（篇四）第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇【十五大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）苏教版

第 1 页 共 20 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 20 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 【十五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数为主，其中包括最大公因 数和最小公倍数的认识、求法以及实际应用问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考察综合性强，难度较大，多以填空和应用为主，建 议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 .......................................................................................................4 【考点二】最小公倍数 .......................................................................................................5 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数 .............................................................7 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数 .................................................................... 8 【考点五】三特殊情况其二：互质数 ................................................................................9 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系 ........................................................................ 9 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 ...........................................................10 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 .......................................................11 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题 ............................................... 12 第 3 页 共 20 页 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题 ...........................................................13 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题 ...........................................................14 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题 ...........................................................15 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题 .......................................................17 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题 ...........................................................18 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型 .............................................................. 19 第 4 页 共 20 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个 数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是 1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和 18的最大公因数是 6，写作 (12, 18) = 6。 【典型例题】 求出下列每组数的最大公因数。 45和 60 17和 51 24和 36 第 5 页 共 20 页 【对应练习 1】 找出下面每组数的最大公因数。 15和 75 18和 42 17和 18 【对应练习 2】 求出每组数的最大公因数。 14和 35 54和 45 51和 17 【对应练习 3】 求出下面每组数的最大公因数。 45和 72 12和 24 30和 45 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小 公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） 第 6 页 共 20 页 （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12 和 18的最小公倍数是 36，写 作 [12, 18] = 36。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和 72 36和 60 76和 80 【对应练习 1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和 60 8和 14 11和 34 【对应练习 2】 求下面各组数的最小公倍数。 3和 12 4和 13 7和 49 24和 15 第 7 页 共 20 页 【对应练习 3】 找出每组数的最小公倍数。 （1）4和 6 （2）12和 14 （3）11和 1 （4）32和 16 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 求三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和 117 42、56和 84 240、840和 360 【对应练习 1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和 90 60，90和 120 【对应练习 2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和 429 384，192和 64 第 8 页 共 20 页 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数。 【方法点拨】 分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这 几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题 1】问题一。 A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【对应练习 1】 A＝2×2×2×3，B＝2×3×5，A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【对应练习 2】 如果 a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数 是( )。 【对应练习 3】 a＝2×2×3×5，b＝2×3×3×5，则 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【典型例题 2】问题二。 把自然数 A和 B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果 A和 B的最大公 因数是 35，则 A和 B的最小公倍数是( )。 【对应练习 1】 把自然数 X和 Y分解质因数，分别是 3 5X n   ， 2 3Y n   ，如果 X和 Y的最 大公因数是 6，那么 n＝( )，X和 Y的最小公倍数是( )。 【对应练习 2】 已知 a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且 m不等于 0），如果 a与 b的最大公 因数是 14，则 m是( )，a和 b的最小公倍数是( )。 【对应练习 3】 如果 A＝2m×5，B＝2×3m，已知 A和 B的最大公因数是 8，那么 m＝( )， A和 B的最小公倍数是( )。 第 9 页 共 20 页 【考点五】三特殊情况其二：互质数。 【方法点拨】 在互质数中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 【典型例题】 非 0自然数 a和 b的最大公因数是 1，它们的最小公倍数是( )。 【对应练习 1】 A、B都是大于零的自然数，且 A－B＝1，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【对应练习 2】 如果 m＝n＋1（m，n为非 0的自然数），m和 n的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【对应练习 3】 a与 b都是一位数，且都是质数，如果 a＋b＝12，那么 a与 b的最大公因数是 ( )，最小公倍数是( )。 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系。 【方法点拨】 在倍数关系中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 乙数是甲数的 3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【对应练习 1】 a÷b＝5，（a、b是不为 0的自然数），那么 a、b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【对应练习 2】 如果 a÷b＝6，那么 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 （a，b均为非 0自然数） 第 10 页 共 20 页 【对应练习 3】 x是 12的倍数，那么 x与 12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 【典型例题】 2024年 4月 22日是第 55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自 然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长 42米，另一条长 48米，现 在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳 子长几米？一共能剪成几段？ 【对应练习 1】 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段 最长是多少厘米？ 【对应练习 2】 有两根绳子，一根长 28米，另一根长 24米，现在要把它们截成相等的小段，每 根不许有剩余，每小段最长为多少厘米？一共可以截成多少段？ 第 11 页 共 20 页 【对应练习 3】 有两根钢丝，长度分别是 18米和 24米，现在要把它们截成长度相同的小段，但 每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 一张不锈钢板，长 90厘米，宽 70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而 没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 【对应练习 1】 一种大号长方形彩纸，长是 45厘米，宽是 30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一 样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【对应练习 2】 把一张长 15厘米，宽 9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（边长是整厘米数）。 如果要求纸没有剩余，至少可以裁出多少个这样的正方形？ 第 12 页 共 20 页 【对应练习 3】 “3.14数学节”时，红星小学的同学们为了做海报，要将一张长 24厘米，宽 18厘 米的画纸，裁成大小一样且尽可能大的正方形，要求不能有剩余，裁得的正方形 画纸边长最长是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形画纸？（写出主要思考 过程，再在下边的长方形中画图验证） 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题。 【方法点拨】 注意理解题意，再求最大公因数。 【典型例题】 把 42个“冰墩墩”和 39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩” 的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多 2个，“雪容融”多 3个， 最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 【对应练习 1】 有 36支铅笔和 40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多 1支，而练 习本少 2本。获奖的少先队员有多少人？ 第 13 页 共 20 页 【对应练习 2】 分别将 22块橡皮和 33支铅笔平均分给打扫校园卫生的同学，结果橡皮多一块， 铅笔少 2支。参加打扫校园卫生的同学有多少名？ 【对应练习 3】 花店新进了 50朵玫瑰和 40朵百合，要用这两种花搭配扎成相同的花束，结果玫 瑰多 2朵，百合多 4朵，最多能扎几束？每束中的玫瑰、百合各有几朵？ 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给 m个小朋友可以恰好分完，那么总数是 m的倍数，若平均分给 n个 小朋友可以恰好分完，那么总数也是 n的倍数，所以总数是 m和 n 的公倍数， 根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 有一堆总数不超过 50个的苹果，不管是分给 12个小朋友还是分给 16个小朋友 都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【对应练习 1】 课后服务活动小组每组有组员 6人或 8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴 趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全 部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 第 14 页 共 20 页 【对应练习 2】 熊妈妈摘了一筐苹果，无论是平均分给 6个熊宝宝，还是平均分给 10个熊宝宝， 都正好分完。这筐苹果至少有多少个？ 【对应练习 3】 把一些科普读本平均分给幼儿园的小朋友，无论是分给 5个小朋友，还是分给 9 个朋友，都正好分好。这些科普读本最少有多少本？ 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 根据题意求最小公倍数，注意限定范围。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成 6人一组或 8人一组都多 4人，已知篮球队的人 数在 50－60人之间，篮球队有多少人？ 【对应练习 1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站 12人或站 16人，都能正好站成整 排，参加体操表演的学生在 90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 第 15 页 共 20 页 【对应练习 2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用 65瓶。已知平均每 2人用一瓶 A饮料，每 3人用一瓶 B饮料，每 4人用一瓶 C饮料。有多少人参加会餐？ 【对应练习 3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在 40－50人之间，如果把参赛的人数分成 6人一 组或分成 8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的最小公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最 后一天是几号。 【典型例题 1】问题一。 我市 7路和 10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后， 过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔 6分钟发一次车 10路：每隔 8分钟发一次车 【对应练习 1】 那西公交 8路车和 3路车早上 6：25同时从公交车站出发，若 8路车每 35分钟 发一次，3路车每 20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 第 16 页 共 20 页 【对应练习 2】 偃师 802路和 803路公交车早上 7时同时从起始站发车，802路车每 10分钟发 一辆，803路车每 15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 【对应练习 3】 1路车每 5分钟发一次车，2路车每 8分钟发一次车，15路车每 10分钟发一次 车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几 分？ 【典型例题 2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每 12天去一次，乙每 16天去一次，如果 4 月 25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 【对应练习 1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每 6天去一次，小军每 8天去一 次。7月 31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 第 17 页 共 20 页 【对应练习 2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每 5天去一次，小红每 4天去一次，5月 3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 【对应练习 3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作 3天轮休 1天，妈妈每工作 4天轮 休 1天，3月 5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休 息的有几天？分别是哪几天？ 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题： 余数相同时，减去余数得到整除，遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小 公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给 8个人，还是平均分给 14个人，结果都剩下 1个。这筐苹果至少有多少个？ 【对应练习 1】 庆祝“建党 100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是 5人一队，还是 6人一队，都多 3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 第 18 页 共 20 页 【对应练习 2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分 4个苹果，还是每人分 7个苹果， 都多 3个。这箱苹果至少有多少个？ 【对应练习 3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分 9棵，余 1棵：每组同 学分 11棵，也余 1棵。这批树苗至少有几棵？ 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给 8个人多 7块，平均分给 6个人多 5块，这些糖果最少有 多少块? 【对应练习 1】 某班同学排队，排成 7排多 3人，排成 8排少 4人。这个班至少有( )人。 加上 4人后，总人数既是 7的倍数，也是 8的倍数； 【对应练习 2】 把一些糖果平均分给 4个小朋友或 6个小朋友都少 2颗，这些糖果至少有 ( )颗。 第 19 页 共 20 页 【对应练习 3】 一些贝壳，4个 4个地数，最后多 1个；5个 5个地数，最后多 2个；7个 7个 地数，最后少 3个。这些贝壳至少有多少个？ 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗 4颗数多 3颗，6颗 6颗数多 5颗，5颗 5颗数多 4颗。如果这 盒围棋子的数量在 150至 200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 【对应练习 1】 育才小学五年级同学排成 3路纵队多出 1人，排成 5路纵队多出 1人，排成 7 路纵队还多出 1人，五年级的人数在 200人左右。五年级有多少人？ 【对应练习 2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在 40～50人，分为 6人一组或 8人一 组，都多 1人，一共有多少学生参加比赛？ 第 20 页 共 20 页 【对应练习 3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋 4个 4个地数多 3个，6个 6个地数多 5个，15 个 15个地数多 14个。已知这些鸡蛋的个数在 150~200个之间，食堂买来了多少 个鸡蛋？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 【十五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数为主，其中包括最大公因数和最小公倍数的认识、求法以及实际应用问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考察综合性强，难度较大，多以填空和应用为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 4 【考点二】最小公倍数 5 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数 7 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数 8 【考点五】三特殊情况其二：互质数 9 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系 9 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 10 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 11 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题 12 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题 13 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题 14 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题 15 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题 17 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题 18 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型 19 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 【典型例题】 求出下列每组数的最大公因数。 45和60        17和51        24和36 【对应练习1】 找出下面每组数的最大公因数。 15和75     18和42     17和18 【对应练习2】 求出每组数的最大公因数。 14和35               54和45               51和17 【对应练习3】 求出下面每组数的最大公因数。 45和72           12和24          30和45 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和72     36和60     76和80 【对应练习1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和60                 8和14                11和34 【对应练习2】 求下面各组数的最小公倍数。 3和12          4和13         7和49            24和15 【对应练习3】 找出每组数的最小公倍数。 （1）4和6        （2）12和14        （3）11和1        （4）32和16 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 求三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和117                       42、56和84                           240、840和360 【对应练习1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和90　　　 60，90和120 【对应练习2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和429             384，192和64 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数。 【方法点拨】 分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题1】问题一。 A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习1】 A＝2×2×2×3，B＝2×3×5，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习2】 如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习3】 a＝2×2×3×5，b＝2×3×3×5，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【典型例题2】问题二。 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【对应练习1】 把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 【对应练习2】 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【对应练习3】 如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因数是8，那么m＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【考点五】三特殊情况其二：互质数。 【方法点拨】 在互质数中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【典型例题】 非0自然数a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是( )。 【对应练习1】 A、B都是大于零的自然数，且A－B＝1，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习2】 如果m＝n＋1（m，n为非0的自然数），m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习3】 a与b都是一位数，且都是质数，如果a＋b＝12，那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系。 【方法点拨】 在倍数关系中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 乙数是甲数的3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习1】 a÷b＝5，（a、b是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习2】 如果a÷b＝6，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。（a，b均为非0自然数） 【对应练习3】 x是12的倍数，那么x与12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 【典型例题】 2024年4月22日是第55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长42米，另一条长48米，现在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳子长几米？一共能剪成几段？ 【对应练习1】 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段最长是多少厘米？ 【对应练习2】 有两根绳子，一根长28米，另一根长24米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长为多少厘米？一共可以截成多少段？ 【对应练习3】 有两根钢丝，长度分别是18米和24米，现在要把它们截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 一张不锈钢板，长90厘米，宽70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 【对应练习1】 一种大号长方形彩纸，长是45厘米，宽是30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【对应练习2】 把一张长15厘米，宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（边长是整厘米数）。如果要求纸没有剩余，至少可以裁出多少个这样的正方形？ 【对应练习3】 “3.14数学节”时，红星小学的同学们为了做海报，要将一张长24厘米，宽18厘米的画纸，裁成大小一样且尽可能大的正方形，要求不能有剩余，裁得的正方形画纸边长最长是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形画纸？（写出主要思考过程，再在下边的长方形中画图验证） 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题。 【方法点拨】 注意理解题意，再求最大公因数。 【典型例题】 把42个“冰墩墩”和39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多2个，“雪容融”多3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 【对应练习1】 有36支铅笔和40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多1支，而练习本少2本。获奖的少先队员有多少人？ 【对应练习2】 分别将22块橡皮和33支铅笔平均分给打扫校园卫生的同学，结果橡皮多一块，铅笔少2支。参加打扫校园卫生的同学有多少名？ 【对应练习3】 花店新进了50朵玫瑰和40朵百合，要用这两种花搭配扎成相同的花束，结果玫瑰多2朵，百合多4朵，最多能扎几束？每束中的玫瑰、百合各有几朵？ 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给m个小朋友可以恰好分完，那么总数是m的倍数，若平均分给n个小朋友可以恰好分完，那么总数也是n的倍数，所以总数是m和n的公倍数，根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 有一堆总数不超过50个的苹果，不管是分给12个小朋友还是分给16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【对应练习1】 课后服务活动小组每组有组员6人或8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【对应练习2】 熊妈妈摘了一筐苹果，无论是平均分给6个熊宝宝，还是平均分给10个熊宝宝，都正好分完。这筐苹果至少有多少个？ 【对应练习3】 把一些科普读本平均分给幼儿园的小朋友，无论是分给5个小朋友，还是分给9个朋友，都正好分好。这些科普读本最少有多少本？ 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 根据题意求最小公倍数，注意限定范围。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？ 【对应练习1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站12人或站16人，都能正好站成整排，参加体操表演的学生在90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【对应练习2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶。已知平均每2人用一瓶A饮料，每3人用一瓶B饮料，每4人用一瓶C饮料。有多少人参加会餐？ 【对应练习3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在40－50人之间，如果把参赛的人数分成6人一组或分成8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的最小公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。 【典型例题1】问题一。 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 【对应练习1】 那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 【对应练习2】 偃师802路和803路公交车早上7时同时从起始站发车，802路车每10分钟发一辆，803路车每15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 【对应练习3】 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 【典型例题2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 【对应练习1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 【对应练习2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 【对应练习3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题： 余数相同时，减去余数得到整除，遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 【对应练习1】 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 【对应练习2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分4个苹果，还是每人分7个苹果，都多3个。这箱苹果至少有多少个？ 【对应练习3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 【对应练习1】 某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有( )人。 加上4人后，总人数既是7的倍数，也是8的倍数； 【对应练习2】 把一些糖果平均分给4个小朋友或6个小朋友都少2颗，这些糖果至少有( )颗。 【对应练习3】 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 【对应练习1】 育才小学五年级同学排成3路纵队多出1人，排成5路纵队多出1人，排成7路纵队还多出1人，五年级的人数在200人左右。五年级有多少人？ 【对应练习2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在40～50人，分为6人一组或8人一组，都多1人，一共有多少学生参加比赛？ 【对应练习3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋4个4个地数多3个，6个6个地数多5个，15个15个地数多14个。已知这些鸡蛋的个数在150~200个之间，食堂买来了多少个鸡蛋？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 35 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 35 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 【十五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数为主，其中包括最大公因 数和最小公倍数的认识、求法以及实际应用问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考察综合性强，难度较大，多以填空和应用为主，建 议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 .......................................................................................................4 【考点二】最小公倍数 .......................................................................................................6 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数 .............................................................9 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数 .................................................................. 10 【考点五】三特殊情况其二：互质数 ..............................................................................14 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系 ...................................................................... 15 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 ...........................................................16 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 .......................................................19 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题 ............................................... 21 第 3 页 共 35 页 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题 ...........................................................23 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题 ...........................................................25 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题 ...........................................................27 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题 .......................................................31 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题 ...........................................................32 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型 .............................................................. 33 第 4 页 共 35 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个 数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是 1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和 18的最大公因数是 6，写作 (12, 18) = 6。 【典型例题】 求出下列每组数的最大公因数。 45和 60 17和 51 24和 36 【答案】15；17；12 【分析】我们可以利用质因数分解法来求出两个数的最大公因数：每个数分别分 解质因数，然后找出相同的质因数，最后将这些相同的质因数相乘得到最大公因 数。 第 5 页 共 35 页 【详解】（1）45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 所以，45和 60的最大公因数为：3×5＝15； （2）17＝1×17 51＝3×17 所以，17和 51的最大公因数为：17； （3）24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以，24和 36的最大公因数为：2×2×3＝12。 【对应练习 1】 找出下面每组数的最大公因数。 15和 75 18和 42 17和 18 【答案】15；6；1 【分析】①如果两个数中大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因 数；②当两个数是互质数时，它们的最大公因数是 1；③用短除法求最大公因数， 先用这几个数的最小质因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有 的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】（1）75 15 5  ，所以 15和 75的最大公因数是 15； （2） 18和 42的最大公因数是：2 3 6  ； （3） 17和 18是互质数，所以 17和 18的最大公因数是 1。 【对应练习 2】 求出每组数的最大公因数。 14和 35 54和 45 51和 17 【答案】7；9；17 【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是 1； 第 6 页 共 35 页 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个 数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】14＝2×7 35＝5×7 14和 35的最大公因数是 7； 54＝2×3×3×3 45＝3×3×5 3×3＝9 54和 45的最大公因数是 9； 51÷17＝3 51和 17是倍数关系，所以 51和 17的最大公因数是 17。 【对应练习 3】 求出下面每组数的最大公因数。 45和 72 12和 24 30和 45 【答案】9；12；15 【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来， 所得的积就是它们的最大公因数；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。 【详解】因为 45＝3×3×5 72＝2×2×2×3×3 所以 45和 72的最大公因数是 3×3＝9； 因为 24÷12＝2，所以 12和 24的最大公因数是 12； 因为 30＝2×3×5 45＝3×3×5 所以 30和 45的最大公因数是 3×5＝15。 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小 第 7 页 共 35 页 公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12 和 18的最小公倍数是 36，写 作 [12, 18] = 36。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和 72 36和 60 76和 80 【答案】216；180；1520 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。 可以用短除法进行计算，把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几 个数，直到得出的商只有公因数 1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最 小公倍数。 【详解】 3×3×3×8＝216 第 8 页 共 35 页 27和 72的最小公倍数是 216； 2×2×3×3×5＝180 36和 60的最小公倍数是 180； 2×2×19×20＝1520 76和 80的最小公倍数是 1520。 【对应练习 1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和 60 8和 14 11和 34 【答案】60；56；374 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。 两数成倍数关系，最小公倍数是较大数；两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】60÷10＝6，10和 60的最小公倍数是 60； 8＝2×2×2、14＝2×7 2×2×2×7＝56 8和 14的最小公倍数是 56； 11×34＝374 11和 34的最小公倍数是 374。 【对应练习 2】 求下面各组数的最小公倍数。 3和 12 4和 13 7和 49 24和 15 第 9 页 共 35 页 【答案】12；52；49；120 【分析】最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；若两个数互为倍数关 系，则较大的数就是它们的最小公倍数；若两个数是互质数，则最小公倍数就是 它们的乘积。据此计算即可。 【详解】因为 12÷3＝4，所以 3和 12互为倍数关系，所以 3和 12的最小公倍数 是 12； 因为 4和 13互质，所以 4和 13的最小公倍数是 4×13＝52； 因为 49是 7的倍数，所以 7和 49的最小公倍数是 49； 因为 24＝2×2×2×3 15＝3×5 所以 24和 15的最小公倍数是 2×2×2×3×5＝120。 【对应练习 3】 找出每组数的最小公倍数。 （1）4和 6 （2）12和 14 （3）11和 1 （4）32和 16 【答案】（1）12；（2）84 （3）11；（4）32 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。两数互质，最小公倍数是两数的积；两数成倍数关系，最小公倍数 是较大数，据此分析。 【详解】（1）4＝2×2、6＝2×3，2×2×3＝12 4和 6的最小公倍数是 12。 （2）12＝2×2×3、14＝2×7，2×2×3×7＝84 12和 14的最小公倍数是 84。 （3）11和 1互质，11×1＝11 11和 1的最小公倍数是 11。 （4）32÷16＝2 32和 16的最小公倍数是 32。 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 第 10 页 共 35 页 求三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和 117 42、56和 84 240、840和 360 解析： （13,39,117）=13 （42,56,84）=14 (240,840,360)=120 [13,39,117]=117 [42,56,84]=168 [240,840,360]=5040 【对应练习 1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和 90 60，90和 120 解析：略。 【对应练习 2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和 429 384，192和 64 解析： 143，858；64，384 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数。 【方法点拨】 分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这 几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题 1】问题一。 A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 6 90 【分析】把 A和 B公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数， 把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【详解】因为 A＝2×3×5，B＝2×3×3，所以 A和 B的最大公因数是 2×3＝6，最 小公倍数是 2×3×5×3＝90。 第 11 页 共 35 页 【对应练习 1】 A＝2×2×2×3，B＝2×3×5，A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 6 120 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍 数。 【详解】2×3＝6 2×2×2×3×5＝120 A和 B的最大公因数是 6，最小公倍数是 120。 【对应练习 2】 如果 a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数 是( )。 【答案】 14 210 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是 它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最 小公倍数。 【详解】a＝2×3×7 b＝2×5×7 a和 b的最大公因数是：2×7＝14； a和 b的最小公倍数是：2×3×5×7＝210。 填空如下： 如果 a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么 a和 b的最大公因数是（14），最小公倍数是 （210）。 【对应练习 3】 a＝2×2×3×5，b＝2×3×3×5，则 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 30 180 【分析】把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它 第 12 页 共 35 页 们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【详解】a＝2×2×3×5，b＝2×3×3×5，则 a和 b的最大公因数是 2×3×5＝30； 最小公倍数是 2×2×3×5×3＝180。 则 a和 b的最大公因数是 30，最小公倍数是 180。 【典型例题 2】问题二。 把自然数 A和 B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果 A和 B的最大公 因数是 35，则 A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因 数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A＝2×5×N B＝3×5×N A和 B的最大公因数是：5N＝35； N＝35÷5＝7 A和 B的最小公倍数是：2×3×5×N； 当 N＝7时，2×3×5×7＝210； 所以，A和 B的最小公倍数是 210。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【对应练习 1】 把自然数 X和 Y分解质因数，分别是 3 5X n   ， 2 3Y n   ，如果 X和 Y的最 大公因数是 6，那么 n＝( )，X和 Y的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【分析】X和 Y公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，目前公有质因数 只有 3，6÷3＝2，那么 n是 2，才能保证这两个数的最大公因数是 6； 公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数，据此列式求出 X和 Y 的最小公倍数。 【详解】6÷3＝2 2×3×5×2＝60 第 13 页 共 35 页 所以，n＝2，X和 Y的最小公倍数是 60。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，掌握最大公因数和最小公倍数的 求法是解题的关键。 【对应练习 2】 已知 a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且 m不等于 0），如果 a与 b的最大公 因数是 14，则 m是( )，a和 b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 据此可知 2×m＝14，根据等式的性质 2，两边同时÷2，即可求出 m的值。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍 数。 【详解】2×m＝14 解：2×m÷2＝14÷2 m＝7 2×3×5×7＝210 已知 a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且 m不等于 0），如果 a与 b的最大公 因数是 14，则 m是 7，a和 b的最小公倍数是 210。 【点睛】关键是理解最大公因数和最小公倍数的意义，掌握最大公因数和最小公 倍数的求法。 【对应练习 3】 如果 A＝2m×5，B＝2×3m，已知 A和 B的最大公因数是 8，那么 m＝( )， A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】 4 120 【分析】由题意可知，B＝2×3m＝2m×3，则 A和 B的最大公因数是 2m，A和 B 的最小公倍数是 2m×3×5，据此解答。 【详解】A＝2m×5，B＝2×3m＝2m×3，则 2m是两个数的最大公因数，m＝8÷2 ＝4，A和 B的最小公倍数是 2×4×3×5＝120，所以 m＝4，A和 B的最小公倍数 是 120。 【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的求法，根据两个数的最大公因 第 14 页 共 35 页 数求出 m的值是解答题目的关键。 【考点五】三特殊情况其二：互质数。 【方法点拨】 在互质数中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 【典型例题】 非 0自然数 a和 b的最大公因数是 1，它们的最小公倍数是( )。 【答案】ab 【分析】两数互质，最大公因数是 1，由此可知，a和 b是互质关系，两数互质， 最小公倍数是两数的积，据此分析。 【详解】非 0自然数 a和 b的最大公因数是 1，a和 b互质，它们的最小公倍数 是 ab。 【对应练习 1】 A、B都是大于零的自然数，且 A－B＝1，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 【分析】互质数：公因数只有 1的两个自然数，叫做互质数，相邻的自然数互质； 最大公因数：两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个公 因数就叫做这几个数的最大公因数； 最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫作它们的公倍数，其中最小的一个公 倍数就叫做这几个数的最小公倍数； 两个数互质，则最大公因数是 1，最小公倍数就是这两个数的乘积。据此解答。 【详解】A、B都是大于零的自然数，且 A－B＝1，所以 A和 B互质，所以 A 和 B的最大公因数是 1，最小公倍数是 AB。 【对应练习 2】 如果 m＝n＋1（m，n为非 0的自然数），m和 n的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 1 mn 【分析】相邻的自然数之间相差 1，相邻的两个自然数是互质数，两数互质，最 第 15 页 共 35 页 大公因数是 1，最小公倍数是两数的积，据此分析。 【详解】如果 m＝n＋1（m，n为非 0的自然数），说明 m和 n互质，m和 n的 最大公因数是 1，最小公倍数是 mn。 【对应练习 3】 a与 b都是一位数，且都是质数，如果 a＋b＝12，那么 a与 b的最大公因数是 ( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 35 【分析】根据题意，a与 b都是一位数，且都是质数，由 a＋b＝12，可知 5＋7 ＝12，由此确定 a、b的值，且 a与 b是互质数； 根据“当两个数是互质数时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是两数的乘积”， 求出 a与 b的最大公因数和最小公倍数。 【详解】5＋7＝12，5、7都是一位数，且都是质数； 所以 a＝5，b＝7或 a＝7，b＝5； 5和 7的最大公因数是 1，最小公倍数是 5×7＝35； 那么 a与 b的最大公因数是 1，最小公倍数是 35。 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系。 【方法点拨】 在倍数关系中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 乙数是甲数的 3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 甲数 乙数 【分析】根据题意，乙数是甲数的 3倍，说明甲数和乙数是倍数关系，且乙数＞ 甲数，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大 数”进行解答。 【详解】乙数是甲数的 3倍，甲、乙两数的最大公因数是甲数，最小公倍数是乙 数。 【对应练习 1】 第 16 页 共 35 页 a÷b＝5，（a、b是不为 0的自然数），那么 a、b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】当两个数为倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数，较小的数是它 们的最大公因数；由此解答问题即可。 【详解】由 a÷b＝5（a、b是不为 0的自然数），可得 a和 b是倍数关系，所以 a和 b的最大公因数是 b，最小公倍数的 a。 【对应练习 2】 如果 a÷b＝6，那么 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 （a，b均为非 0自然数） 【答案】 b a 【分析】一个数是另外一个数的几倍，则最大公因数是小的那个数，最小公倍数 是大的那个数。 【详解】a÷b＝6，a是 b的 6倍，a是大的数，b是小的数，则最大公因数是 b， 最小公倍数是 a。 【对应练习 3】 x是 12的倍数，那么 x与 12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 12 x 【分析】一个数是另一个数的倍数，那么它们最大公因数是较小的数，最小公倍 数是较大的那个数，据此解答即可。 【详解】x是 12的倍数，那么 x与 12的最大公因数是 12，最小公倍数是 x。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，解答本题的关键是掌握求两个数的 最大公因数和最小公倍数的计算方法。 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 第 17 页 共 35 页 【典型例题】 2024年 4月 22日是第 55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自 然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长 42米，另一条长 48米，现 在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳 子长几米？一共能剪成几段？ 【答案】6米；15段 【分析】根据题意，可计算出 42与 48的最大公因数，即是每段绳子最长的长度， 再用两条彩绳的和除以每段的长度，即可得到剪成几段，列式解答即可得到答案。 【详解】 42和 48的最大公因数是：2 3 6  （米）  42 48 6  90 6  15 （段） 答：剪成的每段绳子长 6米，一共能剪成 15段。 【对应练习 1】 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段 最长是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】因为这两根木棒不能有剩余，那么每段最长的长度是这两根木棒长度的 最大公因数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公 因数。据此求出两个木棒长度的最大公因数，也就是每段最长厘米数。 【详解】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是 6厘米。 第 18 页 共 35 页 【对应练习 2】 有两根绳子，一根长 28米，另一根长 24米，现在要把它们截成相等的小段，每 根不许有剩余，每小段最长为多少厘米？一共可以截成多少段？ 【答案】4厘米；13段 【分析】根据题意，每小段最长是 28和 24的最大公因数。将 28和 24分解质因 数，两个数公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数。将 28米除以每小段最 长的长度，求出第一根绳子能截成几段。同理，求出第二根绳子能截成几段。利 用加法求出一共可以截成几段。 【详解】28＝2×2×7 24＝2×2×2×3 28和 24的最大公因数：2×2＝4 28÷4＋24÷4 ＝7＋6 ＝13（段） 答：每小段最长为 4厘米，一共可以截成 13段。 【对应练习 3】 有两根钢丝，长度分别是 18米和 24米，现在要把它们截成长度相同的小段，但 每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】6米；7段 【分析】把两根钢丝截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，求每小段最长 是多少，就是求 18和 24的最大公因数，把 18和 24分解质因数后，把公有的相 同质因数乘起来就是 18和 24的最大公因数，即是每小段最长的长度，再分别用 两根钢丝的长度除以每小段最长的长度，把得到的数再相加，即可求出一共可以 截成多少段，据此解答。 【详解】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和 24的最大公因数是：2×3＝6。 18÷6＋24÷6 ＝3＋4 第 19 页 共 35 页 ＝7（段） 答：每小段最长是 6米，一共可以截成 7段。 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 一张不锈钢板，长 90厘米，宽 70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而 没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 【答案】10厘米；63块 【分析】由题意可知，剪成的小正方形的边长必须是 90和 70的公因数，才能保 证没有剩余，所以求剪出的正方形边长最大是多少，就是求 90和 70的最大公因 数，可以通过分解质因数法求出 90和 70的最大公因数；再用大长方形的面积除 以小正方形的面积，即可求出能剪多少个。 【详解】90＝2×3×3×5 70＝2×5×7 90和 70的最大公因数：2×5＝10 90×70÷（10×10） ＝6300÷100 ＝63（块） 答：剪出的正方形的边长最大是 10厘米，可以剪 63块。 【对应练习 1】 一种大号长方形彩纸，长是 45厘米，宽是 30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一 样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】把彩纸裁成大小一样的正方形纸，且正方形纸的边长要最大，就是求长 方形长和宽的最大公因数，把 45和 30的因数列出来，再找出它们的最大公因数， 第 20 页 共 35 页 即可解答。 【详解】45的因数：1、3、5、9、15、45。 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 45和 30的公因数：1、3、5、15。 45和 30的最大公因数是 15。 答：正方形纸的边长最大可以是 15厘米。 【对应练习 2】 把一张长 15厘米，宽 9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（边长是整厘米数）。 如果要求纸没有剩余，至少可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】15个 【分析】要把长方形纸裁成同样大的正方形且没有剩余，就是求长方形长和宽的 最大公因数，由此确定正方形的边长，再分别算出长方形纸的长边和宽边可以裁 出多少个正方形，最后用乘法计算一共能裁出多少个正方形，据此解答。 【详解】15的因数：1、3、5、15。 9的因数：1、3、9。 9和 15的最大公因数是 3，因此正方形的边长是 3厘米。 （15÷3）×（9÷3） ＝5×3 ＝15（个） 答：至少可以裁出 15个这样的正方形。 【对应练习 3】 “3.14数学节”时，红星小学的同学们为了做海报，要将一张长 24厘米，宽 18厘 米的画纸，裁成大小一样且尽可能大的正方形，要求不能有剩余，裁得的正方形 画纸边长最长是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形画纸？（写出主要思考 过程，再在下边的长方形中画图验证） 【答案】6厘米；12个 图见详解 第 21 页 共 35 页 【分析】（1）根据题意，求裁的正方形边长尽可能大，就是求 24和 18的最大 公因数，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，据此求出正 方形的边长；再分别求出长方形画纸的长边、宽边含有的小正方形画纸的块数， 再把两个数相乘即可求出可以需要的小正方形画纸的块数。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和 18的最大公因数是 2×3＝6；裁得的正方形的边长是 6厘米。 （24÷6）×（18÷6） ＝4×3 ＝12（个） 如图： 答：裁得的正方形画纸边长最长是 6厘米，可以裁出 12个这样的正方形画纸。 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题。 【方法点拨】 注意理解题意，再求最大公因数。 【典型例题】 把 42个“冰墩墩”和 39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩” 的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多 2个，“雪容融”多 3个， 最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 【答案】4个；“冰墩墩”10个；“雪容融”9个 【分析】根据题意，如果“冰墩墩”有 42－2＝40个，“冰墩墩”有 39－3＝36个， 就正好平均分完，且每个小朋友分得的个数相同，那么小朋友最多的人数就是 40和 36的最大公因数。 再用 40和 36分别除以小朋友最多的人数，即可求出每个小朋友可分得“冰墩墩” 和“雪容融”的个数。 【详解】42－2＝40（个） 第 22 页 共 35 页 39－3＝36（个） 40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和 36的最大公因数是：2×2＝4 即最多有 4个小朋友。 分得“冰墩墩”的个数：40÷4＝10（个） 分得“雪容融”的个数：36÷4＝9（个） 答：最多有 4个小朋友，每个小朋友分得 10个“冰墩墩”和 9个“雪容融”。 【对应练习 1】 有 36支铅笔和 40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多 1支，而练 习本少 2本。获奖的少先队员有多少人？ 【答案】7人 【分析】根据题意，需要找出铅笔数量和练习本数量的最大公因数，题中给出铅 笔多 1支，练习本少 2本，那么将铅笔数量减去 1支，36－1＝35（支）练习本 数量加上 2本，40＋2＝42（本），刚好够分，35的因数有 1、5、7、35，42的 因数有 1、2、3、6、7、14、21、42，35和 42的公因数只有 1和 7，则获奖的 少先队员只能是 7人。 【详解】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有 1、5、7、35，42的因数有 1、2、3、6、7、14、21、42，则 42和 35的最大公因数为：7，也就是获奖的少先队员有 7人。 答：获奖的少先队员有 7人。 【对应练习 2】 分别将 22块橡皮和 33支铅笔平均分给打扫校园卫生的同学，结果橡皮多一块， 铅笔少 2支。参加打扫校园卫生的同学有多少名？ 【答案】7名 【分析】22块橡皮和 33支铅笔平均分给打扫校园卫生的同学，橡皮多一块，铅 笔少 2支，说明同学人数是（22－1）和（33＋2）的最大公因数，求出（22－1） 和（33＋2）的最大公因数即可。 第 23 页 共 35 页 【详解】22－1＝21（块） 33＋2＝35（支） 21＝3×7 35＝5×7 21和 35的最大公因数是 7。 答：参加打扫校园卫生的同学有 7名。 【点睛】关键是理解最小公倍数的意义，掌握最大公因数的求法。 【对应练习 3】 花店新进了 50朵玫瑰和 40朵百合，要用这两种花搭配扎成相同的花束，结果玫 瑰多 2朵，百合多 4朵，最多能扎几束？每束中的玫瑰、百合各有几朵？ 【答案】12束；玫瑰 4朵；百合 3朵 【分析】根据题意，两种花搭配扎成相同的花束，结果玫瑰多 2朵，百合多 4 朵，即玫瑰用了 50－2＝48朵，百合用了 40－4＝36朵；求最多能扎的束数，就 是求 48和 36的最大公因数；然后用玫瑰、百合的朵数除以最多扎的束数，即可 求出每束中的玫瑰、百合的朵数。 【详解】玫瑰用了：50－2＝48（朵） 百合用了：40－4＝36（朵） 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和 36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多能扎 12束。 每束中的玫瑰朵数：48÷12＝4（朵） 每束中的百合朵数：36÷12＝3（朵） 答：最多能扎 12束，每束中的玫瑰有 4朵，百合有 3朵。 【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题。 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给 m个小朋友可以恰好分完，那么总数是 m的倍数，若平均分给 n个 第 24 页 共 35 页 小朋友可以恰好分完，那么总数也是 n的倍数，所以总数是 m和 n 的公倍数， 根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 有一堆总数不超过 50个的苹果，不管是分给 12个小朋友还是分给 16个小朋友 都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【答案】48个 【分析】不管是分给 12个小朋友还是分给 16个小朋友都刚好分完，说明苹果的 总数量是 12和 16的公倍数，求出 12和 16的最小公倍数即可。全部公有的质因 数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（个） 48＜50 答：这堆苹果有 48个。 【对应练习 1】 课后服务活动小组每组有组员 6人或 8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴 趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全 部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【答案】24份 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。从题意可知：无论分给 6人或 8人且全部送出，说明没有剩余，那 么这个数就是 6和 8的公倍数，要使这个数最小，只要求出 6和 8的最小公倍数 即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 答：老师至少要准备 24份礼物。 【对应练习 2】 熊妈妈摘了一筐苹果，无论是平均分给 6个熊宝宝，还是平均分给 10个熊宝宝， 第 25 页 共 35 页 都正好分完。这筐苹果至少有多少个？ 【答案】30个 【分析】苹果数能被 6和 10整除，求苹果至少有多少个，就是求 6和 10的最小 公倍数，据此解答。 【详解】6＝2×3，10＝2×5 所以 6和 10的最小公倍数是 2×3×5 ＝6×5 ＝30 答：这筐苹果至少有 30个。 【对应练习 3】 把一些科普读本平均分给幼儿园的小朋友，无论是分给 5个小朋友，还是分给 9 个朋友，都正好分好。这些科普读本最少有多少本？ 【答案】45本 【分析】分给 5个小朋友，还是分给 9个朋友，都正好分好，说明科普读本的数 量是 5和 9的公倍数，求出 5和 9的最小公倍数就是科普读本的最少数量。两数 互质，最小公倍数是两数的积，据此分析。 【详解】5和 9互质。 5×9＝45（本） 答：这些科普读本最少有 45本。 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 根据题意求最小公倍数，注意限定范围。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成 6人一组或 8人一组都多 4人，已知篮球队的人 数在 50－60人之间，篮球队有多少人？ 【答案】52人 【分析】由题意可知，篮球队的人数应是 6和 8的公倍数再 4，先求出 6和 8 的最小公倍数，再结合人数在 50－60人之间解答即可。 第 26 页 共 35 页 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 则 6和 8的最小公倍数是 2×3×2×2＝24 24×2＋4 ＝48＋4 ＝52（人） 答：篮球队有 52人。 【点睛】本题考查公倍数和最小公倍数，明确求公倍数和最小公倍数的方法是解 题的关键。 【对应练习 1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站 12人或站 16人，都能正好站成整 排，参加体操表演的学生在 90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【答案】96人 【分析】由题意可知：参加体操表演的学生人数是 12的倍数，也是 16的倍数， 即是 12和 16的公倍数。先求出 12和 16的最小公倍数，然后再求出 90~100之 间 12和 16的最小公倍数的倍数，即是参加体操表演的人数。 【详解】 12和 16的最小公倍数是 2×2×3×4＝48。 48×2＝96（人） 90＜96＜100 答：有 96人参加体操表演。 【点睛】当所求量分别与两个已知量的倍数有关时，可以用公倍数或最小公倍数 的知识解决。 【对应练习 2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用 65瓶。已知平均每 2人用一瓶 A饮料，每 3人用一瓶 B饮料，每 4人用一瓶 C饮料。有多少人参加会餐？ 【答案】60人 第 27 页 共 35 页 【分析】根据题意可知参加会餐的人数是不变的，一定是 2、3、4的公倍数，那 就先求出 2、3、4的最小公倍数是 12，若安排 12人一桌，那么一桌共需要饮料 12÷2＋12÷3＋12÷4＝13瓶，而三种饮料共用了 65瓶，所以一共有 65÷13＝5桌， 用一桌的 12人乘 5即得参加会餐的人数；据此解答。 【详解】2、3、4的最小公倍数是 12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝13（瓶） 65÷13＝5（桌） 12×5＝60（人） 答：有 60人参加会餐。 【点睛】此题主要是考查了公倍数的应用，此题的关键是参加会餐的人数是不变 的，一定是 2、3、4的公倍数。 【对应练习 3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在 40－50人之间，如果把参赛的人数分成 6人一 组或分成 8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 【答案】48人 【分析】把参赛的人数分成 6人一组或分成 8人一组，都正好分完，说明参赛人 数是 6和 8的公倍数，先求出 6和 8的最小公倍数，再通过最小公倍数找到 40 －50之间的公倍数即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 答：三（1）班参加跳绳比赛的有 48人。 【点睛】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除 0以外最小的一 个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 第 28 页 共 35 页 日期问题也是典型的最小公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最 后一天是几号。 【典型例题 1】问题一。 我市 7路和 10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后， 过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔 6分钟发一次车 10路：每隔 8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过 24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过 24分钟两路车第二次同时发车。 【对应练习 1】 那西公交 8路车和 3路车早上 6：25同时从公交车站出发，若 8路车每 35分钟 发一次，3路车每 20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为 20＝2×2×5 35＝5×7 所以 20和 35的最小公倍数是 4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是 6时 25分 6时 25分＋140分＝8时 45分 答：下一次同时发车至少是 8时 45分。 【对应练习 2】 偃师 802路和 803路公交车早上 7时同时从起始站发车，802路车每 10分钟发 一辆，803路车每 15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 解析： 第 29 页 共 35 页 5 10 15 2 3 10和 15的最小公倍数是 5×2×3＝30。即 30分钟后，两车第二次同时发车。 7时 30 分 7 时 30分 答：这两路车第二次同时发车是 7时 30分。 【对应练习 3】 1路车每 5分钟发一次车，2路车每 8分钟发一次车，15路车每 10分钟发一次 车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几 分？ 解析： 5 5 8 1 0 2 1 8 2 1 4 1 5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40 所以，再经过 40分钟 1路、2路、15路车第二次同时发车。 6时＋40分钟＝6时 40分 答：它们第二次同时发车是 6时 40分。 【典型例题 2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每 12天去一次，乙每 16天去一次，如果 4 月 25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 解析： 2 1 2 1 6 2 6 8 3 4 12和 16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 4月 25日＋48天＝6月 12日 答：下一次都到图书馆是 6月 12日。 【对应练习 1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每 6天去一次，小军每 8天去一 次。7月 31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 第 30 页 共 35 页 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 6和 8的最小公倍数是 24。 7月 31日的 24日之后是 8月 24日。 答：8月 24日他们又再次相遇。 【对应练习 2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每 5天去一次，小红每 4天去一次，5月 3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 解析： 5和 4的最小公倍数为：4×5=20， 3＋20=23 所以，下次遇到是在 5月 23日。 【对应练习 3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作 3天轮休 1天，妈妈每工作 4天轮 休 1天，3月 5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休 息的有几天？分别是哪几天？ 解析： 3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为 4和 5是互质数，所以 4和 5的最小公倍数是；4×5＝20。 即 20天后，爸爸和妈妈同时休息。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 【十五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数为主，其中包括最大公因数和最小公倍数的认识、求法以及实际应用问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考察综合性强，难度较大，多以填空和应用为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 4 【考点二】最小公倍数 5 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数 6 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数 7 【考点五】三特殊情况其二：互质数 8 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系 9 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 9 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 11 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题 13 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题 15 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题 16 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题 18 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题 21 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题 22 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型 23 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 【典型例题】 求出下列每组数的最大公因数。 45和60       17和51       24和36 【答案】15；17；12 【对应练习1】 找出下面每组数的最大公因数。 15和75    18和42    17和18 【答案】15；6；1 【对应练习2】 求出每组数的最大公因数。 14和35               54和45              51和17 【答案】7；9；17 【对应练习3】 求出下面每组数的最大公因数。 45和72           12和24         30和45 【答案】9；12；15 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和72    36和60    76和80 【答案】216；180；1520 【对应练习1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和60                8和14                11和34 【答案】60；56；374 【对应练习2】 求下面各组数的最小公倍数。 3和12         4和13        7和49           24和15 【答案】12；52；49；120 【对应练习3】 找出每组数的最小公倍数。 （1）4和6        （2）12和14        （3）11和1        （4）32和16 【答案】（1）12；（2）84；（3）11；（4）32 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 求三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和117                       42、56和84                           240、840和360 解析： （13,39,117）=13        （42,56,84）=14          (240,840,360)=120 [13,39,117]=117            [42,56,84]=168          [240,840,360]=5040 【对应练习1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和90　　　 60，90和120 解析：略。 【对应练习2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和429             384，192和64 解析： 143，858；64，384 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数。 【方法点拨】 分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题1】问题一。 A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 90 【对应练习1】 A＝2×2×2×3，B＝2×3×5，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 120 【对应练习2】 如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 14 210 【对应练习3】 a＝2×2×3×5，b＝2×3×3×5，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 30 180 【典型例题2】问题二。 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【对应练习1】 把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【对应练习2】 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【对应练习3】 如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因数是8，那么m＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 4 120 【考点五】三特殊情况其二：互质数。 【方法点拨】 在互质数中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【典型例题】 非0自然数a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是( )。 【答案】ab 【对应练习1】 A、B都是大于零的自然数，且A－B＝1，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 【对应练习2】 如果m＝n＋1（m，n为非0的自然数），m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 mn 【对应练习3】 a与b都是一位数，且都是质数，如果a＋b＝12，那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 35 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系。 【方法点拨】 在倍数关系中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 乙数是甲数的3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 甲数 乙数 【对应练习1】 a÷b＝5，（a、b是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【对应练习2】 如果a÷b＝6，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。（a，b均为非0自然数） 【答案】 b a 【对应练习3】 x是12的倍数，那么x与12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 12 x 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 【典型例题】 2024年4月22日是第55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长42米，另一条长48米，现在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳子长几米？一共能剪成几段？ 【答案】 42和48的最大公因数是：（米） （段） 答：剪成的每段绳子长6米，一共能剪成15段。 【对应练习1】 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段最长是多少厘米？ 【答案】 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是6厘米。 【对应练习2】 有两根绳子，一根长28米，另一根长24米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长为多少厘米？一共可以截成多少段？ 【答案】 28＝2×2×7 24＝2×2×2×3 28和24的最大公因数：2×2＝4 28÷4＋24÷4 ＝7＋6 ＝13（段） 答：每小段最长为4厘米，一共可以截成13段。 【对应练习3】 有两根钢丝，长度分别是18米和24米，现在要把它们截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和24的最大公因数是：2×3＝6。 18÷6＋24÷6 ＝3＋4 ＝7（段） 答：每小段最长是6米，一共可以截成7段。 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 一张不锈钢板，长90厘米，宽70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 【答案】 90＝2×3×3×5 70＝2×5×7 90和70的最大公因数：2×5＝10 90×70÷（10×10） ＝6300÷100 ＝63（块） 答：剪出的正方形的边长最大是10厘米，可以剪63块。 【对应练习1】 一种大号长方形彩纸，长是45厘米，宽是30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【答案】 45的因数：1、3、5、9、15、45。 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 45和30的公因数：1、3、5、15。 45和30的最大公因数是15。 答：正方形纸的边长最大可以是15厘米。 【对应练习2】 把一张长15厘米，宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（边长是整厘米数）。如果要求纸没有剩余，至少可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】 15的因数：1、3、5、15。 9的因数：1、3、9。 9和15的最大公因数是3，因此正方形的边长是3厘米。 （15÷3）×（9÷3） ＝5×3 ＝15（个） 答：至少可以裁出15个这样的正方形。 【对应练习3】 “3.14数学节”时，红星小学的同学们为了做海报，要将一张长24厘米，宽18厘米的画纸，裁成大小一样且尽可能大的正方形，要求不能有剩余，裁得的正方形画纸边长最长是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形画纸？（写出主要思考过程，再在下边的长方形中画图验证） 【答案】 24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是2×3＝6；裁得的正方形的边长是6厘米。 （24÷6）×（18÷6） ＝4×3 ＝12（个） 如图： 答：裁得的正方形画纸边长最长是6厘米，可以裁出12个这样的正方形画纸。 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题。 【方法点拨】 注意理解题意，再求最大公因数。 【典型例题】 把42个“冰墩墩”和39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多2个，“雪容融”多3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 【答案】 42－2＝40（个） 39－3＝36（个） 40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和36的最大公因数是：2×2＝4 即最多有4个小朋友。 分得“冰墩墩”的个数：40÷4＝10（个） 分得“雪容融”的个数：36÷4＝9（个） 答：最多有4个小朋友，每个小朋友分得10个“冰墩墩”和9个“雪容融”。 【对应练习1】 有36支铅笔和40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多1支，而练习本少2本。获奖的少先队员有多少人？ 【答案】 36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有1、5、7、35，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，则42和35的最大公因数为：7，也就是获奖的少先队员有7人。 答：获奖的少先队员有7人。 【对应练习2】 分别将22块橡皮和33支铅笔平均分给打扫校园卫生的同学，结果橡皮多一块，铅笔少2支。参加打扫校园卫生的同学有多少名？ 【答案】 22－1＝21（块） 33＋2＝35（支） 21＝3×7 35＝5×7 21和35的最大公因数是7。 答：参加打扫校园卫生的同学有7名。 【对应练习3】 花店新进了50朵玫瑰和40朵百合，要用这两种花搭配扎成相同的花束，结果玫瑰多2朵，百合多4朵，最多能扎几束？每束中的玫瑰、百合各有几朵？ 【答案】 玫瑰用了：50－2＝48（朵） 百合用了：40－4＝36（朵） 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多能扎12束。 每束中的玫瑰朵数：48÷12＝4（朵） 每束中的百合朵数：36÷12＝3（朵） 答：最多能扎12束，每束中的玫瑰有4朵，百合有3朵。 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给m个小朋友可以恰好分完，那么总数是m的倍数，若平均分给n个小朋友可以恰好分完，那么总数也是n的倍数，所以总数是m和n的公倍数，根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 有一堆总数不超过50个的苹果，不管是分给12个小朋友还是分给16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【答案】 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（个） 48＜50 答：这堆苹果有48个。 【对应练习1】 课后服务活动小组每组有组员6人或8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【答案】 6＝2×3         8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 答：老师至少要准备24份礼物。 【对应练习2】 熊妈妈摘了一筐苹果，无论是平均分给6个熊宝宝，还是平均分给10个熊宝宝，都正好分完。这筐苹果至少有多少个？ 【答案】 6＝2×3，10＝2×5 所以6和10的最小公倍数是 2×3×5 ＝6×5 ＝30 答：这筐苹果至少有30个。 【对应练习3】 把一些科普读本平均分给幼儿园的小朋友，无论是分给5个小朋友，还是分给9个朋友，都正好分好。这些科普读本最少有多少本？ 【答案】 5和9互质。 5×9＝45（本） 答：这些科普读本最少有45本。 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 根据题意求最小公倍数，注意限定范围。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？ 【答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 则6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24 24×2＋4 ＝48＋4 ＝52（人） 答：篮球队有52人。 【对应练习1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站12人或站16人，都能正好站成整排，参加体操表演的学生在90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【答案】 12和16的最小公倍数是2×2×3×4＝48。 48×2＝96（人） 90＜96＜100 答：有96人参加体操表演。 【对应练习2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶。已知平均每2人用一瓶A饮料，每3人用一瓶B饮料，每4人用一瓶C饮料。有多少人参加会餐？ 【答案】 2、3、4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝13（瓶） 65÷13＝5（桌） 12×5＝60（人） 答：有60人参加会餐。 【对应练习3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在40－50人之间，如果把参赛的人数分成6人一组或分成8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 【答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 答：三（1）班参加跳绳比赛的有48人。 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的最小公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。 【典型例题1】问题一。 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。 【对应练习1】 那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为20＝2×2×5 35＝5×7 所以20和35的最小公倍数是4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是6时25分 6时25分＋140分＝8时45分 答：下一次同时发车至少是8时45分。 【对应练习2】 偃师802路和803路公交车早上7时同时从起始站发车，802路车每10分钟发一辆，803路车每15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 解析： 10和15的最小公倍数是5×2×3＝30。即30分钟后，两车第二次同时发车。 7时分时30分 答：这两路车第二次同时发车是7时30分。 【对应练习3】 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 解析： 5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40 所以，再经过40分钟1路、2路、15路车第二次同时发车。 6时＋40分钟＝6时40分 答：它们第二次同时发车是6时40分。 【典型例题2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 解析： 12和16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 4月25日＋48天＝6月12日 答：下一次都到图书馆是6月12日。 【对应练习1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 6和8的最小公倍数是24。 7月31日的24日之后是8月24日。 答：8月24日他们又再次相遇。 【对应练习2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 解析： 5和4的最小公倍数为：4×5=20， 3＋20=23 所以，下次遇到是在5月23日。 【对应练习3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 解析： 3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是；4×5＝20。 即20天后，爸爸和妈妈同时休息。 5＋20＝25（日） 即3月25日爸爸和妈妈会再次同时休息。 3月有31天，31－25＝6（天） 20－6＝14（日） 即4月14日爸爸和妈妈会再次同时休息。 答：3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有3天，分别是3月5日，3月25日，4月14日。 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题： 余数相同时，减去余数得到整除，遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和14的最小公倍数是2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有57个。 【对应练习1】 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有33人。 【对应练习2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分4个苹果，还是每人分7个苹果，都多3个。这箱苹果至少有多少个？ 解析： 4×7＋3 ＝28＋3 ＝31（个） 答：这箱苹果至少有31个。 【对应练习3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 解析： 9×11＋1 ＝99＋1 ＝100（棵） 答：这批树苗至少有100棵。 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 解析： 由题可知，这些糖果加上1块就变为了8和6的公倍数，通过短除法求出最小公倍数为24，则这些糖果最少有23块。 【对应练习1】 某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有( )人。 加上4人后，总人数既是7的倍数，也是8的倍数； 解析： （人） （人） 所以这个班至少有52人。 【对应练习2】 把一些糖果平均分给4个小朋友或6个小朋友都少2颗，这些糖果至少有( )颗。 解析： 4和6的最小公倍数是12； （颗） 所以这些糖果至少有10颗。 【对应练习3】 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 解析： 4×5×7－3 ＝140－3 ＝137（个） 答：这些贝壳至少有137个。 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 解析： 4、6和5的最小公倍数是60。 200÷60＝3……20 60×3－1 ＝180－1 ＝179（颗） 【对应练习1】 育才小学五年级同学排成3路纵队多出1人，排成5路纵队多出1人，排成7路纵队还多出1人，五年级的人数在200人左右。五年级有多少人？ 解析： 3、5、7两两互质，所以它们的最小公倍数是：3×5×7＝105 3、5、7的公倍数有：105、210、315…… 200左右的是210 210＋1＝211（人） 答：五年级有211人。 【对应练习2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在40～50人，分为6人一组或8人一组，都多1人，一共有多少学生参加比赛？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8 的最小公倍数是2×2×2×3＝24，它们的公倍数有：24、48、72… 满足40～50之间的是48 48＋1＝49（人） 答：一共有49人参加比赛。 【对应练习3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋4个4个地数多3个，6个6个地数多5个，15个15个地数多14个。已知这些鸡蛋的个数在150~200个之间，食堂买来了多少个鸡蛋？ 解析： ，2×2×3×5＝60，60×2＝120，60×3＝180，180在150和200之间， 180－1＝179（个） 答：食堂买来了179个鸡蛋。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 【十五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数为主，其中包括最大公因数和最小公倍数的认识、求法以及实际应用问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考察综合性强，难度较大，多以填空和应用为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 4 【考点二】最小公倍数 6 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数 9 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数 10 【考点五】三特殊情况其二：互质数 14 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系 15 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 16 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 19 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题 21 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题 23 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题 25 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题 27 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题 31 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题 32 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型 33 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 【典型例题】 求出下列每组数的最大公因数。 45和60       17和51       24和36 【答案】15；17；12 【分析】我们可以利用质因数分解法来求出两个数的最大公因数：每个数分别分解质因数，然后找出相同的质因数，最后将这些相同的质因数相乘得到最大公因数。 【详解】（1）45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 所以，45和60的最大公因数为：3×5＝15； （2）17＝1×17 51＝3×17 所以，17和51的最大公因数为：17； （3）24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以，24和36的最大公因数为：2×2×3＝12。 【对应练习1】 找出下面每组数的最大公因数。 15和75    18和42    17和18 【答案】15；6；1 【分析】①如果两个数中大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数；②当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1；③用短除法求最大公因数，先用这几个数的最小质因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】（1），所以15和75的最大公因数是15； （2） 18和42的最大公因数是：； （3） 17和18是互质数，所以 17和18的最大公因数是1。 【对应练习2】 求出每组数的最大公因数。 14和35               54和45              51和17 【答案】7；9；17 【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】14＝2×7 35＝5×7 14和35的最大公因数是7； 54＝2×3×3×3 45＝3×3×5 3×3＝9 54和45的最大公因数是9； 51÷17＝3 51和17是倍数关系，所以51和17的最大公因数是17。 【对应练习3】 求出下面每组数的最大公因数。 45和72           12和24         30和45 【答案】9；12；15 【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。 【详解】因为45＝3×3×5 72＝2×2×2×3×3 所以45和72的最大公因数是3×3＝9； 因为24÷12＝2，所以12和24的最大公因数是12； 因为30＝2×3×5 45＝3×3×5 所以30和45的最大公因数是3×5＝15。 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和72    36和60    76和80 【答案】216；180；1520 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 可以用短除法进行计算，把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。 【详解】 3×3×3×8＝216 27和72的最小公倍数是216； 2×2×3×3×5＝180 36和60的最小公倍数是180； 2×2×19×20＝1520 76和80的最小公倍数是1520。 【对应练习1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和60                8和14                11和34 【答案】60；56；374 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 两数成倍数关系，最小公倍数是较大数；两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】60÷10＝6，10和60的最小公倍数是60； 8＝2×2×2、14＝2×7 2×2×2×7＝56 8和14的最小公倍数是56； 11×34＝374 11和34的最小公倍数是374。 【对应练习2】 求下面各组数的最小公倍数。 3和12         4和13        7和49           24和15 【答案】12；52；49；120 【分析】最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；若两个数互为倍数关系，则较大的数就是它们的最小公倍数；若两个数是互质数，则最小公倍数就是它们的乘积。据此计算即可。 【详解】因为12÷3＝4，所以3和12互为倍数关系，所以3和12的最小公倍数是12； 因为4和13互质，所以4和13的最小公倍数是4×13＝52； 因为49是7的倍数，所以7和49的最小公倍数是49； 因为24＝2×2×2×3 15＝3×5 所以24和15的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120。 【对应练习3】 找出每组数的最小公倍数。 （1）4和6        （2）12和14        （3）11和1        （4）32和16 【答案】（1）12；（2）84 （3）11；（4）32 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。两数互质，最小公倍数是两数的积；两数成倍数关系，最小公倍数是较大数，据此分析。 【详解】（1）4＝2×2、6＝2×3，2×2×3＝12 4和6的最小公倍数是12。 （2）12＝2×2×3、14＝2×7，2×2×3×7＝84 12和14的最小公倍数是84。 （3）11和1互质，11×1＝11 11和1的最小公倍数是11。 （4）32÷16＝2 32和16的最小公倍数是32。 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 求三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和117                       42、56和84                           240、840和360 解析： （13,39,117）=13        （42,56,84）=14          (240,840,360)=120 [13,39,117]=117            [42,56,84]=168          [240,840,360]=5040 【对应练习1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和90　　　 60，90和120 解析：略。 【对应练习2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和429             384，192和64 解析： 143，858；64，384 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数。 【方法点拨】 分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题1】问题一。 A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 90 【分析】把A和B公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【详解】因为A＝2×3×5，B＝2×3×3，所以A和B的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×5×3＝90。 【对应练习1】 A＝2×2×2×3，B＝2×3×5，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 6 120 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】2×3＝6 2×2×2×3×5＝120 A和B的最大公因数是6，最小公倍数是120。 【对应练习2】 如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 14 210 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【详解】a＝2×3×7 b＝2×5×7 a和b的最大公因数是：2×7＝14； a和b的最小公倍数是：2×3×5×7＝210。 填空如下： 如果a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么a和b的最大公因数是（14），最小公倍数是（210）。 【对应练习3】 a＝2×2×3×5，b＝2×3×3×5，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 30 180 【分析】把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【详解】a＝2×2×3×5，b＝2×3×3×5，则a和b的最大公因数是2×3×5＝30； 最小公倍数是2×2×3×5×3＝180。 则a和b的最大公因数是30，最小公倍数是180。 【典型例题2】问题二。 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A＝2×5×N B＝3×5×N A和B的最大公因数是：5N＝35； N＝35÷5＝7 A和B的最小公倍数是：2×3×5×N； 当N＝7时，2×3×5×7＝210； 所以，A和B的最小公倍数是210。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【对应练习1】 把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【分析】X和Y公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，目前公有质因数只有3，6÷3＝2，那么n是2，才能保证这两个数的最大公因数是6； 公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数，据此列式求出X和Y的最小公倍数。 【详解】6÷3＝2 2×3×5×2＝60 所以，n＝2，X和Y的最小公倍数是60。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解题的关键。 【对应练习2】 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此可知2×m＝14，根据等式的性质2，两边同时÷2，即可求出m的值。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】2×m＝14 解：2×m÷2＝14÷2 m＝7 2×3×5×7＝210 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是7，a和b的最小公倍数是210。 【点睛】关键是理解最大公因数和最小公倍数的意义，掌握最大公因数和最小公倍数的求法。 【对应练习3】 如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因数是8，那么m＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 4 120 【分析】由题意可知，B＝2×3m＝2m×3，则A和B的最大公因数是2m，A和B的最小公倍数是2m×3×5，据此解答。 【详解】A＝2m×5，B＝2×3m＝2m×3，则2m是两个数的最大公因数，m＝8÷2＝4，A和B的最小公倍数是2×4×3×5＝120，所以m＝4，A和B的最小公倍数是120。 【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的求法，根据两个数的最大公因数求出m的值是解答题目的关键。 【考点五】三特殊情况其二：互质数。 【方法点拨】 在互质数中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【典型例题】 非0自然数a和b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是( )。 【答案】ab 【分析】两数互质，最大公因数是1，由此可知，a和b是互质关系，两数互质，最小公倍数是两数的积，据此分析。 【详解】非0自然数a和b的最大公因数是1，a和b互质，它们的最小公倍数是ab。 【对应练习1】 A、B都是大于零的自然数，且A－B＝1，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 【分析】互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数，相邻的自然数互质； 最大公因数：两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个公因数就叫做这几个数的最大公因数； 最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫作它们的公倍数，其中最小的一个公倍数就叫做这几个数的最小公倍数； 两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。据此解答。 【详解】A、B都是大于零的自然数，且A－B＝1，所以A和B互质，所以A和B的最大公因数是1，最小公倍数是AB。 【对应练习2】 如果m＝n＋1（m，n为非0的自然数），m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 mn 【分析】相邻的自然数之间相差1，相邻的两个自然数是互质数，两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的积，据此分析。 【详解】如果m＝n＋1（m，n为非0的自然数），说明m和n互质，m和n的最大公因数是1，最小公倍数是mn。 【对应练习3】 a与b都是一位数，且都是质数，如果a＋b＝12，那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 35 【分析】根据题意，a与b都是一位数，且都是质数，由a＋b＝12，可知5＋7＝12，由此确定a、b的值，且a与b是互质数； 根据“当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积”，求出a与b的最大公因数和最小公倍数。 【详解】5＋7＝12，5、7都是一位数，且都是质数； 所以a＝5，b＝7或a＝7，b＝5； 5和7的最大公因数是1，最小公倍数是5×7＝35； 那么a与b的最大公因数是1，最小公倍数是35。 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系。 【方法点拨】 在倍数关系中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 乙数是甲数的3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 甲数 乙数 【分析】根据题意，乙数是甲数的3倍，说明甲数和乙数是倍数关系，且乙数＞甲数，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】乙数是甲数的3倍，甲、乙两数的最大公因数是甲数，最小公倍数是乙数。 【对应练习1】 a÷b＝5，（a、b是不为0的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】当两个数为倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数，较小的数是它们的最大公因数；由此解答问题即可。 【详解】由a÷b＝5（a、b是不为0的自然数），可得a和b是倍数关系，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数的a。 【对应练习2】 如果a÷b＝6，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。（a，b均为非0自然数） 【答案】 b a 【分析】一个数是另外一个数的几倍，则最大公因数是小的那个数，最小公倍数是大的那个数。 【详解】a÷b＝6，a是b的6倍，a是大的数，b是小的数，则最大公因数是b，最小公倍数是a。 【对应练习3】 x是12的倍数，那么x与12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 12 x 【分析】一个数是另一个数的倍数，那么它们最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的那个数，据此解答即可。 【详解】x是12的倍数，那么x与12的最大公因数是12，最小公倍数是x。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，解答本题的关键是掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的计算方法。 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 【典型例题】 2024年4月22日是第55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长42米，另一条长48米，现在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳子长几米？一共能剪成几段？ 【答案】6米；15段 【分析】根据题意，可计算出42与48的最大公因数，即是每段绳子最长的长度，再用两条彩绳的和除以每段的长度，即可得到剪成几段，列式解答即可得到答案。 【详解】 42和48的最大公因数是：（米） （段） 答：剪成的每段绳子长6米，一共能剪成15段。 【对应练习1】 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段最长是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】因为这两根木棒不能有剩余，那么每段最长的长度是这两根木棒长度的最大公因数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此求出两个木棒长度的最大公因数，也就是每段最长厘米数。 【详解】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是6厘米。 【对应练习2】 有两根绳子，一根长28米，另一根长24米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长为多少厘米？一共可以截成多少段？ 【答案】4厘米；13段 【分析】根据题意，每小段最长是28和24的最大公因数。将28和24分解质因数，两个数公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数。将28米除以每小段最长的长度，求出第一根绳子能截成几段。同理，求出第二根绳子能截成几段。利用加法求出一共可以截成几段。 【详解】28＝2×2×7 24＝2×2×2×3 28和24的最大公因数：2×2＝4 28÷4＋24÷4 ＝7＋6 ＝13（段） 答：每小段最长为4厘米，一共可以截成13段。 【对应练习3】 有两根钢丝，长度分别是18米和24米，现在要把它们截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】6米；7段 【分析】把两根钢丝截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，求每小段最长是多少，就是求18和24的最大公因数，把18和24分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是18和24的最大公因数，即是每小段最长的长度，再分别用两根钢丝的长度除以每小段最长的长度，把得到的数再相加，即可求出一共可以截成多少段，据此解答。 【详解】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和24的最大公因数是：2×3＝6。 18÷6＋24÷6 ＝3＋4 ＝7（段） 答：每小段最长是6米，一共可以截成7段。 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 一张不锈钢板，长90厘米，宽70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 【答案】10厘米；63块 【分析】由题意可知，剪成的小正方形的边长必须是90和70的公因数，才能保证没有剩余，所以求剪出的正方形边长最大是多少，就是求90和70的最大公因数，可以通过分解质因数法求出90和70的最大公因数；再用大长方形的面积除以小正方形的面积，即可求出能剪多少个。 【详解】90＝2×3×3×5 70＝2×5×7 90和70的最大公因数：2×5＝10 90×70÷（10×10） ＝6300÷100 ＝63（块） 答：剪出的正方形的边长最大是10厘米，可以剪63块。 【对应练习1】 一种大号长方形彩纸，长是45厘米，宽是30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】把彩纸裁成大小一样的正方形纸，且正方形纸的边长要最大，就是求长方形长和宽的最大公因数，把45和30的因数列出来，再找出它们的最大公因数，即可解答。 【详解】45的因数：1、3、5、9、15、45。 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 45和30的公因数：1、3、5、15。 45和30的最大公因数是15。 答：正方形纸的边长最大可以是15厘米。 【对应练习2】 把一张长15厘米，宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（边长是整厘米数）。如果要求纸没有剩余，至少可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】15个 【分析】要把长方形纸裁成同样大的正方形且没有剩余，就是求长方形长和宽的最大公因数，由此确定正方形的边长，再分别算出长方形纸的长边和宽边可以裁出多少个正方形，最后用乘法计算一共能裁出多少个正方形，据此解答。 【详解】15的因数：1、3、5、15。 9的因数：1、3、9。 9和15的最大公因数是3，因此正方形的边长是3厘米。 （15÷3）×（9÷3） ＝5×3 ＝15（个） 答：至少可以裁出15个这样的正方形。 【对应练习3】 “3.14数学节”时，红星小学的同学们为了做海报，要将一张长24厘米，宽18厘米的画纸，裁成大小一样且尽可能大的正方形，要求不能有剩余，裁得的正方形画纸边长最长是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形画纸？（写出主要思考过程，再在下边的长方形中画图验证） 【答案】6厘米；12个 图见详解 【分析】（1）根据题意，求裁的正方形边长尽可能大，就是求24和18的最大公因数，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，据此求出正方形的边长；再分别求出长方形画纸的长边、宽边含有的小正方形画纸的块数，再把两个数相乘即可求出可以需要的小正方形画纸的块数。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是2×3＝6；裁得的正方形的边长是6厘米。 （24÷6）×（18÷6） ＝4×3 ＝12（个） 如图： 答：裁得的正方形画纸边长最长是6厘米，可以裁出12个这样的正方形画纸。 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题。 【方法点拨】 注意理解题意，再求最大公因数。 【典型例题】 把42个“冰墩墩”和39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩”的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多2个，“雪容融”多3个，最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 【答案】4个；“冰墩墩”10个；“雪容融”9个 【分析】根据题意，如果“冰墩墩”有42－2＝40个，“冰墩墩”有39－3＝36个，就正好平均分完，且每个小朋友分得的个数相同，那么小朋友最多的人数就是40和36的最大公因数。 再用40和36分别除以小朋友最多的人数，即可求出每个小朋友可分得“冰墩墩”和“雪容融”的个数。 【详解】42－2＝40（个） 39－3＝36（个） 40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和36的最大公因数是：2×2＝4 即最多有4个小朋友。 分得“冰墩墩”的个数：40÷4＝10（个） 分得“雪容融”的个数：36÷4＝9（个） 答：最多有4个小朋友，每个小朋友分得10个“冰墩墩”和9个“雪容融”。 【对应练习1】 有36支铅笔和40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多1支，而练习本少2本。获奖的少先队员有多少人？ 【答案】7人 【分析】根据题意，需要找出铅笔数量和练习本数量的最大公因数，题中给出铅笔多1支，练习本少2本，那么将铅笔数量减去1支，36－1＝35（支）练习本数量加上2本，40＋2＝42（本），刚好够分，35的因数有1、5、7、35，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，35和42的公因数只有1和7，则获奖的少先队员只能是7人。 【详解】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有1、5、7、35，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，则42和35的最大公因数为：7，也就是获奖的少先队员有7人。 答：获奖的少先队员有7人。 【对应练习2】 分别将22块橡皮和33支铅笔平均分给打扫校园卫生的同学，结果橡皮多一块，铅笔少2支。参加打扫校园卫生的同学有多少名？ 【答案】7名 【分析】22块橡皮和33支铅笔平均分给打扫校园卫生的同学，橡皮多一块，铅笔少2支，说明同学人数是（22－1）和（33＋2）的最大公因数，求出（22－1）和（33＋2）的最大公因数即可。 【详解】22－1＝21（块） 33＋2＝35（支） 21＝3×7 35＝5×7 21和35的最大公因数是7。 答：参加打扫校园卫生的同学有7名。 【点睛】关键是理解最小公倍数的意义，掌握最大公因数的求法。 【对应练习3】 花店新进了50朵玫瑰和40朵百合，要用这两种花搭配扎成相同的花束，结果玫瑰多2朵，百合多4朵，最多能扎几束？每束中的玫瑰、百合各有几朵？ 【答案】12束；玫瑰4朵；百合3朵 【分析】根据题意，两种花搭配扎成相同的花束，结果玫瑰多2朵，百合多4朵，即玫瑰用了50－2＝48朵，百合用了40－4＝36朵；求最多能扎的束数，就是求48和36的最大公因数；然后用玫瑰、百合的朵数除以最多扎的束数，即可求出每束中的玫瑰、百合的朵数。 【详解】玫瑰用了：50－2＝48（朵） 百合用了：40－4＝36（朵） 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多能扎12束。 每束中的玫瑰朵数：48÷12＝4（朵） 每束中的百合朵数：36÷12＝3（朵） 答：最多能扎12束，每束中的玫瑰有4朵，百合有3朵。 【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题。 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给m个小朋友可以恰好分完，那么总数是m的倍数，若平均分给n个小朋友可以恰好分完，那么总数也是n的倍数，所以总数是m和n的公倍数，根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 有一堆总数不超过50个的苹果，不管是分给12个小朋友还是分给16个小朋友都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【答案】48个 【分析】不管是分给12个小朋友还是分给16个小朋友都刚好分完，说明苹果的总数量是12和16的公倍数，求出12和16的最小公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（个） 48＜50 答：这堆苹果有48个。 【对应练习1】 课后服务活动小组每组有组员6人或8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【答案】24份 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。从题意可知：无论分给6人或8人且全部送出，说明没有剩余，那么这个数就是6和8的公倍数，要使这个数最小，只要求出6和8的最小公倍数即可。 【详解】6＝2×3         8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 答：老师至少要准备24份礼物。 【对应练习2】 熊妈妈摘了一筐苹果，无论是平均分给6个熊宝宝，还是平均分给10个熊宝宝，都正好分完。这筐苹果至少有多少个？ 【答案】30个 【分析】苹果数能被6和10整除，求苹果至少有多少个，就是求6和10的最小公倍数，据此解答。 【详解】6＝2×3，10＝2×5 所以6和10的最小公倍数是 2×3×5 ＝6×5 ＝30 答：这筐苹果至少有30个。 【对应练习3】 把一些科普读本平均分给幼儿园的小朋友，无论是分给5个小朋友，还是分给9个朋友，都正好分好。这些科普读本最少有多少本？ 【答案】45本 【分析】分给5个小朋友，还是分给9个朋友，都正好分好，说明科普读本的数量是5和9的公倍数，求出5和9的最小公倍数就是科普读本的最少数量。两数互质，最小公倍数是两数的积，据此分析。 【详解】5和9互质。 5×9＝45（本） 答：这些科普读本最少有45本。 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 根据题意求最小公倍数，注意限定范围。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成6人一组或8人一组都多4人，已知篮球队的人数在50－60人之间，篮球队有多少人？ 【答案】52人 【分析】由题意可知，篮球队的人数应是6和8的公倍数再 4，先求出6和8的最小公倍数，再结合人数在50－60人之间解答即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 则6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24 24×2＋4 ＝48＋4 ＝52（人） 答：篮球队有52人。 【点睛】本题考查公倍数和最小公倍数，明确求公倍数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【对应练习1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站12人或站16人，都能正好站成整排，参加体操表演的学生在90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【答案】96人 【分析】由题意可知：参加体操表演的学生人数是12的倍数，也是16的倍数，即是12和16的公倍数。先求出12和16的最小公倍数，然后再求出90~100之间12和16的最小公倍数的倍数，即是参加体操表演的人数。 【详解】 12和16的最小公倍数是2×2×3×4＝48。 48×2＝96（人） 90＜96＜100 答：有96人参加体操表演。 【点睛】当所求量分别与两个已知量的倍数有关时，可以用公倍数或最小公倍数的知识解决。 【对应练习2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶。已知平均每2人用一瓶A饮料，每3人用一瓶B饮料，每4人用一瓶C饮料。有多少人参加会餐？ 【答案】60人 【分析】根据题意可知参加会餐的人数是不变的，一定是2、3、4的公倍数，那就先求出2、3、4的最小公倍数是12，若安排12人一桌，那么一桌共需要饮料12÷2＋12÷3＋12÷4＝13瓶，而三种饮料共用了65瓶，所以一共有65÷13＝5桌，用一桌的12人乘5即得参加会餐的人数；据此解答。 【详解】2、3、4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝13（瓶） 65÷13＝5（桌） 12×5＝60（人） 答：有60人参加会餐。 【点睛】此题主要是考查了公倍数的应用，此题的关键是参加会餐的人数是不变的，一定是2、3、4的公倍数。 【对应练习3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在40－50人之间，如果把参赛的人数分成6人一组或分成8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 【答案】48人 【分析】把参赛的人数分成6人一组或分成8人一组，都正好分完，说明参赛人数是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，再通过最小公倍数找到40－50之间的公倍数即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 答：三（1）班参加跳绳比赛的有48人。 【点睛】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的最小公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。 【典型例题1】问题一。 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。 【对应练习1】 那西公交8路车和3路车早上6：25同时从公交车站出发，若8路车每35分钟发一次，3路车每20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为20＝2×2×5 35＝5×7 所以20和35的最小公倍数是4×5×7 ＝20×7 ＝140 6：25是6时25分 6时25分＋140分＝8时45分 答：下一次同时发车至少是8时45分。 【对应练习2】 偃师802路和803路公交车早上7时同时从起始站发车，802路车每10分钟发一辆，803路车每15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 解析： 10和15的最小公倍数是5×2×3＝30。即30分钟后，两车第二次同时发车。 7时分时30分 答：这两路车第二次同时发车是7时30分。 【对应练习3】 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 解析： 5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40 所以，再经过40分钟1路、2路、15路车第二次同时发车。 6时＋40分钟＝6时40分 答：它们第二次同时发车是6时40分。 【典型例题2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 解析： 12和16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 4月25日＋48天＝6月12日 答：下一次都到图书馆是6月12日。 【对应练习1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 6和8的最小公倍数是24。 7月31日的24日之后是8月24日。 答：8月24日他们又再次相遇。 【对应练习2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 解析： 5和4的最小公倍数为：4×5=20， 3＋20=23 所以，下次遇到是在5月23日。 【对应练习3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 解析： 3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是；4×5＝20。 即20天后，爸爸和妈妈同时休息。 5＋20＝25（日） 即3月25日爸爸和妈妈会再次同时休息。 3月有31天，31－25＝6（天） 20－6＝14（日） 即4月14日爸爸和妈妈会再次同时休息。 答：3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有3天，分别是3月5日，3月25日，4月14日。 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题： 余数相同时，减去余数得到整除，遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和14的最小公倍数是2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有57个。 【对应练习1】 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有33人。 【对应练习2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分4个苹果，还是每人分7个苹果，都多3个。这箱苹果至少有多少个？ 解析： 4×7＋3 ＝28＋3 ＝31（个） 答：这箱苹果至少有31个。 【对应练习3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 解析： 9×11＋1 ＝99＋1 ＝100（棵） 答：这批树苗至少有100棵。 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 解析： 由题可知，这些糖果加上1块就变为了8和6的公倍数，通过短除法求出最小公倍数为24，则这些糖果最少有23块。 【对应练习1】 某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有( )人。 加上4人后，总人数既是7的倍数，也是8的倍数； 解析： （人） （人） 所以这个班至少有52人。 【对应练习2】 把一些糖果平均分给4个小朋友或6个小朋友都少2颗，这些糖果至少有( )颗。 解析： 4和6的最小公倍数是12； （颗） 所以这些糖果至少有10颗。 【对应练习3】 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 解析： 4×5×7－3 ＝140－3 ＝137（个） 答：这些贝壳至少有137个。 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 解析： 4、6和5的最小公倍数是60。 200÷60＝3……20 60×3－1 ＝180－1 ＝179（颗） 【对应练习1】 育才小学五年级同学排成3路纵队多出1人，排成5路纵队多出1人，排成7路纵队还多出1人，五年级的人数在200人左右。五年级有多少人？ 解析： 3、5、7两两互质，所以它们的最小公倍数是：3×5×7＝105 3、5、7的公倍数有：105、210、315…… 200左右的是210 210＋1＝211（人） 答：五年级有211人。 【对应练习2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在40～50人，分为6人一组或8人一组，都多1人，一共有多少学生参加比赛？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8 的最小公倍数是2×2×2×3＝24，它们的公倍数有：24、48、72… 满足40～50之间的是48 48＋1＝49（人） 答：一共有49人参加比赛。 【对应练习3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋4个4个地数多3个，6个6个地数多5个，15个15个地数多14个。已知这些鸡蛋的个数在150~200个之间，食堂买来了多少个鸡蛋？ 解析： ，2×2×3×5＝60，60×2＝120，60×3＝180，180在150和200之间， 180－1＝179（个） 答：食堂买来了179个鸡蛋。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 25 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 25 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 【十五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第三单元因数与倍数其四·最大公因数和最小公倍数篇 专题内容 本专题以最大公因数和最小公倍数为主，其中包括最大公因 数和最小公倍数的认识、求法以及实际应用问题等内容。 总体评价 讲解建议 本专题考察综合性强，难度较大，多以填空和应用为主，建 议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】最大公因数 .......................................................................................................4 【考点二】最小公倍数 .......................................................................................................5 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数 .............................................................6 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数 .................................................................... 7 【考点五】三特殊情况其二：互质数 ................................................................................8 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系 ........................................................................ 9 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题 .............................................................9 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题 .......................................................11 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题 ............................................... 13 第 3 页 共 25 页 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题 ...........................................................15 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题 ...........................................................16 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题 ...........................................................18 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题 .......................................................21 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题 ...........................................................22 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型 .............................................................. 23 第 4 页 共 25 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】最大公因数。 【方法点拨】 1. 最大公因数的定义。 两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个 数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法。 （1）列举法（枚举法） 列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法 用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是 1。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和 18的最大公因数是 6，写作 (12, 18) = 6。 【典型例题】 求出下列每组数的最大公因数。 45和 60 17和 51 24和 36 【答案】15；17；12 【对应练习 1】 找出下面每组数的最大公因数。 15和 75 18和 42 17和 18 第 5 页 共 25 页 【答案】15；6；1 【对应练习 2】 求出每组数的最大公因数。 14和 35 54和 45 51和 17 【答案】7；9；17 【对应练习 3】 求出下面每组数的最大公因数。 45和 72 12和 24 30和 45 【答案】9；12；15 【考点二】最小公倍数。 【方法点拨】 1. 最小公倍数的定义。 两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小 公倍数。 2. 求最小公倍数的方法。 （1）列举法 分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法 用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法 将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系 若两个数是互质数，即只有公因数 1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系 当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意。 求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12 和 18的最小公倍数是 36，写 作 [12, 18] = 36。 第 6 页 共 25 页 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和 72 36和 60 76和 80 【答案】216；180；1520 【对应练习 1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和 60 8和 14 11和 34 【答案】60；56；374 【对应练习 2】 求下面各组数的最小公倍数。 3和 12 4和 13 7和 49 24和 15 【答案】12；52；49；120 【对应练习 3】 找出每组数的最小公倍数。 （1）4和 6 （2）12和 14 （3）11和 1 （4）32和 16 【答案】（1）12；（2）84；（3）11；（4）32 【考点三】求三个数的最大公因数和最小公倍数。 【方法点拨】 求三个数的最大公因数和最小公倍数用短除法。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 13、39和 117 42、56和 84 240、840和 360 解析： （13,39,117）=13 （42,56,84）=14 (240,840,360)=120 [13,39,117]=117 [42,56,84]=168 [240,840,360]=5040 【对应练习 1】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 54，72和 90 60，90和 120 解析：略。 第 7 页 共 25 页 【对应练习 2】 用短除法求下列数的最大公因数和最小公倍数． 286和 429 384，192和 64 解析： 143，858；64，384 【考点四】三种特殊情况其一：分解质因数。 【方法点拨】 分解质因数求最大公因数和最小公倍数： 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这 几个数的公有质因数的连乘积。 【典型例题 1】问题一。 A＝2×3×5，B＝2×3×3，A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 6 90 【对应练习 1】 A＝2×2×2×3，B＝2×3×5，A和 B的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 6 120 【对应练习 2】 如果 a＝2×3×7，b＝2×5×7，那么 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数 是( )。 【答案】 14 210 【对应练习 3】 a＝2×2×3×5，b＝2×3×3×5，则 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 30 180 【典型例题 2】问题二。 把自然数 A和 B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果 A和 B的最大公 因数是 35，则 A和 B的最小公倍数是( )。 第 8 页 共 25 页 【答案】210 【对应练习 1】 把自然数 X和 Y分解质因数，分别是 3 5X n   ， 2 3Y n   ，如果 X和 Y的最 大公因数是 6，那么 n＝( )，X和 Y的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【对应练习 2】 已知 a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且 m不等于 0），如果 a与 b的最大公 因数是 14，则 m是( )，a和 b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【对应练习 3】 如果 A＝2m×5，B＝2×3m，已知 A和 B的最大公因数是 8，那么 m＝( )， A和 B的最小公倍数是( )。 【答案】 4 120 【考点五】三特殊情况其二：互质数。 【方法点拨】 在互质数中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。 【典型例题】 非 0自然数 a和 b的最大公因数是 1，它们的最小公倍数是( )。 【答案】ab 【对应练习 1】 A、B都是大于零的自然数，且 A－B＝1，A和 B的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 1 AB 【对应练习 2】 如果 m＝n＋1（m，n为非 0的自然数），m和 n的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 1 mn 【对应练习 3】 第 9 页 共 25 页 a与 b都是一位数，且都是质数，如果 a＋b＝12，那么 a与 b的最大公因数是 ( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 35 【考点六】三种特殊情况其三：倍数关系。 【方法点拨】 在倍数关系中求最大公因数和最小公倍数： 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题】 乙数是甲数的 3倍，甲、乙两数的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。 【答案】 甲数 乙数 【对应练习 1】 a÷b＝5，（a、b是不为 0的自然数），那么 a、b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【对应练习 2】 如果 a÷b＝6，那么 a和 b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 （a，b均为非 0自然数） 【答案】 b a 【对应练习 3】 x是 12的倍数，那么 x与 12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 12 x 【考点七】最大公因数的应用其一：分线段问题。 【方法点拨】 分线段问题解题步骤： 1. 分析每小段的长度和每条线段长度的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 第 10 页 共 25 页 【典型例题】 2024年 4月 22日是第 55个世界地球日，我国的宣传主题为“珍爱地球 人与自 然和谐共生”。 实验小学准备了两条彩绳用来悬挂宣传海报，一条长 42米，另一条长 48米，现 在要把这两条彩绳剪成同样长的小段，每段尽可能长且没有剩余，剪成的每段绳 子长几米？一共能剪成几段？ 【答案】 42和 48的最大公因数是：2 3 6  （米）  42 48 6  90 6  15 （段） 答：剪成的每段绳子长 6米，一共能剪成 15段。 【对应练习 1】 把下面两根木棒截成同样长的若干段（都是整厘米数），结果不能有剩余。每段 最长是多少厘米？ 【答案】 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6（厘米） 答：每段最长是 6厘米。 【对应练习 2】 有两根绳子，一根长 28米，另一根长 24米，现在要把它们截成相等的小段，每 根不许有剩余，每小段最长为多少厘米？一共可以截成多少段？ 【答案】 28＝2×2×7 第 11 页 共 25 页 24＝2×2×2×3 28和 24的最大公因数：2×2＝4 28÷4＋24÷4 ＝7＋6 ＝13（段） 答：每小段最长为 4厘米，一共可以截成 13段。 【对应练习 3】 有两根钢丝，长度分别是 18米和 24米，现在要把它们截成长度相同的小段，但 每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？ 【答案】 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和 24的最大公因数是：2×3＝6。 18÷6＋24÷6 ＝3＋4 ＝7（段） 答：每小段最长是 6米，一共可以截成 7段。 【考点八】最大公因数的应用其二：分长方形问题。 【方法点拨】 分长方形问题解题步骤： 1. 分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； 2. 短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形。 【典型例题】 一张不锈钢板，长 90厘米，宽 70厘米。如果要剪成若干张同样大小的正方形而 没有剩余，剪出的正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少块？ 【答案】 90＝2×3×3×5 70＝2×5×7 第 12 页 共 25 页 90和 70的最大公因数：2×5＝10 90×70÷（10×10） ＝6300÷100 ＝63（块） 答：剪出的正方形的边长最大是 10厘米，可以剪 63块。 【对应练习 1】 一种大号长方形彩纸，长是 45厘米，宽是 30厘米。张老师想把彩纸裁成大小一 样的正方形纸，发给同学们做折纸，正方形纸的边长最大可以是多少厘米？ 【答案】 45的因数：1、3、5、9、15、45。 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。 45和 30的公因数：1、3、5、15。 45和 30的最大公因数是 15。 答：正方形纸的边长最大可以是 15厘米。 【对应练习 2】 把一张长 15厘米，宽 9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（边长是整厘米数）。 如果要求纸没有剩余，至少可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】 15的因数：1、3、5、15。 9的因数：1、3、9。 9和 15的最大公因数是 3，因此正方形的边长是 3厘米。 （15÷3）×（9÷3） ＝5×3 ＝15（个） 答：至少可以裁出 15个这样的正方形。 【对应练习 3】 “3.14数学节”时，红星小学的同学们为了做海报，要将一张长 24厘米，宽 18厘 米的画纸，裁成大小一样且尽可能大的正方形，要求不能有剩余，裁得的正方形 画纸边长最长是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形画纸？（写出主要思考 第 13 页 共 25 页 过程，再在下边的长方形中画图验证） 【答案】 24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和 18的最大公因数是 2×3＝6；裁得的正方形的边长是 6厘米。 （24÷6）×（18÷6） ＝4×3 ＝12（个） 如图： 答：裁得的正方形画纸边长最长是 6厘米，可以裁出 12个这样的正方形画纸。 【考点九】最大公因数的应用其三：较复杂的实际问题。 【方法点拨】 注意理解题意，再求最大公因数。 【典型例题】 把 42个“冰墩墩”和 39个“雪容融”分给若干个小朋友，每个小朋友分得“冰墩墩” 的个数相同，“雪容融”的个数也相同。结果“冰墩墩”多 2个，“雪容融”多 3个， 最多有多少个小朋友？每个小朋友分得多少个“冰墩墩”和多少个“雪容融”？ 【答案】 42－2＝40（个） 39－3＝36（个） 40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和 36的最大公因数是：2×2＝4 第 14 页 共 25 页 即最多有 4个小朋友。 分得“冰墩墩”的个数：40÷4＝10（个） 分得“雪容融”的个数：36÷4＝9（个） 答：最多有 4个小朋友，每个小朋友分得 10个“冰墩墩”和 9个“雪容融”。 【对应练习 1】 有 36支铅笔和 40本练习本，平均奖给若干个少先队员，结果铅笔多 1支，而练 习本少 2本。获奖的少先队员有多少人？ 【答案】 36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35的因数有 1、5、7、35，42的因数有 1、2、3、6、7、14、21、42，则 42和 35的最大公因数为：7，也就是获奖的少先队员有 7人。 答：获奖的少先队员有 7人。 【对应练习 2】 分别将 22块橡皮和 33支铅笔平均分给打扫校园卫生的同学，结果橡皮多一块， 铅笔少 2支。参加打扫校园卫生的同学有多少名？ 【答案】 22－1＝21（块） 33＋2＝35（支） 21＝3×7 35＝5×7 21和 35的最大公因数是 7。 答：参加打扫校园卫生的同学有 7名。 【对应练习 3】 花店新进了 50朵玫瑰和 40朵百合，要用这两种花搭配扎成相同的花束，结果玫 瑰多 2朵，百合多 4朵，最多能扎几束？每束中的玫瑰、百合各有几朵？ 【答案】 玫瑰用了：50－2＝48（朵） 百合用了：40－4＝36（朵） 第 15 页 共 25 页 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和 36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多能扎 12束。 每束中的玫瑰朵数：48÷12＝4（朵） 每束中的百合朵数：36÷12＝3（朵） 答：最多能扎 12束，每束中的玫瑰有 4朵，百合有 3朵。 【考点十】最小公倍数的应用其一：分东西问题。 【方法点拨】 分东西问题： 若平均分给 m个小朋友可以恰好分完，那么总数是 m的倍数，若平均分给 n个 小朋友可以恰好分完，那么总数也是 n的倍数，所以总数是 m和 n 的公倍数， 根据题目要求求出符合题意的公倍数即可。 【典型例题】 有一堆总数不超过 50个的苹果，不管是分给 12个小朋友还是分给 16个小朋友 都刚好分完，这堆苹果有多少个？ 【答案】 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（个） 48＜50 答：这堆苹果有 48个。 【对应练习 1】 课后服务活动小组每组有组员 6人或 8人。课后服务活动中，老师为激发学生兴 趣，准备为活动小组每人送一份礼物。准备的礼物要平均送给每个小组成员且全 部送出，老师至少要准备多少份礼物？ 【答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 第 16 页 共 25 页 6和 8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 答：老师至少要准备 24份礼物。 【对应练习 2】 熊妈妈摘了一筐苹果，无论是平均分给 6个熊宝宝，还是平均分给 10个熊宝宝， 都正好分完。这筐苹果至少有多少个？ 【答案】 6＝2×3，10＝2×5 所以 6和 10的最小公倍数是 2×3×5 ＝6×5 ＝30 答：这筐苹果至少有 30个。 【对应练习 3】 把一些科普读本平均分给幼儿园的小朋友，无论是分给 5个小朋友，还是分给 9 个朋友，都正好分好。这些科普读本最少有多少本？ 【答案】 5和 9互质。 5×9＝45（本） 答：这些科普读本最少有 45本。 【考点十一】最小公倍数的应用其二：人数问题。 【方法点拨】 根据题意求最小公倍数，注意限定范围。 【典型例题】 篮球队的同学们分组练习，分成 6人一组或 8人一组都多 4人，已知篮球队的人 数在 50－60人之间，篮球队有多少人？ 【答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 则 6和 8的最小公倍数是 2×3×2×2＝24 第 17 页 共 25 页 24×2＋4 ＝48＋4 ＝52（人） 答：篮球队有 52人。 【对应练习 1】 学校参加市运动会的开幕式体操表演，一排站 12人或站 16人，都能正好站成整 排，参加体操表演的学生在 90~100人之间，请问有多少人参加体操表演？ 【答案】 12和 16的最小公倍数是 2×2×3×4＝48。 48×2＝96（人） 90＜96＜100 答：有 96人参加体操表演。 【对应练习 2】 一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用 65瓶。已知平均每 2人用一瓶 A饮料，每 3人用一瓶 B饮料，每 4人用一瓶 C饮料。有多少人参加会餐？ 【答案】 2、3、4的最小公倍数是 12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝13（瓶） 65÷13＝5（桌） 12×5＝60（人） 答：有 60人参加会餐。 【对应练习 3】 三（1）班参加跳绳比赛的人数在 40－50人之间，如果把参赛的人数分成 6人一 组或分成 8人一组，都正好分完。三（1）班参加跳绳比赛的有多少人？ 第 18 页 共 25 页 【答案】 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 答：三（1）班参加跳绳比赛的有 48人。 【考点十二】最小公倍数的应用其三：日期问题。 【方法点拨】 日期问题也是典型的最小公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最 后一天是几号。 【典型例题 1】问题一。 我市 7路和 10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后， 过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔 6分钟发一次车 10路：每隔 8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过 24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过 24分钟两路车第二次同时发车。 【对应练习 1】 那西公交 8路车和 3路车早上 6：25同时从公交车站出发，若 8路车每 35分钟 发一次，3路车每 20分钟发一次，请问下一次同时发车至少是几时几分？ 解析： 因为 20＝2×2×5 35＝5×7 所以 20和 35的最小公倍数是 4×5×7 ＝20×7 第 19 页 共 25 页 ＝140 6：25是 6时 25分 6时 25分＋140分＝8时 45分 答：下一次同时发车至少是 8时 45分。 【对应练习 2】 偃师 802路和 803路公交车早上 7时同时从起始站发车，802路车每 10分钟发 一辆，803路车每 15分钟发一辆。这两路车第二次同时发车是什么时间？ 解析： 5 10 15 2 3 10和 15的最小公倍数是 5×2×3＝30。即 30分钟后，两车第二次同时发车。 7时 30 分 7 时 30分 答：这两路车第二次同时发车是 7时 30分。 【对应练习 3】 1路车每 5分钟发一次车，2路车每 8分钟发一次车，15路车每 10分钟发一次 车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几 分？ 解析： 5 5 8 1 0 2 1 8 2 1 4 1 5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40 所以，再经过 40分钟 1路、2路、15路车第二次同时发车。 6时＋40分钟＝6时 40分 答：它们第二次同时发车是 6时 40分。 【典型例题 2】问题二。 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每 12天去一次，乙每 16天去一次，如果 4 月 25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 解析： 第 20 页 共 25 页 2 1 2 1 6 2 6 8 3 4 12和 16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 4月 25日＋48天＝6月 12日 答：下一次都到图书馆是 6月 12日。 【对应练习 1】 暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每 6天去一次，小军每 8天去一 次。7月 31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 6和 8的最小公倍数是 24。 7月 31日的 24日之后是 8月 24日。 答：8月 24日他们又再次相遇。 【对应练习 2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每 5天去一次，小红每 4天去一次，5月 3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 解析： 5和 4的最小公倍数为：4×5=20， 3＋20=23 所以，下次遇到是在 5月 23日。 【对应练习 3】 第 21 页 共 25 页 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作 3天轮休 1天，妈妈每工作 4天轮 休 1天，3月 5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休 息的有几天？分别是哪几天？ 解析： 3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为 4和 5是互质数，所以 4和 5的最小公倍数是；4×5＝20。 即 20天后，爸爸和妈妈同时休息。 5＋20＝25（日） 即 3月 25日爸爸和妈妈会再次同时休息。 3月有 31天，31－25＝6（天） 20－6＝14（日） 即 4月 14日爸爸和妈妈会再次同时休息。 答：3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有 3天，分别是 3月 5日，3月 25日，4 月 14日。 【考点十三】最小公倍数的应用其四：同余数问题。 【方法点拨】 同余数问题： 余数相同时，减去余数得到整除，遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小 公倍数，再把剩余的加上。 【典型例题】 现在有一筐苹果，无论是平均分给 8个人，还是平均分给 14个人，结果都剩下 1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和 14的最小公倍数是 2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有 57个。 第 22 页 共 25 页 【对应练习 1】 庆祝“建党 100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是 5人一队，还是 6人一队，都多 3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有 33人。 【对应练习 2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分 4个苹果，还是每人分 7个苹果， 都多 3个。这箱苹果至少有多少个？ 解析： 4×7＋3 ＝28＋3 ＝31（个） 答：这箱苹果至少有 31个。 【对应练习 3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分 9棵，余 1棵：每组同 学分 11棵，也余 1棵。这批树苗至少有几棵？ 解析： 9×11＋1 ＝99＋1 ＝100（棵） 答：这批树苗至少有 100棵。 【考点十四】最小公倍数的应用其五：同差问题。 【方法点拨】 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 有一些糖果，平均分给 8个人多 7块，平均分给 6个人多 5块，这些糖果最少有 第 23 页 共 25 页 多少块? 解析： 由题可知，这些糖果加上 1块就变为了 8和 6的公倍数，通过短除法求出最小公 倍数为 24，则这些糖果最少有 23块。 【对应练习 1】 某班同学排队，排成 7排多 3人，排成 8排少 4人。这个班至少有( )人。 加上 4人后，总人数既是 7的倍数，也是 8的倍数； 解析： 7 8 56  （人） 56 4 52  （人） 所以这个班至少有 52人。 【对应练习 2】 把一些糖果平均分给 4个小朋友或 6个小朋友都少 2颗，这些糖果至少有 ( )颗。 解析： 4和 6的最小公倍数是 12； 12 2 10  （颗） 所以这些糖果至少有 10颗。 【对应练习 3】 一些贝壳，4个 4个地数，最后多 1个；5个 5个地数，最后多 2个；7个 7个 地数，最后少 3个。这些贝壳至少有多少个？ 解析： 4×5×7－3 ＝140－3 ＝137（个） 答：这些贝壳至少有 137个。 【考点十五】最小公倍数的应用其六：混合型。 【方法点拨】 同余数问题：余数相同时，减去余数得到整除。 第 24 页 共 25 页 同差问题：差相同时，加上差得到整除。 【典型例题】 一盒围棋，4颗 4颗数多 3颗，6颗 6颗数多 5颗，5颗 5颗数多 4颗。如果这 盒围棋子的数量在 150至 200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 解析： 4、6和 5的最小公倍数是 60。 200÷60＝3……20 60×3－1 ＝180－1 ＝179（颗） 【对应练习 1】 育才小学五年级同学排成 3路纵队多出 1人，排成 5路纵队多出 1人，排成 7 路纵队还多出 1人，五年级的人数在 200人左右。五年级有多少人？ 解析： 3、5、7两两互质，所以它们的最小公倍数是：3×5×7＝105 3、5、7的公倍数有：105、210、315…… 200左右的是 210 210＋1＝211（人） 答：五年级有 211人。 【对应练习 2】 学校团体操比赛，五年级参加比赛的人数在 40～50人，分为 6人一组或 8人一 组，都多 1人，一共有多少学生参加比赛？ 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和 8 的最小公倍数是 2×2×2×3＝24，它们的公倍数有：24、48、72… 满足 40～50之间的是 48 48＋1＝49（人） 答：一共有 49人参加比赛。 第 25 页 共 25 页 【对应练习 3】 食堂买来一些鸡蛋，把这些鸡蛋 4个 4个地数多 3个，6个 6个地数多 5个，15 个 15个地数多 14个。已知这些鸡蛋的个数在 150~200个之间，食堂买来了多少 个鸡蛋？ 解析： 2 4 6 15 3 2 3 15 2 1 5 ，2×2×3×5＝60，60×2＝120，60×3＝180，180在 150和 200之间， 180－1＝179（个） 答：食堂买来了 179个鸡蛋。