内容正文:
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根据周长和面积关系求坐标
1.如图,在长方形����中,�为平面直角坐标系的原点,点�、�的坐标分别为� 3,0 、� 0,2 ,
点�在第一象限.
(1)写出点�的坐标;
(2)若过点�的直线交长方形的边于点�,且把长方形����的周长分成 2: 3的两部分,求点�
的坐标.
2.已知:�(0, − 1),�(− 2,0),�(− 4,− 3).
(1)在坐标系中画出三角形���.
(2)求三角形���的面积;
(3)设点 P在坐标轴上,且三角形���与三角形���的面积相等,直接写出点 P的坐标.
3.如图,四边形����为长方形,以 O为坐标原点,��所在直线为 x轴建立平面直角坐标系.已
知点 A的坐标为 0,6 ,点 C的坐标为 10,0 .
(1)直接写出点 B的坐标为______;
2
(2)有一动点 D从原点 O出发,以 1个单位长度/秒的速度沿线段��向终点 A运动,当直线��
将长方形的周长分为 3: 5两部分时,求 D点的运动时间 t值;
(3)在(2)的条件下,点 E为坐标轴上一点,若三角形���的面积为 15,求出点 E的坐标.
4.如图,在长方形����中,�为平面直角坐标系的原点,点�坐标为 4,0 ,点�的坐标为 0,6 ,
且点�在第一象限内,点�从原点出发,以每秒 2个单位长度的速度沿着� → � → � → � → �
的线路移动.
(1)求点�的坐标.
(2)当点�移动 4秒时,请求出点�的坐标.
(3)当点�移动到距离�轴 4个单位长度时,求点�移动的时间.
(4)当过点�的直线��把长方形����的周长分成 4: 6两部分,�为直线��与长方形的边的交点,
直接写出点�的坐标(不需要写出解题过程).
5.如图,在平面直角坐标系中,点� �, 0 、� �, � 、� 0, � .且满足:� − 8 2 + � − 4 + � − 4 =
0.�点从�点出发,沿�轴负方向以每秒 2个单位长度的速度匀速运动.�点从�点出发.沿�
轴正方向以每秒 1个单位长度的速度匀速运动.
(1)直接写出点�的坐标 ;点�的坐标 ;点�的坐标 .
(2)当�、�分别在线段��、��上运动时,连接��、��,当�△��� = 2�△���时,求出点�的坐
标.
3
6.在平面直角坐标系中,已知△ABC中,A(2m-6,0),B(4,0),C(-1,2),点 A、
B分别在原点两侧,且 A、B两点间的距离等于 6个单位长度.
(1)求 m的值;
(2)在坐标轴上是否存在点 M,使△COM的面积=2
3
△ABC的面积,若存在,请求出符合条
件的点 M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图 2,把线段 AB向上平移 2个单位得到线段 EF,连接 AE,BF,EF交 y轴于点 G,
过点 C作 CD⊥AB于点 D,将长方形 GOBF以每秒 0.5个单位长度的速度向左平移,同时,
动点 M从点 A出发,以相同的速度沿折线 AECDA运动,当长方形 GOBF与长方形 AECD重
叠面积为 1时,求此时点 M的坐标.
7.如图,在平面直角坐标系中,已知线段��,点�的坐标为(1, − 2),点�的坐标为(3,0).
(1)平移线段��得到线段��,使点�的对应点为点�,点�的对应点为点�,若点�的坐标为( −
2,4),求点�的坐标;
(2)如图②,平移线段��到线段��,点�的对应点为点�,点�的对应点为点�,且点�在�轴的
正半轴上,点�在第二象限内,连接��、��.若三角形���的面积等于 7,求点 C、D的坐标;
4
(3)在(2)的条件下,在 y轴上是否存在一点�,使�△��� =
2
3
�△���(�△���、�△���分别表示
三角形���、三角形���的面积)?若存在,直接写出点 P的坐标;若不存在,请说明理由.
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根据周长和面积关系求坐标
1.【答案】(1)� 3,2
(2)点�的坐标为 2,0 , 3,1
【分析】本题考查了坐标与图形性质;
(1)利用第一象限点的坐标特征写出�点坐标;
(2)分类讨论:先计算出矩形����的周长= 10,然后分类讨论:当点�在��上,如图 1,利
用直线��把长方形����的周长分成 2: 3的两部分可得�� + �� = 2
5
× 10 = 4,则�� = 2,于
是得到此时�点坐标为(2,0);当点�在��上,如图 2,由直线��把长方形����的周长分成 2: 3
的两部分得到�� + �� = 2
5
× 10 = 4,则�� = 1,所以�� = 1,于是得到此时�点坐标为(3,1).
【详解】(1)解:由图可得:�(3,2);
(2)解:当点�在��上,如图 1,
矩形����的周长= 2 + 3 + 2 + 3 = 10,
∵直线��把长方形����的周长分成 2: 3的两部分,
∴ �� + �� = 2
5
× 10 = 4,
而�� = 2,
∴ �� = 2,
∴ �点坐标为(2,0);
当点�在��上,如图 2,
2
矩形����的周长= 10,
∵直线��把长方形����的周长分成 2: 3的两部分,
∴ �� + �� = 2
5
× 10 = 4,
而�� = 3,
∴ �� = 1,
∴ �� = 1,
∴ �点坐标为(3,1),
综上所述,点�的坐标为(2,0),(3,1).
2.【答案】(1)见解析
(2)4
(3)�( − 10,0),� (6,0),� (0, − 5),� (0,3)
【分析】(1)利用描点法直接在网格中画出三角形���即可;
(2)用矩形面积减去三个直角三角形的面积即可;
(3)分情况讨论:当点�在�轴上和当点�在�轴上时,分别进行计算即可.
【详解】(1)解:如图所示,
(2)如图,
3
△ ���的面积= 3 × 4 − 1
2
× 2 × 3 − 1
2
× 2 × 1 − 1
2
× 4 × 2 = 4;
(3)当点�在�轴上时,
∵△ ���的面积= 1
2
��·�� = 4,即:1
2
× 1 × �� = 4,
解得:�� = 8,
∴点�的坐标为( − 10,0)或(6,0);
当点�在�轴上时,
∵△ ���的面积= 1
2
��·�� = 4,即1
2
× 2 × �� = 4,
解得:�� = 4.
∴点�的坐标为(0, − 5)或(0,3).
∴点�的坐标为( − 10,0)或(6,0)或(0, − 5)或(0,3).
3.【答案】(1)(10,6)
(2)� = 2
(3)( − 5,0)或(25,0)或(0, − 1)或(0,5).
【分析】本题考查了坐标与图形性质,三角形的面积,灵活运用方程的思想方法是解题的关键.
(1)根据长方形的性质和点的坐标的意义确定�点坐标;
(2)��把长方形����的周长分成�� + ��和�� + �� + ��,而后者比前者大,所以(�� +
��): (�� + �� + ��) = 3: 5,即(� + 10): (6 − � + 10 + 6) = 3: 5,然后解方程得到�的值;
(3)先得到�点坐标为(0,2),�点坐标为(10,0),再分类讨论即可解答.
【详解】(1)∵四边形����为长方形,
而点�的坐标为(0,6),点�的坐标为(10,0),
4
∴ �点坐标为(10,6);
(2)设�� = �,则�� = 6 − �,
由(1)可知
�� = 10,�� = 6,�� = 10,
∵直线��将长方形����的周长分为 3: 5两部分,
∴ (�� + ��): (�� + �� + ��) = 3: 5,
即(� + 10): (6 − � + 10 + 6) = 3: 5,
∴ � = 2;
(3)�点坐标为(0,2),�点坐标为(10,0),
若点 E在 x轴上,设�点坐标为(�, 0),
∵三角形���的面积是 15,
∴ 1
2
× 2 × |10 − �| = 15,解得� =− 5或� = 25,
∴ �点坐标为( − 5,0)或(25,0).
若点 E在 y轴上,设�点坐标为(0, �),
∵三角形���的面积是 15,
∴ 1
2
× 10 × |2 − �| = 15,解得� = 5或� =− 1,
∴ �点坐标为(0, − 1)或(0,5).
∴点�的坐标为( − 5,0)或(25,0)或(0, − 1)或(0,5).
4.【答案】(1)� 4,6
(2) 4,4
(3)4秒或 8秒
5
(4)� 2,0 或� 4,2
【分析】本题主要考查了坐标与图形:
(1)先根据点 A和点 C的坐标,求出�� = 4,�� = 6,再根据长方形的性质,可以求得点 B
的坐标;
(2)根据题意点 P从原点出发,以每秒 2个单位长度的速度沿着� → � → � → � → �的线路
移动,可以得到当点 P移动 4秒时,点 P的位置和点 P的坐标;
(3)根据点到 x轴的距离为纵坐标的绝对值得到点 P的纵坐标为 4,据此分点 P在��上和点
P在��上两种情况讨论求解即可;
(4)分点 M在��上和点 M在��上两种情况讨论求解即可.
【详解】(1)解:∵点�坐标为 4,0 ,点�的坐标为 0,6 ,
∴�� = 4,�� = 6,
由长方形的性质可得�� = �� = 6,∠��� = 90°,
∴�� ⊥ ��,
∴� 4,6 ;
(2)解:当点�移动 4秒时,点 P的运动距离为 4 × 2 = 8,
∵�� = 4,�� = 6,
∴点 P在��上且�� = 8 − 4 = 4,
∴点 P的坐标为 4,4 ;
(3)解:∵点�移动到距离�轴 4个单位长度,
∴点 P的纵坐标为 4,
当点 P在��上时,点 P的运动距离为 4 + 4 = 8,则� = 8
2
= 4;
当点 P在��上时,点 P的运动距离为 4 + 6 + 4 +(6 − 4) = 16,则� = 16
2
= 8;
∴点 P的运动时间为 4秒或 8秒;
(4)解:当点 M在��上时,
6
长方形����的周长为 4 + 4 + 6 + 6 = 20,
∵直线��把长方形����的周长分成 4: 6两部分,
∴�� + �� = 20 × 4
4+6
= 8,
∴�� = 2,
∴点 M的坐标为 2,0 ;
如图所示,当点 M在��上,同理可得�� = 4,
∴点 M的坐标为 4,2 ;
综上所述,点 M的坐标为 2,0 或 4,2 .
5.(1) 8,0 , 4,4 , 0,4
(2) 4,0
【分析】(1)根据算术平方根和偶次方的非负性求出�、�、�的值,从而得到点�、�、�的坐
标;
(2)表示出�秒时点�和点�的坐标,用含�的式子表示出△ ���和△���的面积,根据题意列
出关于�的方程,求出�的值即可确定点�的坐标.
【详解】(1)解:∵ � − 8 2 + � − 4 + � − 4 = 0,
又∵ � − 8 2 ≥ 0, � − 4 ≥ 0, � − 4 ≥ 0,
∴� − 8 = 0,� − 4 = 0,� − 4 = 0,
解得� = 8,� = 4,� = 4,
∴�的坐标 8,0 ,�的坐标 4,4 ,�的坐标 0,4 .
7
(2)过点�作�� ⊥ ��,垂足为�,如下图,
∵�的坐标 8,0 ,�的坐标 4,4 ,�的坐标 0,4 ,
∴�� = 4,�� = 4,�� = 8,
设运动时间为�秒,则�� = 2�,�� = �,
∴�� = 4 − �,
∴�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 2� × 4 = 4�,�△��� =
1
2
�� ⋅ �� = 1
2
× 4 − � × 4 = 8 − 2�,
∵�△��� = 2�△���,
∴4� = 2 8 − 2� ,
解得� = 2,
∴�� = 2� = 4,
∴�� = �� − �� = 4,
∴点�的坐标为 4,0 .
6.【答案】(1)m=2;
(2)(4,0),(-4,0),(0,8),(0,-8);
(3)M(-2,1.5)或 M(-1.5,0)
【分析】(1)根据两点间距离公式,列出方程,求出 m值;
(2)分类讨论,点 M在 x轴上或 y轴上时,根据面积关系列出方程,求出M点坐标;
(3)先求出矩形 AECD的面积,可发现当长方形 GOBF与长方形 AECD重叠面积为 1时,会
有两种情况,点 G运动到线段 EC的中点;或点 F运动到线段 EC的中点.确定所运动的路程,
从而确定点M的坐标.
【详解】解:(1)根据题意, 4-(2m-6)=6,解得:m=2 .
(2)由(1)得:�Δ��� =
1
2
× 6 × 2 = 6,
8
∵△COM的面积=2
3
△ABC的面积,
∴�Δ��� = 4
若 M在 x轴上时,设 M(x,0)
则
1
2
× 2 � = 4,解得:x=±4
∴M点的坐标为(4,0);(-4,0);
若 M在 y轴上时,同理可得:M点的坐标为(0,8);(0,-8);
(3)由题知:�矩形 AECD = 2
若 G、O运动到 EC、AD间时,� = 3�;所以 M(-2,1.5)
若 F、B运动到 EC、AD间时,� = 11�;所以 M(-1.5,0).
7.【答案】(1)�( − 4,2)
(2)�(0,4),�( − 2,2)
(3)存在,点�的坐标为 0, − 2
3
或 0, 26
3
【分析】本题考查了点的平移,坐标与图形,绝对值方程等知识.熟练掌握点的平移,坐标与
图形,绝对值方程是解题的关键.
(1)由点�的坐标为(3,0),平移到点�的坐标为( − 2,4),可知点坐标向左平移 5个单位,向
上平移 4个单位,进而可求点�的坐标;
(2)由点�在�轴的正半轴上,点�在第二象限内,则线段��向左平移 3个单位,再向上平移 2 +
� 个单位,� 0,2 + � ,� −2,� ,如图,连接��,由�△��� = �△��� + �△��� − �△��� =
1
2
×
3 × 2 + � + 1
2
× 2+ � × 2 − 1
2
× 3 × � = 7,可求� = 2,然后作答即可;
(3)设� 0,� ,则�� = 4 − � ,由�△��� =
2
3
�△���,可得
1
2
× 4 −� × 2 = 2
3
× 7,即 4 −
� = 14
3
,计算求解,然后作答即可.
【详解】(1)解:∵点�的坐标为(3,0),平移到点�的坐标为( − 2,4),
∴点坐标向左平移 5个单位,向上平移 4个单位,
∴点�平移到点�的坐标为 −4,2 ,
∴�( − 4,2);
(2)解:∵点�在�轴的正半轴上,点�在第二象限内,
∴线段��向左平移 3个单位,再向上平移 2 + � 个单位,
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∴� 0,2 + � ,� −2,� ,
如图,连接��,
∴�△��� = �△��� + �△��� − �△��� =
1
2
× 3 × 2 + � + 1
2
× 2+ � × 2 − 1
2
× 3 × � = 7,
解得,� = 2,
∴� 0,4 ,� −2,2 ;
(3)解:设� 0,� ,则�� = 4 −� ,
∵�△��� =
2
3
�△���,
∴
1
2
× 4 −� × 2 = 2
3
× 7,即 4 − � = 14
3
,
解得,� =− 2
3
或� = 26
3
,
∴存在,点�的坐标为 0, − 2
3
或 0, 26
3
.