11.2 反比例函数的图像与性质 讲义 -2024-2025学年苏科版八年级数学下册

11.2反比例函数的图像与性质配套练习-2024-2025学年八年级数学下册 知识回顾： 一、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，具有以下特征： 1. 图像由两个分支组成，分别位于不同的象限。当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限；当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限。 2. 图像逐渐接近于x轴和y轴，但与两坐标轴永不相交。 3. 在每个象限内，随着x的增大，y的值会减小（当k>0时）或增大（当k<0时）。 二、反比例函数的性质 1. 反比例函数的图像关于原点对称，即图像上的任意一点关于原点对称的点也在图像上。 2. 当k>0时，在第一、三象限下降趋势；当k<0时，在第二、四象限内上升趋势。 三、如何画反比例函数的图像 1. 列表：选取一系列自变量x的值（注意x≠0），并计算对应的函数值y。 2. 描点：在坐标系中描出这些点。 3. 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点，注意曲线的发展趋势只能靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交。 题型分类： 类型一、反比例函数的图像 1．反比例函数的图象经过点．，则下列与点A在同一图象的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 类型二、反比例函数的性质 1．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则下列关于该反比例函数的说法中，错误的是（   ） A． B．当时， C．在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 D．若点在其图象上，则点也在其图象上 【答案】B 类型四、反比例函数与一次函数 1．（2024秋•丰润区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（n，﹣2）两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1 【分析】将A（2，1）代入，求出m的值可得反比例函数的解析式．将B（﹣1，n）代入反比例函数的解析式，求出n的值，结合图象可直接得出答案． 【解答】解：将A（﹣2，1）代入， 得m＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为y， 将B（n，﹣2）代入y， 得n＝1， ∴B（1，﹣2）， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1， 故选：D． 类型五、反比例函数与几何综合 1．（2024秋•曲阜市期末）如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OA在y轴上，点A的坐标为（0，4），将△AOB绕点A逆时针旋转60°得到△ADC，点C刚好在x轴上，点D在反比例函数y的图象上，则k的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】根据题意当y＝0，可求出x的值，即可得出A点的坐标，即可得出AO的长度，根据题意可知MO的长度，即可得出点M的坐标，由一次函数解析式即可算出点C的坐标，即可得出CM的长度，即可计算出△CMO的面积，即可判定①的结论是否正确；根据图象的增减性即可得出②的结论是否正确；由一次函数与反比例函数的交点坐标即可得出③结论是否正确；由图象可知比较函数的大小即可得出④结论是否正确． 【解答】解：当y＝0时，x＝﹣1， ∴点A（﹣1，0）， ∴AO＝1， ∵AO＝MA， ∴MO＝2AO＝2， ∴点M（﹣2，0）， 把点x＝﹣2代入y＝﹣x﹣1中， 得y＝1， ∴点C（﹣2，1），CM＝1， ∴， ∴①结论正确； 由图象可知，当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大， ∴②结论正确； 解方程可得：x2+x+k＝0，Δ＝12﹣4k＞0，有两个解， ∴③结论错误； 由图象可知，当x＜﹣2，y1＞y2， ∴④结论错误． 故选：B． 针对练习： 一、单选题 1．已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 2．如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数，下列结论中错误的是（   ） A．图象必经过点 B．在每一象限内，随的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．若，则 4．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（   ）． A． B． C． D． 5．如图，点在双曲线上，轴于，且的面积，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．函数与在同一平面直角坐系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．点在函数图象上 B．随的增大而减小 C．该函数的图象分布在第一、三象限 D．若点和在该函数图象上，则 10．反比例函数的图象上个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．如图，点，在反比函数的图象上，，的纵坐标分别是和，连接，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 12．如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．反比例函数的图象位于第 象限． 14．反比例函数的图像上有两点，那么 0．（用“”，“”或“”填空） 15．函数的图像在每个象限内，y随的增大而x增大，则m的取值范围是 ． 16．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 17．已知反比例函数． （1）下列结论正确的是 ； A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图象关于轴对称 （2）该反比例函数的图象一定经过的点是 ； A．    B．    C．    D． （3）已知点，在该反比例函数图象上，则 ．（填“>”“<”或“=”） 18．如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 . 19．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 20．已知一次函数图象在一、二、三象限，则反比例函数的函数值在每一个象限内随的增大而 ． 21．若三个点，，都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是 ． 22．反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ． 23．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    24．双曲线和如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点、点，与分别交于点、点，若四边形的面积为4，则的值为 ．    三、解答题 25．已知反比例函数的图象经过点，请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 26．已知y与成反比例，当时，． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 27．已知反比例函数的图像经过点． (1)求的值； (2)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值的取值范围． 28．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点（）．若，．    (1)求直线和双曲线的解析式； (2)根据图象，直接写出时，相应x的取值范围． 29．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 30．在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D D A B C C B 题号 11 12 答案 C C 1．C 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数解析式求函数值，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， 表中“”处的数为， 故选：． 2．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．结合题意，根据反比例函数的性质可得，即可求出m的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内y都是随着x的增大而减小， ， 解得：． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴图象必经过点，原选项不符合题意； B．∵，∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，原选项不符合题意； C．∵，∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，原选项不符合题意；     D．若，则，故原选项符合题意． 故选D． 4．D 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，先利用待定系数法求出k的值，进而得到在反比例函数图象的点的横纵坐标的乘积为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数上的点的横纵坐标的乘积为， ∴四个选项中只有D选项中的点在反比例函数图象上， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数中的几何意义并灵活运用． 根据反比例函数的几何意义，先求出的值，再结合函数图象所在象限确定的正负． 【详解】， ， ∵函数在二，四象限， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图像和性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值．由直线恒过定点排除C、D，再由A、B可知直线过一、二、三象限可得k大于0，由此得到过二、四象限得答案． 【详解】解：直线恒过定点，可知C、D错误， 由A、B可知，， ∴的图象在第二、第四象限， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及一次函数一次项系数和常数项的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：∵当时，的图象经过第二、第四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限， 当时，的图象经过第一、第三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限， ∴C选项符合题意． 故选C 9．C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得． 【详解】A、当时，，∴点不在函数图象上，故该选项不正确； B、∵，在每个象限内，随的增大而减小，故该选项不正确； C、∵，∴该函数的图象分布在第一、三象限，故该选项正确； D、∵，∴随的增大而减小，∵，∴，故该选项不正确； 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由反比例函数解析式得反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时，时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每个象限内，的值随着的增大而减小，且时，时， ∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：． 11．C 【分析】本题考查了反比例函数的性质及的几何意义，设轴于点，轴于点，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，，然后代入即可求值，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点，轴于点， ∵，的纵坐标分别是和， ∴代入函数关系式可得横坐标分别为，， ∴，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：． 12．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数和的图象分布在第二象限， ∴，，， 当时，由图象可得， ∴， ∴， 故选：． 13．一、三 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的性质． 反比例函数的图象：时，位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故答案为：一、三． 14． 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是关键．根据反比例函数的性质，当时，反比例函数的图象在每一个象限内y随着x的增大而减小，从而可确定答案． 【详解】解：∵， 反比例函数的图象在每一个象限内y随着x的增大而减小， ， ， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，y随的增大而x增大， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为． 故答案是：． 17． C D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：（1）∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，图象与坐标轴没有公共点，图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，图象关于原点对称， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C； （2）∵反比例函数， ∴， ，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D； （3）由题意得，， ∴， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式． 如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，先确定点与点坐标，由于一次函数的值随值的增大而增大，则一次函数图像必过第一、三象限，所以点只能在点与点之间，于是可确定的取值范围．理解反比例函数图像与一次函数的交点确定方法及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点， ∵，反比例函数， ∴， ∵一次函数y的值随x值的增大而增大， ∴点在A，B之间， ∴， 故答案为． 19． 【详解】反比例函数，当时，函数的最大值是，随增大而减小，当时，函数的最大值，反比例函数，当时，函数的最大值是，随增大而增大，当时，函数的最大值，． 20．减小 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，由一次函数的图象的位置可得出，，从而得出，再根据反比例函数的性质即可得出答案，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：一次函数图象在一、二、三象限， ，， ， 反比例函数的函数值在每一个象限内随的增大而减小， 故答案为：减小． 21． 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质来解答． 先根据反比例函数中判断出函数图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：， 函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，位于第二象限， ，， ， ， ， 点位于第四象限， ， ， 故答案为：． 22．或 【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程． 【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，则当时，， ∴， 解得， ∴； ∴或， 故答案为：或． 23．4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 24． 【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出． 【详解】解：在反比例函数的图象上，且图象在第二象限， ，， 在反比例函数的图象上，且图象在第二象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数上的点向轴和轴引垂线形成的矩形的面积等于反比例函数的值是解题的关键． 25．点不在函数图象上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数解析式的求法是解题的关键． 将点代入反比例函数解析式，即可求出k的值，然后通过求反比例函数值即可判断点是否在这个函数图象上． 【详解】解：把代入得， 反比例函数解析式为， ， 点不在函数图象上． 26．(1) (2)3 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数表达式，准确的运算是解题的关键． （1）用待定系数法即可解决问题． （2）将代入即可． 【详解】（1）因为y与成反比例， 所以设， 把代入，得， 所以 （2）当时，． 27．(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）由，随值增大而减小，进而即可求解． 【详解】（1）解： 反比例函数过点， ； （2）， 当时，随值增大而减小， 当时，，当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 28．(1)直线为：；双曲线为： (2)或 【分析】（1）先把A点坐标代入求出，得到双曲线的解析式为：，再把代入确定B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式． （2）观察函数图象得到结论． 【详解】（1）∵直线与双曲线交于，两点 ∴，， ∴点B的坐标为，双曲线的解析式为： ∴ ∴解之得：， ∴直线的解析式为：． （2）根据图象得：当时，x的范围或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数解析式，待定系数法求函数解析式． 29．(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是 (2) (3)8 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）数形结合求解即可； （3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 将代入得，，即， 将，代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围， ∴由图象得：的解集为； （3）解：当时，，即， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键． 30．(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$