得； 第三步：整理，得； 第四步：因为可取一切有理数，所以原方程组有无数个解 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【典例】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知1个螺栓配2个螺帽．若要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，则生产螺帽和螺栓的人数分别为 ． 【变式8-1】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【变式8-2】王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 【典例】对于非零的两个有理数，规定，若，，则的值为(        ) A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 【变式】对于实数x，y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如时，．若，则_______． 1．解方程组时， 把①代入②， 得（    ） A． B． C． D． 2．以方程组的解为坐标的点（，）在平面直角坐标系中的位置是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若单项式与的和仍是一个单项式，则x，y的值是（　　） A． B． C． D． 4．若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 6．定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则的值为（    ） A．7 B．10 C．12 D．14 7．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（    ） x m y n t 5 p A．17 B．18 C．19 D．20 8．下面是小强同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为___________，②为___________． 9．方程组 的解是____． 10．方程组的解是__________． 11．二元一次方程组的解为 　　． 12．若是关于x和y的二元一次方程，则________，________． 13．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ． 14．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点P（x，y）的友好点Q坐标为（﹣3，﹣10），则点P的坐标为 　　． 15．用代入消元法解方程组： （1）            （2） （3）             （4） （5）              （6） 16．已知关于的二元一次方程和都是该方程的解． (1)求的值； (2)也是该方程的一个解，求的值． 17．关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值． 18．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 19．用代入法解方程组： 嘉淇是这样解得： 解：由①，得，③                第一步 把③代入①，得到，         第二步 即，                                 第三步 所以此方程组无解                          第四步 （1）嘉淇的解法是错误的，开始错在第 步； （2）请写出正确的解法． 20．规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题． (1)已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由； (2)已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根； (3)已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标． 1．（2020·湖南益阳·统考中考真题）同时满足二元一次方程和的，的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）二元一次方程组的解是______． 3．（2021·广东广州·统考中考真题）解方程组 学科网（北京）股份有限公司 $$ 消元 思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.（“消元”的实质：减少未知数的个 数，使受元一次方程组最终化为元一次才程。） 代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为 (或)的形式 选系数简单，易变形的方程 代入 把 (或) 代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 不能代入变形前的方程 求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不要漏乘，移项时要变号 回代 把求得的未知数的值代入“变形”步骤中变形后的方程 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 用“”将未知数 的值联立起来 三种形式的代入消元法 直接代入 直接代入的条件是有一个方程为一个未知数关于另一个未知数的表达式. 变形后代入 变形后再代人一般是将某一个方程变成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式. 整体代入 整体代人的条件是方程组中同一未知数的系数成倍数关系. 提示：(1)通常应选择比较简单、容易变形的一个方程进行变形； (2)“变形”后一定要注意将所得的代数式代入另一个方程. 简记：变形→代入→求解一回代→写出解. 【基础练习】 【练习1-1】下列各组数值中，是二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】 将②代入①得，， 解得 将代入②得， ∴二元一次方程组的解为． 故选：B． 【练习1-2】用代入法解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．由第2个方程得，代入第1个方程消去，求得，再将代入方程解得即可． 【详解】解： 由②得， 把③代入①，得 解得 把代入②，得 所以原方程组的解为． 【练习1-3】阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为x+y＝7，然后把第二个方程中的x+y换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． （1）请按照小强的解法解出这个方程组； （2）用整体代入法解方程组． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由①，得x+y＝7③，把③代入②即可求出y的值，把y＝3代入③即可求出x的值，从而得出方程组的解； （2）由②，得3（2x+3y）﹣14y＝16③，把①代入③即可求出y的值，把y＝3代入①即可求出x的值，从而得出方程组的解． 【详解】解：（1）， 由①，得x+y＝7③， 把③代入②，得4×7﹣y＝25， 解得y＝3， 把y＝3代入③，得x＝4， 所以方程组的解是； （2）， 由②，得6x+9y﹣14y＝16，即3（2x+3y）﹣14y＝16③， 把①代入③，得3×（﹣4）﹣14y＝16， 解得y＝﹣2， 把y＝﹣2代入①，得x＝1， 所以方程组的解是． 【典例】用“代入法”将方程组中的未知数消去后，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】第一个式子中用x表示y，代入到第二个式子中即可． 【详解】解： 由①得③， 将③代入②中得, 故选：B． 【变式1-1】对于二元一次方程组，将上面的方程①代入下面的方程②，消去y可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代入消元法，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．将方程2中的y换成即可． 【详解】解：将①代入②得：， 即 故选：B． 【变式1-2】用代入法解方程组时，将方程将①代入②中，所得的方程正确的是（       ） A．3x＋4x－6＝8 B．3x－4x＋6＝8 C．3x＋2y－3＝8 D．3x－2y－6＝8 【答案】B 【解析】 【分析】直接把①代入②即可得出结论． 【详解】解：把①代入②得，，整理得，． 故选：B． 【典例】方程组的解满足x＋y＋a＝0，则a的值是( ) A．5 B．－5 C．3 D．－3 【答案】A 【解析】 【详解】解：解方程组，得： ，代入x+y+a=0，得：-5+a=0，∴a=5．故选A． 【变式2-1】以方程组的解为坐标的点（x，y）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】方程组利用代入消元法求出解，即可确定出（x，y）所在的象限． 【详解】解：， 把①代入②得： x+2＝﹣x+3， 解得， 把代入①得： ， 则在第一象限， 故选：A． 【变式2-2】方程组的解是(       )． A．无解 B．无数解 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】先用代入消元法求出y的值，再把y的值代入①求出x的值即可． 【详解】解：， 把①代入②得， ， 解得y=-2， 把y=-2代入①得，， 解得y=-2． 故此方程组的解为：． 故选D 【典例】已知二元一次方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】先运用代入消元法解方程组，进而可求得a、b的值，代入计算即可． 【详解】解： 由①，得x＝9﹣y， 代入②，得 解得：y＝16． 将y＝16代入①得x＝5． ∵， ∴， ∴|a﹣b|＝|5﹣16|＝11． 故选：B． 【变式3-1】用代入法解下列方程组： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)由①，得③，把③代入②，求出y，再把y的值代入③求得x的值从而得到方程组的解； (2)由①，得3y=2x-4③，把③代入②，求出x，再把x的值代入③求得y的值从而得到方程组的解 【详解】解：（1）， 由①，得③把③代入②，得. 解得. 把代入①，得. 故原方程组的解为， （2）， 由①得3y=2x-4③把③代入②， 得.解得. 把代入③得 . 故原方程组的解为. 【变式3-2】二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【解析】 【详解】 解：， 由①式得： ，代入②式， 得： ， 解得 ， 再将代入①式， ， 解得 ， ∴ ， 故填：． 易错警示：循环代入导致错误 在利用代入法解二元一次方程组时，注意不要将变形后的方程代入到变形前的方程中，否则会出现“走回头路”的错误.如解方程组,由得③，不要将③再代入变形前的①中，否则就会出现，即-1=-1的现象. 规律总结：用代入消元法解二元一次方程组，当方程组中含有未知数的项的系数为1或-1的方程时，可 以选择该方程进行变形；当方程组中所有方程中的未知数的系数都不是1或-1时，将系数的绝对值较小的未知数用含另一个未知数的式子来表示较简便. 【典例】解二元一次方程组用代入消元法整体消去得到的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】， 由②得： ③ 把③代入①得：12y= -36， 故选D． 【变式4-1】阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为 请你模仿小强同学的“整体代换”法解方程组 【答案】 【解析】 【详解】解：， 将方程②变形：6x+8y+y＝25，即2（3x+4y）+y＝25 ③， 把方程①代入③得：2×16+y＝25， 解得y＝﹣7， 把y＝﹣7代入方程①，得x＝， 所以方程组的解为． 【变式4-2】用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，整体代入即可得出结果． 【详解】解：， 设x+y=u，x−y=v， 则原方程化为：， 故答案为：． 方法技巧：整体代入法 整体代入消元是解二元一次方程组的一种特殊方法，本题是将有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，整体代入消元简化了计算过程. 【典例】若单项式2x2ya﹣b与是同类项，则a，b的值分别为（　　） A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】由同类项的定义得出a+b＝2，a﹣b＝4，再解之即可得出答案． 【详解】解：∵单项式2x2ya﹣b与是同类项， ∴a+b＝2，a﹣b＝4， 解得a＝3，b＝﹣1， 故选：C． 【变式5-1】已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：_______，_________，________； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求代数式的值，立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组等知识点，能得出关于，的方程组是解（1）的关键，能估算出的范围是解（2）的关键． （1）根据平方根和立方根的定义得出方程组，求出方程组的解，再根据算术平方根求出即可； （2）先估算出的范围，再求出，的值，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是， ， 解得：，， ， ， （2）解：， ，的整数部分是，小数部分是， ，， ． 【变式5-2】若|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2019等于　 　． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据几个非负数和的性质得到a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，再解关于a、b的方程组，把a、b的值代入（b﹣a）2019中后利用乘方的意义计算． 【详解】解：根据题意得a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0， 解得a＝﹣2，b＝﹣3， 所以（b﹣a）2019＝（﹣3+2）2019＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【典例】已知方程组中的，互为相反数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得：x+y=0，即y=-x， 代入方程组得： ， 解得：m=3x=4， 故选D． 【变式6-1】已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】 【详解】（1）由题意，得 ， 由②得：③ 把③代入①得：， 解得： 把②得： ， 解得， 解得； （2）将代入，得， 解得． ∴ ∴． 【变式6-2】若关于x和y的二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解；求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意构建方程组，再解方程组，把方程组的解代入求解的值，从而可得答案. 【详解】解：由题意得： 由①得：③ 把③代入②得： 解得： 把代入②得： 把代入得： 【典例】在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 【答案】D 【解析】 【分析】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可． 【详解】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4， 解得：b＝4， 将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7， 解得：a＝﹣5， 故选：D． 【变式7-1】用代入法解方程组有以下过程，其中错误的一步是(　　) (1)由①得x=③； (2)把③代入②得3×-5y=5； (3)去分母得24-9y-10y=5； (4)解之得y=1，再由③得x=2.5． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】其中错误的一步为(3)， 正确解法为：去分母得：24−9y−10y=10， 移项合并得：−19y=−14， 解得： 故选C. 【变式7-2】嘉嘉用代入法解二元一次方程组的步骤如下，其中开始出现错误的是（    ） 第一步：将方程①变形，得③； 第二步：将方程③代入方程①，得； 第三步：整理，得； 第四步：因为可取一切有理数，所以原方程组有无数个解 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【解析】 【分析】根据代入法解一元二次方程，由①变形得到的③，应代入方程②，据此分析判断即可求解． 【详解】根据代入法求解二元一次方程组的步骤可得， 第一步：将方程①变形，得③； 第二步：将方程③代入方程②，得， 整理得, 故选：B 【典例】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知1个螺栓配2个螺帽．若要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，则生产螺帽和螺栓的人数分别为 ． 【答案】50人，40人 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设生产螺帽人，生产螺栓人，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设生产螺帽人，生产螺栓人， 则， 解得， 生产螺帽有50人，生产螺栓有40人， 故答案为：50人，40人． 【变式8-1】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【解析】 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【变式8-2】王老师买了一批图书准备分给某班的学生阅读，若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书．则这批书有多少本？ 【答案】这些书有138本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设这批书有x本，该班共有y名学生，根据“若每名学生分3本书，则剩余18本书，若每名学生发4本书，则还少22本书”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批书有x本，该班共有y名学生， 根据题意得：， 解得：， 答：这些书有138本． 【典例】对于非零的两个有理数，规定，若，，则的值为(      ) A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知规定及两式，确定出m、n的值，再利用新规定化简原式即可得到结果． 【详解】 根据题意得：3⊕（-2）=3m+2n=7，3⊕（-1）=3m+n=5 ∴，解得： ∴（-1）⊕2=-m-2n=-1-2×2=-5 故选C． 【变式】对于实数x，y我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如时，．若，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入F（x，y），再把x=3，y=2代入计算即可求出值． 【详解】解：∵F（1，3）=6，F（2，5）=1， ∴根据题中的新定义化简得： ， 解得：， 即F（x，y）=3xy， 则F（3，2）=9+2=11． 故答案为：11． 1．解方程组时， 把①代入②， 得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想．根据二元一次方程组解法中的代入消元法求解． 【详解】解：把①代入②得， 故选D． 2．以方程组的解为坐标的点（，）在平面直角坐标系中的位置是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】解方程组得到x，y的值，然后可判断在平面直角坐标系中的位置. 【详解】解：， 将①代入②得：3x+2x-4=1，解得：x=1， 将x=1代入①得：y=-2， ∴点（，）在平面直角坐标系中的位置是第四象限. 故选D. 3．若单项式与的和仍是一个单项式，则x，y的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用同类项的定义求出x与y的值即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍是一个单项式， ∴单项式与为同类项， ∴， 解得． 故选：C． 4．若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】 【分析】根据与互为相反数得到，代入方程组中计算即可求出的值． 【详解】解：由与互为相反数，得到，即， 代入方程组得：， 解得：． 故选：A． 5．下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【解析】 【分析】根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定． 【详解】解： 由得：， 把代入得：， 去分母得：， 解得：， 则开始出现错误的是步骤三， 故选：． 6．定义运算“”，规定，其中，为常数，且，，则的值为（    ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值，最后代值计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴， 故选B． 7．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（    ） x m y n t 5 p A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【解析】 【分析】将表格中的数据带入方程列出关系式，计算即可求出p的值．． 【详解】根据题意得， ∴ ∴ 故选：B． 8．下面是小强同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为___________，②为___________． 【答案】     代入     消去y 【解析】 【分析】利用代入法求解二元一次方程组的一般步骤，即可得出答案． 【详解】解：由代入法求解二元一次方程组的步骤可知： ①为代入，②为消去y， 故答案为：代入，消去y． 9．方程组 的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴方程组的解为：， 故答案为：． 10．方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法，进行计算即可解答． 【详解】解：， 由①得：x=2+y③， 把③代入②得：3（2+y）=4y+5， 解得：y=1， 把y=1代入③中得：x=2+1=3， ∴原方程组的解为：， 故答案为：． 11．二元一次方程组的解为 　　． 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【解答】运用代入消元法解得： 方程组的解为， 故答案为：． 12．若是关于x和y的二元一次方程，则________，________． 【答案】     3     【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，原方程是二元一次方程，故x，y的指数都为1,因此a−2=1,2b+5=1从而可以解出a，b的值． 【详解】解：∵是关于x和y的二元一次方程， ∴a−2=1,2b+5=1 ∴a=3，b=-2 故答案为：3，-2． 13．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点P（x，y）的友好点Q坐标为（﹣3，﹣10），则点P的坐标为 　　． 【答案】（﹣3，﹣10）或（﹣3，﹣2） 【解析】 【分析】分两种情况：当x≥y时，由题意得：；当x＜y时，由题意得：；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当x≥y时，由题意得：， 解得：， ∵﹣3， ∴符合题意； 当x＜y时，由题意得：， 解得：， ∵﹣3＜﹣2， ∴符合题意； 综上所述：点P的坐标为（﹣3，﹣10）或（﹣3，﹣2） 故答案为：（﹣3，﹣10）或（﹣3，﹣2）． 15．用代入消元法解方程组： （1）              （2） （3）               （4） （5）               （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6） 【解析】 【分析】 （1）直接将②代入①中求得的值，将的值代回①求解即可； （2）由①得：，将之代入②求出的值，将的值代回求解即可； （3）由①得：，将之代入②求出的值，将的值代回求解即可； （4）由①得：，将之代入②求出的值，将的值代回求解即可； （5）原式整理为：，由②得：，将代入①得： 求出的值，将的值代回求解即可； （6）原方程整理为：，由①得：，将之代入②求出的值，将的值代回求解即可； 【详解】 解：（1） 将②代入①中得：， 解得：， 将代入②中得：， 故方程组的解为：； （2）， 由①得：， 将代入②中得：， 解得：， 将代入中得：， 故方程组的解为：； （3）， 由①得：， 将代入②中得：， 解得：， 将代入中得：， 故方程组的解为：； （4）， 由①得：， 将代入②中得：， 解得：， 将代入中得：， 故方程组的解为：； （5）， 原方程整理为：， 由②得：， 将代入①得：， 解得：； 将代入得：， 故方程组的解为：； （6） 原方程整理为：， 由①得：， 将代入②得：， 解得：， 将代入得：， 故方程组的解为：． 16．已知关于的二元一次方程和都是该方程的解． (1)求的值； (2)也是该方程的一个解，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】（1）把和代入，建立方程组，再解方程即可； （2）先求解的值可得原方程为再把代入从而可得答案． 【详解】（1）解：∵关于的二元一次方程和都是该方程的解， ∴ ∴ 解得： （2）把代入 ∴ ∴原方程为： 把代入 ∴ 解得： 17．关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】，； 【解析】 【分析】由题意可知两个二元一次方程组的解相同，可以把不含参数的两个二元一次方程组在一起，把含有参数的两个二元一次方程组在一起，分别求解即可． 【详解】解∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 将①×3得：③， 将②＋③：， 解得：， 将代入①中解得：， 故方程组的解为：， 将代入中得， ， 将⑥×5得：⑦， 将⑦+⑤得：， 将代入⑥中解得：， 故，． 18．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法． 解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为． 请你仿照小军的整体代换法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键． （1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解； （2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可． 【详解】（1）解： 由②可得③， 把①代入③，得，解得：． 把代入①，得，解得， 方程组的解为． （2）解：， 由①得③， 把②代入③，得，解得． 19．用代入法解方程组： 嘉淇是这样解得： 解：由①，得，③                第一步 把③代入①，得到，         第二步 即，                                 第三步 所以此方程组无解                          第四步 （1）嘉淇的解法是错误的，开始错在第 步； （2）请写出正确的解法． 【答案】（1）二；（2） 【解析】 【分析】（1）根据代入法的步骤解答即可； （2）由①求出y=3x-7③，将③代入②求出x的值，再代入③求出y即可． 【详解】（1）因为③是由①得到的，所以不能再代入①，所以第二步错误， 故答案为：二； （2）由①得y=3x－7 ③ 将③代入②得5x+2（3x－7）=8， 解得x=2，将x=2代入③得y=－1， 所以方程组的解为． 20．规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题． (1)已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由； (2)已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根； (3)已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标． 【答案】(1)点是方程的“理想点”, 点, 点不是方程的“理想点”(2)(3)点坐标为或 或或 【解析】 【详解】（1）点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”， 理由如下： ∵时，； 时，； 时； ∴点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”； （2）解：把代入方程，得， 又∵，解得 ， ∵为非负整数， ， ， ； （3）根据题意，得 ， 解得 ， ∵是整数， 或 ， ∵是整数， 或 或， 或 ， 当时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 综上，点坐标为或 或或 1．（2020·湖南益阳·统考中考真题）同时满足二元一次方程和的，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】联立和解二元一次方程组即可． 【详解】解：有题意得： 由①得x=9+y③ 将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5 则x=9+（-5）=4 所以x=4，y=-5． 故选：A． 2．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）二元一次方程组的解是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可． 【详解】解： 把②代入①得：，解得：， 把代入②得：； ∴原方程组的解为； 故答案为． 3．（2021·广东广州·统考中考真题）解方程组 【答案】 【解析】 【分析】利用代入消元法求解方程即可． 【详解】解： 把①代入②得 ， 解得 把代入①得 所以方程组的解为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$