(精讲册)中考专题3 二次函数综合题(针对省卷27题)（课件PPT）-【练客中考】2025年甘肃中考数学提优方案

精讲册 中考专题三 二次函数综合题 (针对省卷27题) 线段问题(省卷：5年4考) 考点 1 1 类型1　单条线段最值问题 如图，二次函数的图象与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，连接BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点． 例 1 (1)求二次函数和直线BC的表达式； (2)如图1，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过点P作PM∥x轴，交CB于点M，求线段PM的最大值及此时点P的坐标； 解图1 (4)如图3，过点P作PM⊥BC，垂足为M，求线段PM的最大值及此时点P的坐标． 解图2 平行于y轴的线段最值问题解题思路：点P和点Q的横坐标相等，则PQ的长等于点P的纵坐标减去点Q的纵坐标，再利用二次函数性质求出线段最值． 平行于x轴的线段最值问题解题思路：将平行于x轴的线段转化为平行于y轴的线段．这里可以利用相似三角形或者三角函数值，例如解图1中的△PMQ∽△OBC，从而得到PM与PQ的数量关系，从而将PM的最值问题转化为PQ的最值问题；或者利用在不同直角三角形中，相等的角对应的三角函数值相等得到PM与PQ的数量关系，最后利用二次函数性质求出线段最值． 垂直于某条直线的线段最值问题解题思路：化“斜”为“直”，即将PM的最值问题转化为PQ的最值问题，利用相似三角形或者三角函数值将其转化，最后利用二次函数性质求出线段最值． 通性通法 类型2　PA＋PC型线段和最小值问题(将军饮马模型) 如图，已知二次函数y＝－ ＋2的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB＋PC取得最小值时，求点P的坐标． 例 2 例2题解图 【自主作答】 解：如解图，连接AC交对称轴于点P， 连接PB，P点即为所求． 类型3　周长最小值问题 如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 例 3 【自主作答】 如解图，作点A关于y轴的对称点A′， 连接A′B与y轴交于点P， 则此时△PAB的周长最小． ∵点A′的坐标为(－1，2)，点B的坐标为(4，5)， 如图1，两定点A, B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋ PB最小，最小值为A′B. 如图2，点P在∠AOB内部，在射线OA上找点C，在射线OB上找点D，使得△PCD的周长最小，最小值为P′P″. 如图3，点P, Q在∠AOB内部，在射线OA上找点C，在射线OB上找点D，使得四边形PQDC的周长最小，最小值为P′Q′＋PQ. 如图4，两定点A，B在直线l同侧时，MN＝a，且线段MN在直线l上滑动，使得AM ＋ BN最小，最小值为AB″. 通性通法 类型4　BD＋CE型线段和最小值问题(逆等线模型) [2022省卷28题节选]如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ (x＋3)(x－a)与x轴交于A，B(4，0)两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点(点D，E不与点A，B，C重合)． 例 4 (1)求此抛物线的表达式； (2)如图2，连接BD，CE，当CD＝AE时，求BD＋CE的最小值． 解：如解图，在AB下方作∠EAQ＝∠DCB且AQ ＝BC，连接EQ, CQ. ∵AE＝CD，∴ △AEQ≌△CDB，∴EQ＝ BD， ∴当C, E, Q三点共线时，BD＋CE＝EQ＋CE最 小，最小为CQ. 过点C作CH⊥AQ，垂足为H. ∵OC⊥OB，OC＝OB＝4，∴∠CBA＝45°，BC＝ . ∵∠CAH＝ 180°－∠CAB－∠EAQ＝ 180°－∠CAB－∠DCB＝∠CBA＝45°， 逆等线模型的一般情况：①题目中有双动点；②首尾 不相连的等线段． 如图，点D，E在AB，AC边上运动，且AD＝CE， 求CD＋BE的最小值． ①双动点：E和D；②首尾不相连的等线段：AD＝ CE，符合逆等线模型． 解题思路：动点运动过程中，始终有AD＝CE，利用AD＝CE构造全等，从而将要求和的两条线段拼接在一起，转化为两定一动的问题，就是我们熟悉的“将军饮马”问题了． 通性通法 1．[2024省卷27题]如图1，抛物线y＝a(x－h)2＋k交x轴于O，A(4，0)两点，顶点为B(2， )，点C为OB的中点． (1)求抛物线y＝a(x－h)2＋k的表达式； (2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E.求线段CE的长； (3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD. ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接BD，BF，求BD＋BF的最小值． 解图2 解图2 2.[2023省卷27题]如图1，抛物线y＝－x2＋bx与x轴交于点A，与直线y＝－x交于点B(4，－4)，点C(0，－4)在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线y＝－x2＋bx的表达式； 解：∵抛物线y＝－x2＋bx过点B(4，－4)， ∴－16＋4b＝－4，∴b＝3， ∴y＝－x2＋3x. (2)当BP＝ 时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由； 解：四边形OCPD是平行四边形．理由如下： 如解图，设PD交x轴于点H，连接BC. ∵点P在直线y＝－x上， ∴OH＝PH，∠POH＝45°. 当xD＝2时，DH＝yD＝－22＋3×2＝2， ∴PD＝DH＋PH＝2＋2＝4. ∵C(0，－4)，∴OC＝4，∴PD＝OC. ∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，∴PD∥OC， ∴四边形OCPD是平行四边形． (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值． 解图2 3.[2021省卷28题]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋c与坐标轴交于A(0，－2)，B(4，0)两点，直线BC：y＝－2x＋8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F. (1)求抛物线y＝ x2＋bx＋c的表达式； (2)当GF＝ 时，连接BD，求△BDF的面积； 解：∵B(4，0)，A(0，－2)，∴OB＝4，OA＝2. ∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，∴在Rt△BOA和Rt△BGF中， (3)①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标； 解图1 ②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC＋2，求△PHB周长的最小值． 解图2 4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m. (1)求此抛物线的表达式； 解：设抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－4) ＝a(x2－x－12)＝ax2－ax－12a(a≠0)， ∵y＝ax2＋bx＋4， (2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点P作PN⊥BC，垂足为N.请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ 面积问题(省卷：2020.28) 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点，在第二象限上的抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 考点 1 2 例 1 解法1　补形法 【自主作答】 存在．如图，过点P作PE⊥x轴于点E， 设P(t，－t2－2t＋3)(－3<t<0)． ∵S△PBC＝S四边形BPCO－S△BOC＝S四边形BPCO－ ， 若S四边形BPCO有最大值，则S△PBC的值就最大， 解法2　分割法 【自主作答】 存在．∵B(－3，0)，C(0，3)， ∴直线BC的表达式为y＝x＋3. 如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F. 设P(n，－n2－2n＋3)，则F(n，n＋3)(－3<n<0)． 解法3　铅锤法 【自主作答】 存在．如图，过点P作x轴的垂线，与BC交于点F，设P(m，－m2－2m＋3)，同(2)得F(m，m＋3)(－3<m<0)． 5．[2020省卷28题]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点． (1)求此抛物线的表达式； 解：抛物线y＝ax2＋bx－2，则c＝－2，故OC＝2. ∵OA＝2OC＝8OB，∴OA＝4，OB＝ ， (2)若PC∥AB，求点P的坐标； (3)连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标． 6.如图，已知二次函数y＝ax2＋2x＋c的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数y＝ax2＋2x＋c的表达式； (2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标； 解：若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上， 如解图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E. (3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ACPB的最大面积． 解图2 x2－x 4 2 2 $$