清单02 二项式定理（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）高二数学下学期人教B版

清单02 二项式定理 清单01 二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 清单02 二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 清单03 系数之和 ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 清单04 系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 【考点题型一】二项式定理展开及其逆运用（） 【例1】 【变式1-1】求的展开式； 【变式1-2】化简： ． 【变式1-3】的值为 ． 【变式1-4】已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】指定项系数（） 【例2】二项式的展开式中，项的系数为 . 【变式2-1】已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为 . 【变式2-2】若，且，则 . 【变式2-3】在的展开式中，含项的系数为 ． 【变式2-4】已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型三】有理项（） 【例3】二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中所有的有理项． 【变式3-1】在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【变式3-2】展开式中有理项的个数为 . 【变式3-3】（多选）若的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（项中是整数）可以是（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【变式3-4】在的展开式中. (1)求展开式的第4项的系数； (2)若第项是有理项，求的取值集合. 【考点题型四】系数和问题（） 【例4】已知，则下列说法不正确的是（ ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中所有偶次项系数和为 C．展开式中所有奇次项系数和为 D． 【变式4-1】（多选）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为 ． 【变式4-3】已知多项式，则 ． 【变式4-4】已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【考点题型五】系数最大（小）问题（） 【例5】的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式5-1】已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【变式5-2】在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【变式5-3】的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【变式5-4】在的展开式中，求： (1)常数项； (2)含的项的系数； (3)系数的绝对值最大的项． 【考点题型六】三项展开式系数问题（） 【例6】在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【变式6-1】关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．该展开式各项的系数之和为 B．该展开式各项系数的绝对值之和为720 C．该展开式中含的各项系数之和为 D．该展开式中不含字母的各项系数之和为64 【变式6-2】在的展开式中常数项为（    ） A．721 B．-61 C．181 D．-59 【变式6-3】在的展开式中，含项的系数为 . 【变式6-4】若，则 【考点题型七】两个二项式相乘展开系数问题（） 【例7】已知，若，则（    ） A． B． C．15 D．35 【变式7-1】若，则 . 【变式7-2】的展开式中的系数为 . 【变式7-3】若的展开式中的系数是20，则实数的值为 ． 【变式7-4】的展开式中，项的系数为 . 【考点题型八】二项式定理应用（） 【例8】今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 【变式8-1】最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【变式8-2】若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【变式8-3】若，则的值被4除的余数为 ． 【变式8-4】的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【考点题型九】杨辉三角形（） 【例9】（多选）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【变式9-1】杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式9-2】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【变式9-3】（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 【变式9-4】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【考点题型十】新定义问题（） 【例10】定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 【变式10-1】定义：中，把叫做三项式的n次系数列(例如三项式的1次系数列是，按照上面的定义，该三项式的5次系数列各项之和为 . 【变式10-2】现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于 A． B． C． D． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 二项式定理 清单01 二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 清单02 二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 清单03 系数之和 ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 清单04 系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 【考点题型一】二项式定理展开及其逆运用（） 【例1】 【答案】152 【详解】 ， ， 故. 故答案为：152 【变式1-1】求的展开式； 【答案】 【详解】方法一： ． 方法二： ． 【变式1-2】化简： ． 【答案】 【详解】 ， 故答案为： 【变式1-3】的值为 ． 【答案】0 【详解】． 故答案为：. 【变式1-4】已知等式，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，, 而且还有， 所以. 故选：D. 【考点题型二】指定项系数（） 【例2】二项式的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【详解】二项式的展开式中，通项公式为. 令，解得. 故项的系数是. 故答案为：. 【变式2-1】已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为 . 【答案】/ 【详解】由题意，即， 即，解得（舍去）， 根据展开式的通项， 令，则， 故常数项为. 故答案为： 【变式2-2】若，且，则 . 【答案】7 【详解】由二项式展开式的通项可得， 又，即，解得， 又，所以， 所以. 故答案为：7 【变式2-3】在的展开式中，含项的系数为 ． 【答案】 【详解】的展开式通项为， 由，可得， 因此，展开式中含项的系数为. 故答案为：. 【变式2-4】已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】令，则，所以， 所以，，所以； 故选：B. 【考点题型三】有理项（） 【例3】二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的倍．求： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）二项式展开式的通项为（且）， 所以第五项的二项式系数，第三项的系数为， 依题意可得，即，所以， 则， 所以展开式中所有二项式系数的和为. （2）由（1）可得二项式展开式的通项为（且）， 令，又且，则或或， 所以有理项有，，. 【变式3-1】在的展开式中，系数为整数的项数是（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】的展开式通项公式为，， 要想系数为整数，需为整数，显然当时，满足要求， 故系数为整数的项数为3. 故选：C 【变式3-2】展开式中有理项的个数为 . 【答案】34 【详解】二项式展开式通项为， 当是整数，即是3的整数倍时，是有理项， 因此可以取，共34个， 所以展开式中有理项的个数为34. 故答案为：34 【变式3-3】（多选）若的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（项中是整数）可以是（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【答案】ACD 【详解】由题意可知：的展开式通项为， 因为中第4项的二项式系数最大， 当为偶数，则，即，此时， 令为整数，可得， 即第1项，第4项，第7项为有理项，故C正确； 当为奇数，则或，即或， 且，可得，此时， 令为整数，可得， 即第2项，第5项，第8项为有理项，故AD正确； 故选：ACD. 【变式3-4】在的展开式中. (1)求展开式的第4项的系数； (2)若第项是有理项，求的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）， 所以展开式的第4项的系数为； （2），. 当为整数时为有理项，即. 则的取值集合为. 【考点题型四】系数和问题（） 【例4】已知，则下列说法不正确的是（ ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中所有偶次项系数和为 C．展开式中所有奇次项系数和为 D． 【答案】C 【详解】对于A，二项式系数和为，故A正确； 对于B，令，得，① 令，得，② ①②，可得， ，故B正确； 对于C，①②，得， ，故C错误； 对于D，令，得，令，得. ，故D正确. 故选：C. 【变式4-1】（多选）已知二项展开式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A项：令，则，故A正确； B项：令，则①， 所以，故B错误； C项：，所以， ，所以，所以，故C正确； D项：令，则②， ①+②可得：，故D正确． 故选：ACD 【变式4-2】的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为 ． 【答案】7 【详解】根据题意，的展开式中，各二项式系数的和为， 再令，可得其展开式中各项系数的和为， 依据题意有，解得. 故答案为：7. 【变式4-3】已知多项式，则 ． 【答案】9 【详解】令可得， 令可得， 相减可得， 故答案为：9 【变式4-4】已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）二项式展开式的通项为：(且)， 所以，所以． （2）令，得， 令，得， 所以． （3）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． 【考点题型五】系数最大（小）问题（） 【例5】的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【详解】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项. 故选：B. 【变式5-1】已知二项式，若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【答案】和 【详解】∵的二项式系数之和为128，， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， ∴展开式中系数最大的项为第6，7项， 即. 【变式5-2】在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 【变式5-3】的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【答案】B 【详解】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 【变式5-4】在的展开式中，求： (1)常数项； (2)含的项的系数； (3)系数的绝对值最大的项． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）的展开式的通项为：， 令，解得，可得，即常数项为． （2）令，解得，可得，即项的系数为． （3）二项展开式系数的绝对值是，由，解得， ，， 系数的绝对值最大的项为． 【考点题型六】三项展开式系数问题（） 【例6】在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D．20 【答案】B 【详解】先求展开式中含，的项， 易知，显然其不含， 含的项分别为：，， 所以在的展开式中， 的系数为. 故选：B. 【变式6-1】关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．该展开式各项的系数之和为 B．该展开式各项系数的绝对值之和为720 C．该展开式中含的各项系数之和为 D．该展开式中不含字母的各项系数之和为64 【答案】C 【详解】对于A，取，得展开式各项的系数之和为1，A错误； 对于B，展开式的通项公式为， ，当时，展开式的通项公式为， 此时， 的系数为，的系数为， 的系数为， 的系数为， 的系数为， 的系数为， 展开式各项系数的绝对值之和为，B错误； 对于C，展开式中含的各项系数之和为，C正确； 对于D，展开式中不含字母的各项即展开式的各项， 取，得展开式的各项系数和为0，D错误. 故选：C 【变式6-2】在的展开式中常数项为（    ） A．721 B．-61 C．181 D．-59 【答案】D 【详解】=的展开式的通项公式为 =， 其中的展开式的通项公式为， 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 当时，，，常数项为； 故常数项为++. 故选：D 【变式6-3】在的展开式中，含项的系数为 . 【答案】15 【详解】由题意，项的系数为. 故答案为：15. 【变式6-4】若，则 【答案】392 【详解】依题意，令，得， 展开式的项是5个多项式中，取1个用，再从余下4个中取1个用，另3个都用2， 或者是5个多项式中，取3个用，另2个都用2， 因此， 所以. 故答案为：392 【考点题型七】两个二项式相乘展开系数问题（） 【例7】已知，若，则（    ） A． B． C．15 D．35 【答案】A 【详解】令，可得，解得， ， 展开式中的系数为. 故选：A. 【变式7-1】若，则 . 【答案】 【详解】展开式第项， 时，时， . 故答案为：. 【变式7-2】的展开式中的系数为 . 【答案】 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，其通项为，令， 在中，展开式通项为，令，可得， 所以，的展开式中的系数为. 故答案为：. 【变式7-3】若的展开式中的系数是20，则实数的值为 ． 【答案】6 【详解】的展开式中的系数是． 故答案为：6 【变式7-4】的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 【考点题型八】二项式定理应用（） 【例8】今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过天后是星期（   ） A．二 B．三 C．四 D．五 【答案】A 【详解】因为， 所以可以写成，的形式. 所以除以7所得的余数为4. 故天后为星期二. 故选：A 【变式8-1】最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 【变式8-2】若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 【变式8-3】若，则的值被4除的余数为 ． 【答案】3 【详解】令，得， 因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即， 当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即， 所以， 又， 故被4除余3． 故答案为：. 【变式8-4】的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【详解】由 . 故答案为：. 【考点题型九】杨辉三角形（） 【例9】（多选）如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（   ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D．第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为， 则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误. 故选：ABC. 【变式9-1】杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】由杨辉三角知： 第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第15行第15个数是． 故选：B 【变式9-2】（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84 B．由“第行所有数之和为”猜想： C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为284 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【详解】A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，故A正确； B.因为,令得，故B正确； C. 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为 ，故C错误； D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为, 所以，故D正确. 故选：ABD 【变式9-3】（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 【答案】BC 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为， 所以，故D错误. 故选：BC. 【变式9-4】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【详解】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 【考点题型十】新定义问题（） 【例10】定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 【答案】A 【详解】， ， 所以除以7的余数是，除以7的余数是2， 选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0，29除以7的余数是1. 故选：A 【变式10-1】定义：中，把叫做三项式的n次系数列(例如三项式的1次系数列是，按照上面的定义，该三项式的5次系数列各项之和为 . 【答案】 【详解】令，则， 所以该三项式的5次系数列各项之和为. 故答案为：. 【变式10-2】现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 , 故选A. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的展开与复数的新定义问题，观察出二项展开的结构是解本题的关键，属于中档题. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$