专题02 乘法公式与整式乘除（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题02 乘法公式与整式乘除 题型概览 题型01整式的乘法 题型02利用单项式乘积求字母 题型03利用平方差进行运算 题型04利用完全平方公式进行运算 题型05平方差、完全平方公式与几何图形 题型06整式的混合运算 题型07整式的化简求值 ( 题型01 )整式的乘法 1．（23-24七下·湖南娄底·期中）计算： ． 2．（23-24七下·甘肃兰州·期中）计算： ． 3．（23-24七下·广东江门·期中）如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七下·山西吕梁·期中）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①； ②； ③； ④若，则或． 其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 5．（23-24七下·甘肃兰州·期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A． B． C． D．3，4 6．（23-24七下·内蒙古鄂伦春自治·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ( 题型0 2 )利用单项式乘积求字母 7．（23-24七下·河南南阳南召县·期中）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 8．（23-24七下·河南开封通许县·期中）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 9．（23-24七下·河南周口商水县·期中）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七下·山西朔州朔城区·期中）已知单项式与的积为，则 ． 11．（23-24七下·河北石家庄·期中）若 ，则求的值． ( 题型0 3 )利用平方差进行运算 12．（23-24七下·黑龙江哈尔滨 南岗区·期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24七下·甘肃兰州·期中）已知：，…，设，则A的个位上数字是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 14．（23-24七下·河南周口太康县·期中）如果，则的值为（   ） A．4 B．16 C．24 D．32 15．（23-24七下·河北廊坊香河县·期中）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 16．（23-24七下·甘肃兰州·期中）计算： ． 17．（23-24七下·湖南娄底·期中）计算： 18．（23-24七下·河南新乡封丘县·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． ( 题型0 4 )利用完全平方公式进行运算 19．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）计算 ． 20．（23-24七下·上海实验学校附属东滩学校·期中）下列关于甲、乙、丙的计算判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．甲对，乙对 B．乙错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错 21．（23-24七下·广东佛山禅城区·期中）已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 22．（23-24七下·广东佛山高明区·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24七下·河南洛阳宜阳县·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称为“完美数”．下面个数中，为“完美数”的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24七下·山东东营利津县·期中）定义新运算符号⊕：；求 ． 25．（23-24七下·河北石家庄·期中）简便计算：． ( 题型0 5 )平方差、完全平方公式与几何图 26．（23-24七下·上海华东·期中）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（   ） A． B． C． D． 27．（23-24七下·上海奉贤区·期中）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果，则阴影部分的面积为 ． 28．（23-24七下·甘肃兰州·期中）老王把一块边长为的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少，另一边增加继续租给你，租金不变，你看如何？”老李一听，就答应了．你认为老李吃亏了吗？为什么？ 29．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 30．（23-24七下·甘肃兰州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、． (2)若，，求的值． (3)当时，求出图3中阴影部分的面积S3． ( 题型0 6 )整式的混合运算 31．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）在矩形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1．图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用涂色表示．设图1中涂色部分的面积为，图2中涂色部分的面积为，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24七下·江西南昌·期中）计算： ． 33．（23-24七下·山西朔州朔城区·期中）计算： (1) (2) 34．（23-24七下·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 35．（23-24七下·山西晋城陵川县多校联考·期中）计算： (1)； (2)． ( 题型0 7 )整式的化简求值 36．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）先化简，再求值 ，其中 37．（23-24七下·山西朔州朔城区·期中）先化简，再求值：，其中，． 38．（23-24七下·江苏淮安涟水县·期中）先化简，再求值：，其中，． 39．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）先化简，再求值：，其中，． 40．（23-24七下·吉林吉林船营区·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 1．（23-24七下·甘肃兰州·期中）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七下·甘肃兰州·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 3．（23-24七下·湖南衡阳·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ． 4．（23-24七下·甘肃兰州·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 5．（23-24七下·江苏淮安涟水县·期中）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 6．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形． (1)图中的阴影正方形的边长可表示为 （用含m，n的代数式表示）； (2)根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ． (3)若 ， ，求阴影正方形的面积． 7．（23-24七下·吉林吉林船营区·期中）若且， m、n是正整数）， 则．请你利用结论解决下面两个问题： (1)如果，求x的值； (2)若，，用含x的代数式表示y． 8．（23-24七下·甘肃兰州·期中）请根据小颖同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………步骤1 ，…………步骤2 当时，原式．…………步骤3 任务一：以上解题过程中，从步骤____开始出现错误，错误的原因是_____； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 9．（23-24七下·甘肃兰州·期中）甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，． (1)比较与的大小． (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 10．（23-24七下·湖南衡阳·期中）阅读材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如 ，所以43和68与34和86都是“幸福数对”．请解决如下问题： (1)请判断24与63是否是“幸福数对”? 并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且 ；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 乘法公式与整式乘除 题型概览 题型01整式的乘法 题型02利用单项式乘积求字母 题型03利用平方差进行运算 题型04利用完全平方公式进行运算 题型05平方差、完全平方公式与几何图形 题型06整式的混合运算 题型07整式的化简求值 ( 题型01 )整式的乘法 1．（23-24七下·湖南娄底·期中）计算： ． 【答案】/ 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24七下·甘肃兰州·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为： 3．（23-24七下·广东江门·期中）如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知：图和图中阴影部分的面积相等， 图中，阴影部分面积， 图中，阴影部分面积， ， 故选：B． 4．（23-24七下·山西吕梁·期中）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①； ②； ③； ④若，则或． 其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：根据题目中的新定义计算方法可得， ①，①正确； ②，故与不一定相等，②错误； ③，③错误； ④若，则或，④正确， 故选：A． 5．（23-24七下·甘肃兰州·期中）观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则的值可能分别是（   ） A． B． C． D．3，4 【答案】A 【详解】解：根据题意：，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故选：A． 6．（23-24七下·内蒙古鄂伦春自治·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 【答案】12 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， 的值为12． 故答案为：12． ( 题型0 2 )利用单项式乘积求字母 7．（23-24七下·河南南阳南召县·期中）如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 8．（23-24七下·河南开封通许县·期中）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 9．（23-24七下·河南周口商水县·期中）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 10．（23-24七下·山西朔州朔城区·期中）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【详解】解：， ， ，， ． 故答案为：1． 11．（23-24七下·河北石家庄·期中）若 ，则求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ( 题型0 3 )利用平方差进行运算 12．（23-24七下·黑龙江哈尔滨 南岗区·期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、第一个因式是两数的和，第二个因式不是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； B、第一个因式是两数的和，第二个因式是这两个数的差，故能用平方差公式计算； C、第一个因式是两数的差，第二个因式不是的和，而是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； D、第一个因式是两数的差，第二个因式是的差，不是这两个数的和，故不能用平方差公式计算； 故选：B． 13．（23-24七下·甘肃兰州·期中）已知：，…，设，则A的个位上数字是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】解： ， ∵，…， 可知，个位数字分别为2，4，8，6，…，以4为周期循环，而， ∴的个位数字为6， ∴A的个位上数字是6． 故选：B． 14．（23-24七下·河南周口太康县·期中）如果，则的值为（   ） A．4 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 15．（23-24七下·河北廊坊香河县·期中）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 16．（23-24七下·甘肃兰州·期中）计算： ． 【答案】1 【详解】解： ． 故答案为：1． 17．（23-24七下·湖南娄底·期中）计算： 【答案】 【详解】解： 18．（23-24七下·河南新乡封丘县·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【详解】（1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：， 小军进行简便计算的原理为乘法公式：， 故答案为：，； （2）解：① ； ② ． ( 题型0 4 )利用完全平方公式进行运算 19．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）计算 ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 20．（23-24七下·上海实验学校附属东滩学校·期中）下列关于甲、乙、丙的计算判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．甲对，乙对 B．乙错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错 【答案】B 【详解】解：甲：，正确； 乙：，原计算错误； 丙：，正确； 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 21．（23-24七下·广东佛山禅城区·期中）已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 22．（23-24七下·广东佛山高明区·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知， 则， 那么， 整理得：， 则， 故选：B． 23．（23-24七下·河南洛阳宜阳县·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”．例如：因为，所以称为“完美数”．下面个数中，为“完美数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设两个连续奇数为，，为正整数， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、 ∴，符合题意； 故选：． 24．（23-24七下·山东东营利津县·期中）定义新运算符号⊕：；求 ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 25．（23-24七下·河北石家庄·期中）简便计算：． 【答案】 【详解】解：=． ( 题型0 5 )平方差、完全平方公式与几何图 26．（23-24七下·上海华东·期中）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得： 第一个图的面积为：， 第二个图的面积为：， ， 故选：B． 27．（23-24七下·上海奉贤区·期中）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果，则阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：∵两个正方形边长分别为a，b， ∴， ∴， ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴S阴影． 故答案为：9 28．（23-24七下·甘肃兰州·期中）老王把一块边长为的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少，另一边增加继续租给你，租金不变，你看如何？”老李一听，就答应了．你认为老李吃亏了吗？为什么？ 【答案】老李是吃亏了，理由见解析． 【详解】解：老李是吃亏了， 理由如下： ∵原来土地的面积为， 更改后的土地的面积为，即， ∴更改后的土地面积比原来少， ∴老李是吃亏了． 29．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1) (2)①3；② 【详解】（1）解：∵图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是． 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 30．（23-24七下·甘肃兰州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、． (2)若，，求的值． (3)当时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】(1)， (2)34 (3)20 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ，， ； （3）解：由图可得，， ， ． ( 题型0 6 )整式的混合运算 31．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）在矩形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1．图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用涂色表示．设图1中涂色部分的面积为，图2中涂色部分的面积为，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 32．（23-24七下·江西南昌·期中）计算： ． 【答案】/ 【详解】解：原式； 故答案为：． 33．（23-24七下·山西朔州朔城区·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 34．（23-24七下·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 35．（23-24七下·山西晋城陵川县多校联考·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ( 题型0 7 )整式的化简求值 36．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）先化简，再求值 ，其中 【答案】， 【详解】解： ； 将，代入原式． 37．（23-24七下·山西朔州朔城区·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【详解】解：， = ， 当时，原式． 38．（23-24七下·江苏淮安涟水县·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 39．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 40．（23-24七下·吉林吉林船营区·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ． 当，时， 原式． 1．（23-24七下·甘肃兰州·期中）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，拼成的长方形一边长为m， ∴． 故另一边长为：． 故选：C． 2．（23-24七下·甘肃兰州·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形木板的四个角上各裁去一个边长为n的正方形木板，则剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为 ．（化简） 【答案】 【详解】解： 剩下部分的木板（即阴影部分）的面积为． 故答案为：． 3．（23-24七下·湖南衡阳·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 4．（23-24七下·甘肃兰州·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：，请借鉴该同学的经验，计算： ． 【答案】2 【详解】解： ， 故答案为：2． 5．（23-24七下·江苏淮安涟水县·期中）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 【答案】(1) (2)； (3)． 【详解】（1）解：上述过程能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 6．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）如图，是由四个长为m，宽为n的小长方形拼成的正方形． (1)图中的阴影正方形的边长可表示为 （用含m，n的代数式表示）； (2)根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ． (3)若 ， ，求阴影正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)37 【详解】（1）解：由拼图可知， 图中的阴影正方形的边长可表示为， 故答案为：； （2）解：大正方形的边长为，因此面积为， 小正方形的边长为，因此面积为， 4个小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 当，， ∴． 答：阴影正方形的面积为37． 7．（23-24七下·吉林吉林船营区·期中）若且， m、n是正整数）， 则．请你利用结论解决下面两个问题： (1)如果，求x的值； (2)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ 8．（23-24七下·甘肃兰州·期中）请根据小颖同学整式的化简求值过程，完成下面各项任务： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………步骤1 ，…………步骤2 当时，原式．…………步骤3 任务一：以上解题过程中，从步骤____开始出现错误，错误的原因是_____； 任务二：请把正确的解答过程完整地写出来． 【答案】（1）1；错误的原因：括号前面是负号，去掉括号后，第二项没有改变符号；（2），7． 【详解】解：任务一：原式， ∴从步骤1开始出现错误，错误的原因是括号前面是负号，去掉括号后，第二项没有改变符号；1；错误的原因：括号前面是负号，去掉括号后，第二项没有改变符号； 任务二：解：原式 ， 当时，原式． 9．（23-24七下·甘肃兰州·期中）甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面面积分别为，． (1)比较与的大小． (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探圥：与的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为10 【详解】（1）解：根据长方形的面积公式可得：，， ∴ ， 故； （2）解：正方形的周长为：， 正方形的边长为：， ， ， 故与的差是定值，定值为10． 10．（23-24七下·湖南衡阳·期中）阅读材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如 ，所以43和68与34和86都是“幸福数对”．请解决如下问题： (1)请判断24与63是否是“幸福数对”? 并说明理由： (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且 ；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)24与63是“幸福数对”，理由见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）解：24与63是“幸福数对”，理由如下： ∵，， ∴， ∴24与63是“幸福数对”； （2）解：，理由如下： 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$