精品解析：海南省东方市东方中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次月考高二年级数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 7. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列表述中正确的是（ ） A. 若不存在，则曲线在点处没有切线 B. 曲线在处的切线方程为，则当时， C. D. 若，则 10. 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 曲线在处的切线的斜率为0 C. D. 有1个极大值点 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若为单调递减函数，则 B. 若有一个极值点为e，则 C. 当时，的图象与x轴相切 D. 若有且仅有一个零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的图象在点处的切线方程为，则实数_________. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 14. 函数的最小值为______________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导函数 （1） （2）； （3） （4） 16. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； 17. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 18. 设函数. （1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； （2）讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 19. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求b； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在上单调递减，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次月考高二年级数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据导数的运算法则结合基本初等函数的导数即可得解. 【详解】; ; ; . 故选：D. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 5. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】对求导代入求出得到，代入0可得答案. 【详解】根据题意,， 则其导数， 令可得：，解可得， 则有， 故. 故选：B. 6. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 7. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【详解】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 8. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解. 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列表述中正确的是（ ） A. 若不存在，则曲线在点处没有切线 B. 曲线在处的切线方程为，则当时， C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取特例可判断A；根据导数定义及几何意义可判断B；由导数运算可判断C；先求导，令可得，然后可判断D. 【详解】对于A，不妨记，则，在处导数不存在， 但在处的切线方程为，故A错误； 对于B，若曲线在处的切线方程为， 则，即当时，， 所以，当时，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对应D，若，则， 则，解得， 所以，则，故D错误. 故选：BC 10. 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 曲线在处的切线的斜率为0 C. D. 有1个极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导函数为的图象，结合导函数与函数的关系，以及函数的极值点的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】根据定义在区间上的函数的导函数的图象， 对于A中，当时，，且仅当时，，所以在上单调递增，所以A正确； 对于B中，当时，可得，所以曲线在处的切线的斜率为，所以B正确； 对于C中，因为在上单调递增，所以不是函数的最大值，所以C不正确； 对于D中，由的图象，可得时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以只有当时，函数取得极大值，所以有1个极大值点，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若为单调递减函数，则 B. 若有一个极值点为e，则 C. 当时，的图象与x轴相切 D. 若有且仅有一个零点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由为单调递减函数，则导函数恒小于或等于0，求解即可；对B，由极值点导数值为0可解；对C，求出函数的图象在点处的切线为，可判断；对D，令，利用导数研究函数的零点. 【详解】对A：函数的定义域为，则， 由为单调递减函数，得，即， 令，，求导得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则当时，，于是，解得，故A正确； 对B：若有一个极值点为e，则，即，解得，显然B错误； 对C：当时，，显然， ，且， 因此函数的图象在点处的切线为， 则当时，的图象与x轴相切，C正确； 对D：由，得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 而当时，， 当时，， 因此函数仅有一个零点； 当时，若，则，单调递增， 若，则，单调递减， 则当时，， 函数只有一个零点，当且仅当，解得， 所以当或时，有且仅有一个零点，D错误． 故选：AC． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的图象在点处的切线方程为，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得当时，，由此即可得解. 【详解】由题意，若函数的图象在点处的切线方程为， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求出的值，再检验是否为极小值点即可. 【详解】由，又函数在处取得极小值， 则，解得，或， 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极小值， 故时符合题意； 当时，， 令，则，或， 当时，，当时，，则处取得极大值， 故时不符合题意. 故答案为：. 14. 函数的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导得出其单调性，得出函数极值并利用函数解析式画出图象可得结果. 【详解】根据题意可知函数的定义域为， 可得， 令，可得或； 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 可知在时取得极大值，在时取得极小值， 又时，，易知，且时，； 且，且时，，时，； 其图象如下图所示： 显然为最小值， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导函数 （1） （2）； （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数与指数函数的求导法则求导即得； （2）利用乘法的求导法则求导即得； （3）利用除法的求导法则求导即得； （3）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； （4）因为， 所以. 16. 已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出极值. 【小问1详解】 ， ， 故的图象在点处的切线为， 即； 【小问2详解】 的定义域为， 由（1）知， 令得，令得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，极小值为，无极大值； 17. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和；单调递减区间为. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由解得，再将代入导函数验证是否满足题意； （2）由（1）可得函数的单调区间； （3）由（2）可得函数的极值，再和端点处的函数值比较大小，即可得最值. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，. 因为函数在处取得极值，所以， 即，解得. 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 此时，函数在处取得极小值，故满足题意. 因此，. 【小问2详解】 由（1）可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（1）可知，函数在区间上有极大值，极小值. 又，，因为， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 18. 设函数. （1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； （2）讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）6，单调递增区间为，单调递减区间为 （2）当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间； （2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解； （3）转化为，分，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， ，解得， 此时， 令，有或，令，有， 所以是的极值点，满足题意， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知， 当即时，恒成立， 所以在上单调递增； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由题意 当时，令，有，令，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即 当时，不成立. 综上，. 19. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. （1）求b； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得在处切线的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，即可得答案. （2）求得的解析式，分别讨论、、和四种情况，判断的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案. （3）由题意得在上恒成立，根据x的范围及函数的性质，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. 【小问2详解】 因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. 【小问3详解】 由题意，， 所以在上恒成立， 因为时，，所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可，所以， 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $